- •ЧАСТЬ 1
- •Список литературы
- •4.3. ПОЛУЧЕНИЕ
- •вр Ed (р — ар) + уарг) + E0NV '
- •Список литературы
- •Список литературы
- •7.2. ОБРАЗЦЫ ДЛЯ ИСПЫТАНИЙ
- •7.4. СДВИГ
- •8.1. Расчетные зависимости для постоянных упругости однонаправленного материала (монослоя)
- •8.2. ТЕРМОУПРУГОСТЬ
- •многослойных композитов
- •ПРИ ПЛОСКОМ НАПРЯЖЕННОМ
- •состоянии
- •8.4. ИЗГИБ МНОГОСЛОЙНЫХ
- •композитов
- •Шсшгьш-
- •[Фасу] = 1.] [ф°] [7\]т; (8.101)
- •Список литературы
- •9.1. КЛАССИФИКАЦИЯ КОМПОЗИТОВ
- •9.2. СТРУКТУРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
- •9.5. Приближенные зависимости для расчета упругих характеристик композита с противофазным искривлением волокон
- •9.6. ЧЕТЫРЕХНАПРАВЛЕННЫЕ КОМПОЗИТЫ (4Д)
- •ЧАСТЬ 2
- •1.1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ АНИЗОТРОПНОГО ТЕЛА
- •Список литературы
- •2.1. КОМПОЗИТНЫЕ БАЛКИ
- •2.2. ТОНКОСТЕННЫЕ СТЕРЖНИ
- •2.4. КРУГОВЫЕ КОЛЬЦА
- •Список литературы
- •4.1. СТАТИКА ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
- •Му == ^1я8да 4“ &22®у 4~ CiaKx4“ ^ааКу!
- •в.З. АНИЗОТРОПНЫЕ ДИСКИ
- •6.3. Влияние начальных термических напряжений на удельные энергоемкости дисков, образованных намоткой композитов
- •6.4. ХОРДОВЫЕ МАХОВИКИ
- •Список литературы
- •ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА
- •8.1. ПРОЕКТИРОВАНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ СОЕДИНЕНИЙ
- •Список литературы
- •« РЕКЛАМА»
- •« РЕКЛАМА»
ристик (УДХ) по напряжениям. Ис пользуя формулы (8 . 1 ), (8 .2 ), запишем (8 .9 7) через деформации и в смешанной форме:
AW? = -§■ |
{ei„}T 1 <р°] {е„}; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.98) |
Здесь |
= ~ 2 |
(еи )Т [Х°1 Ww}- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ф°] = |
[0°] т |
[0°] = |
[Х°] [0°]; (8 99, |
|||||
[х°1 = |
[ о ° ] |
Н>°] |
= |
ф1°] [5° ] . к ' |
||||
В свою |
очередь, |
[ф0] |
= |
IS0] [%°] = |
||||
= |S°] |
1<р°] IS0]. |
|
|
|
|
(8.100). |
||
Матрицы |
1"ф°] и (ф° ] являются сим |
|||||||
метричными, |
а |
смешанная |
матрица |
|||||
[Х° 1 несимметрична |
(х? 2 ^ |
X?i): |
||||||
|
|
~ф? 1 ф?2 О |
|
|||||
[ф°] = |
ф? 2 |
Ф&2 |
О |
|
||||
|
|
- О |
|
о |
|
ф§в_ |
||
|
|
'■ф?! |
Ф?2 |
0 |
' |
|||
т |
= |
Ф?2 |
Ф?2 |
О |
|
|||
|
|
. О |
|
о" |
|
Mi. |
||
|
|
~ х Ь |
|
?2х |
|
о- |
||
[Xе] = |
Х§ 1 |
Х?2 |
9 |
хйв. |
||||
|
|
_ |
о |
|
|
о |
||
Формулы (8.97)—(8.100) |
справедли" |
вы, конечно, не только для однонаправ ленных композитов, но и для любого трансверсально изотропного (или ортотропного) монослоя при плоском на
пряженном |
состоянии. |
мат |
|
Рассмотрим преобразование |
|||
риц |
упругодиссипативных |
харак |
|
теристик |
(УДХ) монослоя |
(8.99), |
|
(8 .1 0 0) |
при переходе от «естественной» |
системы координат (/, 2) (см. рис. 8 . 1 ) к некоторой произвольно ориентиро ванной системе координат (х, у) (см.
