2.2. Линейное разностное уравнение первого порядка

В качестве примера простого линейного разностного уравнения первого порядка рассмотрим

(2.1)

На рис 2.1 представляет собой дискретный вход­ной сигнал. Исключив квантизатор, мы сделаем равным , так что может не рассматриваться. Цифровая машина на рис. 2.1 принимает последова­тельность ; каждый раз поступает новое входное значение, производится вычисление и образуется выход­ной сигнал , который подается на декодер или за­поминается для дальнейшей обработки в вычислитель­ной машине. Можно легко представить себе структуру машины, которая выполняет операции, требуемые в (2.1). Необходимо иметь три регистра памяти: один для , другой для и третий для К. В машине образуется произведение , содержимое регистра для суммируется с этим произведением, а резуль­тат запоминается в регистре для . Теперь цифровая машина снова готова к приему следующего входно­го отсчета.

Сразу после того, как поступит новый входной отсчет {и начинается реализация алгоритма), состояние систе­мы полностью определится числом в регистре. Без потери общности можно назвать этим числом в предположении, что на цифровую машину должно поступить . Из (2.1) видно, что , и по индукции можно определить общий результат:

(2.2)

Таким образом, решение уравнения (2.1) полностью опре­деляется выражением (2.2).

Если входным сигналом на рис. 2.1 является единич­ная ступенчатая функция, то последовательность представляет собой единицу для .В этом случае (2.2) принимает вид

(2.3)

Для больших значений n решение стремится к установившемуся значению . Однако это решение справедливо только для ; в противопо­ложном случае, как это можно видеть из (2.2), безгранично возрастает.

Рис. 2,2 показывает в зависимости от n для различных значений К при . Мы видим сход­ство между этими кривыми и откликом RC-цепочки на ступенчатую функцию, показанным на рис. 2.3. Сделать равносильно введению отрицательного сопротивления в аналоговую RC-цепочку. В дальнейшем мы убедимся в том, имеется большое сходство между аналоговыми и цифровыми цепями. Однако оно означает не эквивалентность, а только подобие.

Рис. 2.2 Отклик фильтра первого порядка на ступенчатый входной сигнал

Удобная иллюстрация вычислений но формуле (2.1) показана на рис. 2.4. Алгоритм вычислений можно объ­яснить следующий образом: когда поступает новый отсчет данных , предыдущее вычисленное значение выходного сигнала для новой итерации становится . Выполняется умножение и сложение, и результат, вводимый в выходной регистр, становится равным .

Назовем цепь на рис. 2.4 цифровой, или дискретной цепью, или, если не будет недоразумений, просто цепью. В этой книге будет обсуждаться и анализироваться мно­го таких цепей, поэтому полезно сделать несколько за­мечаний об обозначениях.

Рис. 2.3 Отклик RC-цепи на ступенчатый входной сигнал

Рис. 2.4 Цифровая цепь первого порядка

Прямоугольник с внутри будет обозначать блок задержки на время, равное интер­валу дискретизации Т. Круг со знаком плюс означает сложение всех входных сигналов (стрелки, направленные в круг) с одним выходным сигналом. Умножение на постоянный коэффициент представляется коэффициентом, записанным около линии, изображающей путь сигнала.

Интересно выяснить, какова же будет действительная схемная реализация (2.1). Возьмем несколько регистров: K — для хранения коэффициента K, Y—для хранения и X—длz хранения . Затем, при поступле­нии нового отсчета в X, осуществляется операция , и на этом завершается одна итерация.

Таким образом, мы видим, что необходимо иметь три регистра, а также осуществлять операции сложения и умножения. Ясно, что реализация (2.1) является более дорогой по сравнению с пассивной аналоговой цепью, за исключением, может быть, случая работы на очень низких частотах, когда величины емкости становятся боль­шими. Однако если необходимо реализовать несколько, а не одну-единственную цепь, то в каждую из них необ­ходимо ставить два регистра, эквивалентные K и Y, а остальные элементы могут быть общими. Так, если должно быть реализовано 500 цепей и если быстродействие арифметического блока достаточно высокое, то все цепи могут использовать один и тот же сумматор и умножитель. Например, пусть частота дискретизации 100 Гц и 500 разностных уравнений должны бить обра­ботаны за 10 мсек. Тогда упомянутый выше ряд опера­ций должен быть произведен менее чем за 20 мксек каж­дый для того, чтобы получить возможность работать в реальном масштабе времени.