- •Н.Н. Акифьева Метрология, стандартизация и сертификация Конспект лекций
- •Часть 1. Основы метрологии.
- •Введение
- •1Основные сведения о метрологии
- •1.1 Предмет метрологии
- •1.2Важнейшие метрологические понятия
- •1.3Классификация измерений
- •1.4Обеспечение единства измерений в Российской Федерации
- •2Физические величины, их единицы и эталоны
- •2.1Физические величины и их единицы
- •2.2Порядок передачи размеров единиц физических величин
- •2.3Эталоны единиц основных физических величин
- •2.3.1Эталон единицы длины
- •2.3.2Эталон единицы массы
- •2.3.3Эталон единицы времени
- •2.3.4Эталон единицы силы электрического тока
- •2.3.5Эталон единицы температуры
- •2.3.6Эталон единицы силы света
- •3Точность измерений
- •3.1Классификация погрешностей
- •3.2Случайные погрешности. Вероятностный подход к их описанию
- •3.2.1Распределение случайных погрешностей
- •3.2.2Доверительный интервал случайной погрешности
- •3.2.3Проверка гипотезы о соответствии распределения случайных погрешностей нормальному
- •3.3Систематические погрешности
- •3.3.1Обнаружение и исключение систематических погрешностей
- •3.3.2Инструментальные погрешности
- •3.3.3Методические погрешности ( на примере измерения температуры термоэлектрическим преобразователем)
- •3.4Правила округления значений погрешности и результата измерений
- •4Средства измерений и их характеристики
- •4.1Классификация средств измерений
- •4.2Статические и динамические характеристики средств измерений
- •4.3Нормируемые метрологические характеристики средств измерений
- •5Методики выполнения измерений
- •5.1Общие положения
- •5.2Нормируемые метрологические характеристики методик выполнения измерений
- •6Обработка результатов измерений
- •6.1Основы статистической обработки результатов измерений, содержащих случайные погрешности
- •6.2Обработка результатов прямых измерений
- •6.3Прямые однократные измерения
- •6.4Обработка результатов косвенных измерений
- •6.4.1Косвенные измерения при отсутствии корреляции между погрешностями измерений аргументов
- •6.4.2Косвенные измерения при наличии корреляции между погрешностями измерений
- •7Метрологическое обеспечение в Российской Федерации
- •7.1Метрологические службы и организации
- •7.1.1Метрологические службы и организации Российской Федерации
- •7.1.2Международные метрологические организации
- •7.2 Нормативные документы по обеспечению единства измерений
- •7.3Метрологический надзор и контроль
- •7.3.1Государственный метрологический контроль и надзор
- •7.3.2Метрологический контроль и надзор, осуществляемый метрологической службой юридического лица
- •7.4Поверка и калибровка средств измерений
- •7.4.1Общие положения
- •7.4.2Виды и способы поверок средств измерения
- •Приложение 1. Важнейшие единицы Международной системы (си)
- •Приложение 2. Значения при различном уровне значимости q и различных степенях свободы r.
- •Приложение 3. Значение коэффициента t для случайной величины, имеющей распределение Стьюдента с n – 1 степенями свободы
- •Приложение 4. Значения функции Лапласа
- •Приложение 5. Пример проверки нормальности распределения результатов измерения
- •Предметный указатель
3.2.2Доверительный интервал случайной погрешности
На графике нормального распределения погрешности (рис. 3.3.) по оси абсцисс отложены интервалы с границами , 2, 3, 4.
Рис. 3.3. График нормального распределения погрешности измерений.
Интервал с симметричными границами (Р) называется доверительным интервалом случайной погрешности, а соответствующая ему вероятность – доверительной вероятностью.
Как видно из графика, оценка случайной погрешности группы измерений интервалом 1 соответствует доверительной вероятности Р = 0,68. Доверительному интервалу 3 соответствует доверительная вероятность Р = 0,997. Поэтому при нормальном распределении погрешностей границу 3 считают максимально возможной, а погрешности, выходящие за эти границы, классифицируют как грубые или промахи.