рис. 8 .2 ), |
повернутой вокруг |
оси 3 |
на угол 0. |
Для определения |
матриц |
УДХ монослоя в системе координат
(*У) [фху]. [фху]. [Хху] достаточно заменить напряжения и деформации
в формулах (8.97), (8.98) их выраже ниями по формулам (8 .5 ), (8 .6):
{а ху} = [74] {<*12};
( еху} = [74] {е1в}.
В результате имеем
[Фху] = [Т2] [ф°] [Г2]т;
[Фасу] = 1.] [ф°] [7\]т; (8.101)
Ы= [74] [х°] [Т2]т;
[Фху] |
|
Фхх |
Фху |
Фх8 |
|
Фху |
Фуу |
Фуз |
|
|
|
-Фхе |
Фуе |
Фаз _ |
|
|
ФхХ |
Фху |
Фх8 |
[фху] |
— |
Фху |
Фуу |
Фуе |
|
|
_Фхе |
Фув |
Ф3S _ |
|
|
Ххх |
Хху |
Ххв |
[Хху] |
— |
Хух |
Хуу |
Хуе • |
|
|
_Хех |
Хву |
Xes - |
_Выражения для компонент матриц
1Фху]. [Фху]. 1х*у], полученные после выполнения операций умножения в (8 .1 0 1), приведены в табл. 8 .6 .
Коэффициенты диссипации (техниче ские постоянные диссипации) опреде ляются отношением потерь энергии за цикл нагружения (8.97), (8.98) к амп литуде упругой энергии в цикле на гружения:
^2 {а*у}Т [Sxy] {^зсу) —
1 |
т - |
(exy) |
[^ху] {еху} — |
= 4 - { м т м |
- |
(8Л02) |
||
Обозначим коэффициенты |
диссипа |
|||
ции (технические |
постоянные) при |
|||
одноосном |
циклическом |
нагружении |
||
материала |
вдоль |
осей х, |
у |
соответ |
ственно фх, ф^ и при чистом сдвиге в осях (х, у) через фв. Тогда из (8.97), (8 .1 0 1), (8 . 1 0 2) следует
Фе =
Фее
•See
8 .6 . Расчетные зависимости для преобразования компонент матриц упругодиссипативных характеристик монослоя при повороте естественной системы координат на угол О
Компонента
матрицы
Фас»
Уху
Ух,
У«9
Уу, У„
Фхх
ФXV
Фаса
ФУУ
Фу в
Фае
Ххх
Хху
Хха
iy x
Хуу
Ху в
Хв х
Хв у Хав
|
Формулы преобравовання |
||||
сЧ?! + s4# ! |
+ ( Щ г + |
^ 8в) «2с2 |
|||
(Ф?х + |
Ф82 — Ф8в) «2с2 + |
(s4 + с1) Ф?2 |
|||
[2 ^ ? ! — 2$Щ 2 + |
(2ф?2 + |
ф8в) O' 2 — с2)] sc |
|||
s4^?! + |
+ (2 ф?2 + |
Ф8в) s2c2 |
|||
|2 s2i|)}1 — 2 сЩ г — (2ф?2 -f- T|>8e) (s2 — c2)] sc |
|||||
(4^?! — 8-ф?2 + 4ф?2) s2c2 + |
(s2 — c2) 2 ф8в |
||||
c> ? i + s M 2 + 2 (ф?2 |
+ |
2 фм) s2c2 |
|||
(ф?1 + |
ф§2 — 4 ф8в) s2e2 + |
|
(s4 + с4) ф?2 |
||
[с2ф?! — S^gj + |
(ф?2 + 2ф8в) (S2 — с2)] SC |
||||
в4ф?1 + <4 ф§2 + 2 (ф?2 + 2 ф8в) s2c2 |
|||||
Г«2Ф? 1 — с2ф?2 — (Ф?2 + |
2ф8в) (s2 — С2)] SC |
||||
(ф?1 — 2ф?2 + ф8г) s2c2 |
+ |
|
(S2 — с2) 2 ф8в |
||
е**Ь + |
2 + |
(Х?2 + |
« |
1 |
+ 2х8в) *2с2 |
(X?i + |
Х?2 — 2х8в) «2с2 + |
^Х?2 + s4x8i |
[С2 (Х?1 — Х?2 — X8e) — S2 (Х?2 — X?! — X8e)3 2sc
(X?i + |
Х?г — 2x8e) s2c2 + S4X?2 + ^XSi |
s4X?i + |
C4X?2 + (X?2 + XSi + 2x8e) s2« 2 |
I®2 (X?1 — X?2 — X8e) — с2 (х8г — X8i — x8e)l 2sc |
|
\* ( 4 i — x8 1— x8e ) — s2 (x?2 — x?s — x8e)l sc |
|
[s2 (X?1 — X? 1 — X8e) — с2 (X§2 — X?2 — x8e)] s c |
(X?1 + X82 — X?2 — x8x) 2S2C2 + (c2 — s2) 2 x8e
П р и м е ч а н и е . Принятые обозначения: s = sin 0, с = cos 0.
В (8.103) компоненты матриц упруго диссипативных характеристик по на пряжениям фжж, фуу, фавj i компоненты
матрицы |
податливости S XXt |
S yyt S 88 |
связаны |
с компонентами в |
главных |
осях У, 2 монослоя формулами, приве денными в табл. 8 . 6 и 8 .2 .
Формулы (8.103) через технические упругие и диссипативные постоянные монослоя можно записать следующим
образом:
s»c*
1 L T Z - 7 Z T
£ х |
|
' |
ZV M X s*c* |
Ег ) |
|
|
(8.104) |
~^i (1 + |
2ум) *]* |
ч>« Х«ас» + ^ - ( « а — <&)*
,(S2 — с2)2
(8.105)
Формула для фу определяется соот ношением (8.104) при замене угла 6 на угол (я/2 — 0).
На рис. 8.10 представлены диаграм мы зависимости (8.104) коэффициента диссипации фх от угла 0 ориентации волокон относительно направления на гружения для однонаправленного угле пластика HMS/DX210. Исходные дан ные для расчета представлены в табл. 8.7. Экспериментальные резуль таты заимствованы из работы [21].
8.5.2 Упругодиссипативные характе ристики многослойного материала при
Рис. 8.10. Зависимости коэффициента дис сипации фя и модуля упругости Ех при
одноосном циклическом нагружении одно направленного углепластика HMS/DX210 от угла ориентации волокон 0 :
О» □ — экспериментальные результаты;
------------- расчетные
плоском напряженном состоянии. Оп ределим упругодиссипативные ха рактеристики многослойного мате риала (см. рис. 8.3) при плоском напряжейном состоянии. Будем считать, что слои деформируются одинаково [см. (8.23)], а средние для пакета слоев напряжения определены форму лами (8.22). При идеальной взаимо связи слоев потери энергии в много слойном композите при циклическом нагружении равны сумме потерь энер гии в монослоях. Потери за цикл на гружения в k-м слое определяются с помощью матрицы УДХ по деформа
циям [фху!(/г) через амплитудные зна чения компонент вектора деформации, или с помощью матрицы УДХ моно
слоя по напряжениям |
через |
амплитудные значения |
напряжений, |
8.7. Упругие и диссипативные характеристики варубежных однонаправленных композитов
|
Ег |
Е% |
Gtn |
|
У1 |
Ъя |
|
К омпоэнфы |
|
ГПа |
|
Via |
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
||
Углепластик: |
188,8 |
6,0 |
2,7 |
0,3 |
0,67 |
6,9 |
10 |
HMS/DX209 |
|||||||
HTS/DX210 |
103,4 |
7,6 |
3,8 |
0,3 |
0,49 |
5,5 |
6,7 |
HMS/DX210 |
172,7 |
7,2 |
3,8 |
0,29 |
0,45 |
4,2 |
7,1 |
Стеклопластик |
37,8 |
10,1 |
4,9 |
0,29 |
0,87 |
6,1 |
6,9 |
GLASS/DX210 |
|
|
|
|
|
|
|
9 П/р В. В. Васильева
или с помощью смещенной матрицы
1%ху]^ [см. (8.101)]. Соответственно и потери энергии в многослойном па раллелепипеде из композита (см. рис. 8.3) единичной длины и ширины, отнесенные к толщине пакета Я, мо гут быть представлены в трех формах:
“ - r i w i ' W ' x
4 « ' —
k=\
х « ’} *(fc); |
(8-106) |
/2=1
Под напряжениями или деформациями в (8.106) понимаются их амплитудные значения в гармоническом цикле на гружения.