Нормативные документы, касающиеся оценивания погрешностей результатов измерения и стандартизованных методик измерения, как правило требуют указывать границы доверительного интервала случайной погрешности, соответствующие доверительной вероятности 0,95. В случаях, когда результаты измерения важны для безопасности и здоровья людей, а также для состояния окружающей среды, животных и растений, рекомендуемая доверительная вероятность возрастает до 0,99. То есть в 99 из 100 случаев истинная погрешность гарантированно не превышает оцененное и указанное в результате измерения значение.
Важнейшим заключением из рассмотрения закона распределения случайной погрешности является заключение о невозможности приведения значения случайной погрешности без указания доверительной вероятности для этого значения. Отсутствие доверительной вероятности рядом со значением границы случайной погрешности может иметь место лишь в одном случае, когда приводится граница, соответствующая стандартному отклонению случайной погрешности - . Доверительная вероятность стандартного отклонения у нормального закона всегда одна и равняется 0,68.
3.2.3Проверка гипотезы о соответствии распределения случайных погрешностей нормальному
В каждом конкретном практическом случае гипотеза о соответствии распределения случайных погрешностей нормальному, назовем её гипотезой , требует проверки. Между теоретическим нормальным распределением и статистическим распределением случайной погрешности неизбежны расхождения. Необходимо ответить на вопрос: являются ли эти расхождения случайными, обусловленными ограниченным числом наблюдений или эти расхождения свидетельствуют о том, что данное статистическое распределение не может рассматриваться как нормальное. Для ответа на этот вопрос служат «критерии согласия».
«Критерий согласия» - это некоторая величина U, характеризующая степень расхождения теоретического и статистического распределений. Величина U может быть выбрана различными способами, например, в качестве U можно взять сумму квадратов отклонений теоретических вероятностей от соответствующих статистических частот или максимальное отклонение статистической функции распределения случайной погрешности от теоретического нормального закона и т.п. Каким бы способом не была выбрана величина , она является случайной величиной, закон распределения которой зависит от закона распределения случайной величины и от числа измерений . Если гипотеза верна, то закон распределения величины определяется законом распределения величины и числом . Распределение величины можно описать математически и указать вероятности, с которыми случайная величина принимает то или иное значение при известных и .
Мерой расхождения теоретического нормального закона распределения и статистического распределения случайной погрешности будет вероятность того, что теоретическая величина , т.е. соответствующая случаю, когда гипотеза о нормальном распределении верна, превзойдет значение , вычисленное для конкретной реализации измерений. Если эта вероятность ничтожна, а значит событие большего чем в опыте расхождения теоретического и статистического нормального закона маловероятно, то гипотезу следует отклонить (при этом говорят, что гипотеза имеет низкий уровень значимости). Если даже при соответствии статистического распределения нормальному возможны еще большие чем в опыте расхождения теоретического и статистического законов распределения, гипотезу следует принять.
Рассмотрим наиболее часто применяемый в метрологии критерий согласия – «критерий » Пирсона.
Согласно Пирсону в качестве меры расхождения между теоретическим и статистическим распределениями используется сумма квадратов отклонений теоретических вероятностей попадания случайной погрешности в интервал : от соответствующих статистических частот
, (3.11)
где - число интервалов, на которые разбивается интервал при вычислении статистических частот распределения случайных погрешностей; - «вес» интервала, вычисляемый как
(3.12)
При таком выборе коэффициентов мера расхождения обозначается
. (3.13)
Для удобства вычислений можно ввести под знак суммы и, учитывая, что , где - число значений в -том интервале, привести формулу (3.13) к виду
. (3.14)
Важным свойством величины является независимость ее распределения от вида выбранного теоретического закона . Распределение зависит только от и параметра , называемого числом «степеней свободы» распределения. Число «степеней свободы» равно числу интервалов минус число независимых условий, наложенных на частоты . Примером такого условия может быть
.
если требуется, чтобы сумма частот была равна единице (это требование накладывается во всех случаях). В случаях, когда требуется совпадение теоретического среднего значения и теоретической дисперсии со статистическим средним значением и дисперсией, накладываются еще два условия
Для распределения составлены таблицы (см. Приложение 1). Пользуясь этими таблицами, можно для каждого значения и числа степеней свободы найти вероятность того, что величина, распределенная по закону превзойдет это значение. Эта вероятность называется уровнем значимости гипотезы и обозначается q.
Пример использования критерия - Пирсона для проверки нормальности распределения случайной погрешности рассматривается в Приложении 3.