Потери энергии в многослойном композите могут быть определены с помощью матриц УДХ относительно средних напряжений {аху} и дефор маций {еху}:
Л1Г = -тр {еху}^ [фХу] {©осу};
AU7 = {еху}т [х*у] { о х у };
(8.107)
^{^*1/}^ [Фжу] {^эсу}*
Связь между матрицами УДХ по средним напряжениям и деформаци ями в (8.107) с матрицами УДХ мо нослоев устанавливается соотноше ниями
[ф*у] = 2 №*„]<*> й(А); Л=1
(X*»] = (jS IX*irl<*>(Gsv](ft)«(*>j X
Мху] = |
lSXy] 1 2 |
[Gxy]W [фху]<Л) х |
|
|
\*2=1 |
|
|
|
Х[0Ху]<Л>Я<Л>\ [SXy], |
|
|
где матрицы жесткости \Gxy\ |
и по |
||
датливости |S xy] |
= |Gxy]“l |
пакета |
|
слоев |
определены |
формулами |
(8.26), |
(8.29). Для частных случаев структуры пакета слоев многослойного композита формулы (8.108) могут быть заметно упрощены. Так для перекрестно-арми рованного материала матрица УДХ по напряжениям может быть представ лена в виде
[%B] = irxv]+ lsxg)iPxg)[Sxl/],
|
|
|
|
|
|
|
(8.109) |
|
где Мху] |
— неполная |
|
упругодисси |
|||||
пативная |
матрица |
монослоя |
в |
|||||
системе координат |
(х, |
у), |
а |
(Рху] — |
||||
вспомогательная матрица: |
|
|
|
|||||
|
|
Фху |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Фуу |
0 |
|
|
1р х„} = |
||
|
|
0 |
Фее- |
|
|
|
||
|
|
Р х у |
|
0 |
- |
|
|
|
|
|
Руу |
|
0 . |
|
|||
|
|
|
0 |
Рм - |
|
|
||
Матрица |
] |
равна |
матрице [ф^] |
|||||
[см. (8.101)] |
при |
Ф ж в= ф ув= 0, |
а |
|||||
компоненты матрицы |
|Р ху] |
выража |
||||||
ются формулами |
|
|
|
|
|
|
||
Рхх = |
&Х8 (2фжв£хж + |
2фувйху “Ь |
|
|||||
|
+ Фвв^*в); |
|
|
|
|
|||
Рх8 = Фжу (ёувёхо^ + |
Ёху6х8) 4" |
|
||||||
4" Фув (8уу8х8 |
4" 8ув8ху) + |
|
||||||
|
+ |
ФввЯ*в£ув; |
|
(8-110) |
||||
Руу = |
8 у8 (2фхвёжу 4~ 2фув#уу “Н |
|
||||||
|
“Ь Фвв£ув)1 |
|
|
|
|
|||
Р$8 = |
^ХХ&\& 4“ |
|
|
X&yS 4" |
|
4“ ^Фд:e&xs8&B 4” ФyySys 4" ^ys&ys^ss-
При одноосном нагружении перек рестно-армированного композита вдоль оси х потери энергии и потенци
альная энергия равнн соответственно
W = “2“ Ухх°х' ^ ~ ~2“ ах№х*
(8. 111)
где Еа — модуль упругого пакета слоев в направлении оси х;
^х = &хх &хд/8дд*
а соответствующий этому случаю на гружения коэффициент диссипации принимает вид
фя = ДW l W = y xx/SKa- (8.112)
Раскрывая (8.112) с учетом (8.109)— (8.11), (8.29), (8.39), имеем
^ X X ( & х х 8 д д |
S l y ) |
Рис. 8.11. Зависимости коэффициента дис сипации фх и модуля упругости Ех при
одноосном циклическом нагружении пе рекрестно-армированного углепластика HTS/DX210 от угла ориентации волокон: д , -----экспериментальные результаты;
--------- — расчетные
|
2фда {SaaSyy — SyeSay) |
_j_ |
ординат (х, у) с помощью матриц |
||||||||||
|
|
|
Syg |
|
|
^g 113) |
УДХ |
по деформациям |
[фжу1(Л) или |
||||
j Фаа ( Ё л а Ё у у |
S y e S x y )a |
|
по |
напряжениям |
1фЖу 1 ^ и |
ампли |
|||||||
8 |
g g [g jt x & g g |
8*Xg ) |
|
|
тудных значений деформаций |
{exy}(fe) |
|||||||
В (8.113) компоненты матрицы УДХ |
или |
напряжений |
|
соотноше |
|||||||||
ниями |
|
|
|
|
|||||||||
монослоя и компоненты матрицы жест |
|
|
|
|
|
|
|||||||
кости монослоя в системе координат |
ДГ<*>-----{е‘£>}Т [<Pw ]W К '} : |
||||||||||||
(х, у) связаны с компонентами соответ |
|||||||||||||
ствующих матриц в естественных осях |
|
|
|
|
|
|
|||||||
монослоя |
формулами, |
приведенными |
w |
(k) = - J - К |
Л Т I 'M '* 1 К Л - |
||||||||
в табл. |
8.2, |
8.6. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
На рис. 8.11 представлены графики |
|
|
|
|
|
св. 1 1 4 ) |
|||||||
вависимости |
коэффициентов |
диссипа |
Найдем потери энергии Д1Р в объ |
||||||||||
ции |
и |
модулей упругости |
Ех от |
||||||||||
угла 0 при одноосном нагружении |
еме многослойного композита |
единич |
|||||||||||
вдоль оси х перекрестно-армированных |
ных размеров вдоль осей х, у и вы |
||||||||||||
композитов. |
При |
расчетах |
использо |
сотой Н (см. рис. 8.3). Проведя интегри |
|||||||||
валась трехкомпонентная модель УДХ |
рование по высоте каждого монослоя |
||||||||||||
монослоя. |
Упругие и |
диссипативные |
в первом уравнении (8.114) с учетом |
||||||||||
характеристики материалов, |
исполь |
(8.71), |
получим |
|
|
|
|||||||
зованных |
при |
расчетах, |
сведены в |
|
Д Г = - 1 - ( |в 01Т М |
| е 01 + |
|||||||
табл. 8.7. |
|
|
|
|
|
|
|
8.5.3.Диссипация энергии при изги
бе многослойных композитов. |
Будем |
+ 2 {е°1т [<р,] {х} + {х}т 1фа] {х}), |
||||||
считать, что слои композита идеально |
|
|
|
(8.115) |
||||
связаны между собой, при этом вы |
|
|
|
|||||
полняются гипотезы Кирхгофа—Лява |
где матрицы |
[<рх], |
[фа!» [фэ! |
связаны |
||||
классической |
теории |
пластин, |
при |
|||||
с матрицами УДХ |
монослоев следую |
|||||||
водящие к формулам (8.71) для дефор |
||||||||
щим образом: |
|
|
|
|||||
маций пакета |
слоев. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
Удельные |
потери |
энергии |
Д1Р(Л) |
п |
|
|
|
|
каждого £-го монослоя за цикл нагру |
[< p ii= 2 |
J |
[ф*у](*> л ; |
№ *1- |
||||
жения при плоском напряженном со |
||||||||
Л=| *<fe-l) |
|
|
||||||
стоянии определяются |
в системе ко- |
|
|
при этом амплитудное значение по тенциальной энергии многослойного композита имеет вид
Рис. 8.12. Зависимости коэффициента дис сипации фх и приведенного модуля упру
гости Ех однонаправленного гибридного
углестеклопластика от угла ориентации волокон по отношению к плоскости дей ствия циклического изгибающего момента:
------------- расчетные; О* X — экспери ментальные
п2^)
= S |
1 |
|
= |
ft=i z(fe—X) |
|
||
|
n |
Z^) |
|
= |
2 |
J |
**dz |
|
k=l e(*—1) |
|
или
ft *<*)
г — L . m |
T p** |
Н И |
2 [M f |
|_С* |
D* J \ М Г |
|
|
(8.119) |
Для многослойного композита с сим метричной укладкой монослоев от носительно срединной плоскости, ко торая выбрана за координатную, соот ношения (8.118) упрощаются (см. (8.87), (8.81)1:
г Л -*ъ А -* |
о -1ГЛП |
Х L о |
D - ^ D - ' J \Af/* |
(8. 120)
Для случая одноосного свободного изгиба, когда
МКФ 0; М у = 0; Мху = 0; {N) =
= {0},
формулы (8.119), (8.120) для одно направленного композита позволяют получить следующее выражение для коэффициента диссипации:
фм = ДW /W = $ x x /S xx,
1 |
te*vl{k) 2*~l ^ |
(/= |
|
|
|
|
|
|
|
( 8. 121) |
||
*=1 e(k—1) |
|
|
которое |
совпадает с (8.103), (8.104). |
||||||||
|
= 1, 2, |
3). |
(8.116) |
|||||||||
|
Для |
случая |
перекрестно-армиро |
|||||||||
В свернутом |
матричном виде |
(8.115) |
ванных |
материалов |
(при |
достаточно |
||||||
большом числе слоев п) из (8.119), |
||||||||||||
можно записать так: |
Ж}- |
|||||||||||
(8.120) |
следуют |
формулы, |
совпадаю |
|||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
щие с формулой (8.113), полученной |
||||||||||
|
|
для одноосного циклического плоского |
||||||||||
|
|
нагружения |
материалов |
этого |
типа. |
|||||||
|
|
|
(8.117) |
Констатируемое |
совпадение |
коэффи |
||||||
где матрицы [фу] (/ = |
1, 2, 3) — сим |
циентов |
диссипации |
однонаправлен |
||||||||
ного и перекрестно-армированного |
||||||||||||
метричные, полностью заполненные (в |
||||||||||||
композита при свободном изгибе и |
||||||||||||
общем случае |
ориентации монослоев). |
|||||||||||
одноосном нагружении в |
плоскости |
|||||||||||
Воспользовавшись |
(8.87), |
пред |
||||||||||
в общем случае невозможно для ком |
||||||||||||
ставим потери энергии |
многослойного |
|||||||||||
позита |
произвольной |
структуры. |
||||||||||
композита за |
цикл нагружения как |
|||||||||||
На рис. 8.12 представлены экспери |
||||||||||||
функцию силовых факторов: |
|
|||||||||||
|
ментальные |
зависимости |
для |
много |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||
а[£»*■■*> |
слойного композита в случае цикличе |
|||||||||||
ского нагружения изгибающим момен |
||||||||||||
том при изменении ориентации пло |
||||||||||||
|
|
|
|
скости действия момента по отноше |
||||||||
|
|
|
|
нию к |
осям |
армирования |
композита. |
Внешние слои выполнены не углепла стика HMS/DX210, внутренний — из стеклопластика GLASS/DX210. Ис ходные данные по упругим и дисси пативным характеристикам материа лов взяты из табл. 8.7.
8.6. ПРОЧНОСТЬ
И ДЕФОРМАТИВНОСТЬ
многослойных композитов
8.6.1. Описание прочностных свойств монослоя. Раврушение материала обычно связывают с его напряженным состоянием; при этом критерий проч ности (разрушения) имеет вид
Z |
L |
7 |
|
I / |
------------- ft |
z |
Z |
_________ / |
с6)
|
|
|
t<Pih |
/0 = |
0, |
|
(8.122) |
Рис. 8.13. Предельные |
|
|
поверхности |
||||||||||||
где F — некоторые характеристики |
однонаправленного композита |
|
|
|
|||||||||||||||||||
прочности |
материала. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Феноменологические критерии проч |
Соотношение |
(8.124) |
определяет в |
||||||||||||||||||||
ности типа (8.122) призваны обеспе |
пространстве |
ст*, |
оа, |
ти |
поверхность, |
||||||||||||||||||
чить |
интерполяцию |
данных некото |
которую |
принято |
называть |
предель |
|||||||||||||||||
рых базовых экспериментов по опре |
ной (рис. 8.13, а). |
|
|
|
|
с |
ти |
||||||||||||||||
делению |
прочностных |
характеристик |
Эксперименты, |
проведенные |
|||||||||||||||||||
материала |
на |
случай |
напряженного |
пичными |
однонаправленными |
компо |
|||||||||||||||||
состояния |
произвольного вида. След |
зитами, |
позволили |
установить, |
что |
||||||||||||||||||
ствием имеющейся |
относительной сво |
в зависимости от вида напряженного |
|||||||||||||||||||||
боды в формулировке критериев проч |
состояния |
|
реализуются |
принципиаль |
|||||||||||||||||||
ности является неоднозначность в вы |
но различные |
механизмы |
разрушения |
||||||||||||||||||||
боре |
конкретной |
формы |
критерия |
материала: |
разрыв волокон, |
расслое |
|||||||||||||||||
(8. 122). |
|
|
распространение |
получи |
ние материала, |
разрушение |
|
связую |
|||||||||||||||
Широкое |
щего, |
потеря |
|
устойчивости |
волокон |
||||||||||||||||||
ли тензорно-полиномиальные формы |
и т. д. Поэтому аппроксимация по |
||||||||||||||||||||||
записи критериев |
прочности |
ПО, 16]: |
верхности |
|
прочности |
гладкой |
|
поверх |
|||||||||||||||
Fiat + |
FijOiOj + |
FijbOtOjOh + • • • |
= |
ностью |
(8.124) не |
представляется |
бес |
||||||||||||||||
спорной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= |
1, |
i, |
/, |
AJ = |
1, |
2, |
... , 6, |
(8.123) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Простейшая гипотеза, учитывающая |
|||||||||||||||||||||||
где |
Ft, |
Ft], |
Fijk, |
... — матричные |
возможность |
реализации |
нескольких |
||||||||||||||||
механизмов |
разрушения |
материала, |
|||||||||||||||||||||
обозначения тензоров |
поверхности |
состоит в том, что эти виды разрушения |
|||||||||||||||||||||
прочности второго, четвертого, шестого |
взаимно |
независимы |
|
и |
разрушение |
||||||||||||||||||
и последующих четных рангов. |
и |
наступает |
|
тогда, |
когда |
предельных |
|||||||||||||||||
Если |
ограничиться |
линейными |
значений достигают в отдельности на |
||||||||||||||||||||
квадратичными слагаемыми (такие ог |
пряжения orif a2 или т12. Предельная |
||||||||||||||||||||||
раничения |
обычны при |
практическом |
поверхность |
в |
пространстве |
|
о1э |
а2, |
|||||||||||||||
использовании критерия), то для орто- |
т12 в этом случае представляет собой |
||||||||||||||||||||||
тропного |
тела, |
рассматриваемого |
в |
прямоугольный |
|
|
параллелепипед |
||||||||||||||||
главных осях симметрии, при плоском |
(рис. 8.13, б), а условие (критерий) |
||||||||||||||||||||||
напряженном |
состоянии |
формула |
прочности |
имеет |
вид |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
(8.123) |
имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
- |
/ 7- i < a 1< F +1; |
|
|
|
||||||||||
|
Fi°i + |
F202 + |
|
|
+ F22o\ + |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
- F _ 2< a 2< F +a; |
|
(8.125) |
|||||||||||||||
|
|
“Ь ^ F l 2Gl a 2 + |
F ввТ12 — 1 * |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.124) |
И и | < |
Рис. 8.14. Модельные диаграммы деформирования однонаправленного |
|
материала |
в |
со |
||||||||||||||||||||||
ставе пакета слоев многослойного композита |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
где |
F — |
соответствующие |
пределы |
При |
достижении |
предельных |
напря |
|||||||||||||||||||
прочности; |
|
знаки |
«+» |
и t—» |
в |
ин |
жений F+1 или i7»! слой считается раз |
|||||||||||||||||||
дексах означают |
соответственно |
рас |
рушенным. При нагружении в на |
|||||||||||||||||||||||
тяжение и сжатие. |
|
|
|
|
|
|
|
правлении, |
ортогональном |
волокнам, |
||||||||||||||||
8.6.2. |
Особенности |
деформирования в |
пределах |
участка |
0—1 |
|
(см. |
|||||||||||||||||||
монослоя с хрупким полимерным свя |
рис. 8.14, б) слой монолитен |
и |
|
ли |
||||||||||||||||||||||
зующим в составе многослойного па |
нейно упруг. В точке 1 начинается |
|||||||||||||||||||||||||
кета. |
Изолированные |
однонаправлен |
процесс трещинообразования |
в |
|
свя |
||||||||||||||||||||
ные |
материалы |
(монослои) |
деформи |
зующем, |
|
крторый |
|
развивается |
|
на |
||||||||||||||||
руются практически |
линейно |
упруго |
участке |
де<формирования |
1—2. Раз |
|||||||||||||||||||||
вплоть до разрушения. Важной осо |
грузка с любой точки участка 1—2 |
|||||||||||||||||||||||||
бенностью |
|
современных |
однонаправ |
происходит |
с |
разгрузочным |
модулем |
|||||||||||||||||||
ленных композитов (прежде всего с |
Е2, равным секущему модулю диа |
|||||||||||||||||||||||||
полимерными |
связующими) |
является |
граммы. Остаточные деформации |
|
рав |
|||||||||||||||||||||
то, что предельные деформации при |
ны нулю, что соответствует предполо |
|||||||||||||||||||||||||
растяжении |
монослоя |
в |
поперечном |
жению о полном закрытии трещин. |
||||||||||||||||||||||
направлении |
(соответствующие |
вы |
При |
последующем |
сжатии материала |
|||||||||||||||||||||
полнению |
условия |
о2 |
> F+а) |
и |
при |
(участок диаграммы 3—4) полностью |
||||||||||||||||||||
сдвиге в плоскости |
слоя |
(| т121= |
F12) |
восстанавливается |
начальный |
модуль |
||||||||||||||||||||
существенно |
меньше |
предельных |
де |
материала. |
Повторное |
деформирова |
||||||||||||||||||||
формаций |
материала |
при |
растяжении |
ние |
материала |
при |
|
положительных |
||||||||||||||||||
в продольном |
направлении. |
Поэтому |
значениях |
|
напряжений |
а2 |
происходит |
|||||||||||||||||||
деформирование |
многослойных |
па |
по участку |
3—2 и |
далее |
по |
участку |
|||||||||||||||||||
кетов со сложной структурой укладки |
2—2'. Диаграмма деформирования на |
|||||||||||||||||||||||||
монослоев, |
как |
правило, |
сопровожда |
рис. 8.14, |
б построена в функции при |
|||||||||||||||||||||
ется |
процессами |
трещинообразования |
веденной деформации |
ёа = |
еа + |
V12£I , |
||||||||||||||||||||
в связующем одного, нескольких или |
что позволяет учесть влияние дефор |
|||||||||||||||||||||||||
всех монослоев пакета. |
|
|
|
|
|
мирования |
в |
направлении |
укладки |
|||||||||||||||||
Будем считать, |
что деформирование |
волокон |
на |
растрескивание |
связую |
|||||||||||||||||||||
однонаправленного материала в соста |
щего. |
Разгрузочный |
|
модуль |
£ а |
на |
||||||||||||||||||||
ве пакета слоев многослойного компо |
|
|||||||||||||||||||||||||
диаграмме |
оа—ёа |
определяется выра |
||||||||||||||||||||||||
зита происходит в соответствии с диаг |
||||||||||||||||||||||||||
жением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
раммами, представленными на рис. 8.14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Деформирование |
|
однонаправленного |
|
|
|
|
|
|
V ilV y]-1 |
|
|
|||||||||||||||
материала |
|
в |
направлении |
волокон |
|
£ а = |
Г л |
|
|
|
||||||||||||||||
линейно упругое |
(см. |
рис. |
8.14, |
а). |
|
|
|
|
[ at |
|
|
E t |
J |
|
|
|
где индекс «♦» — знак наибольшего |
восьми |
возможных |
вариантов |
значе |
||||||||||||||||||
значения |
параметра |
|
за |
предысторию |
ний, приведенных в табл. 8.8. |
|||||||||||||||||
деформирования. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Будем |
считать, |
что коэффициент |
|||||||||||
При сдвиге (см. рис. 8.14, в) на |
Пуассона не изменяет своего значе |
|||||||||||||||||||||
участке 0— 1 монослой деформируется |
ния в процессе деформирования и |
|||||||||||||||||||||
линейно |
упруго. Участок |
диаграммы |
выполняется соотношением симметрии |
|||||||||||||||||||
1—2 |
|
соответствует |
|
этапу |
развития |
Et*A = |
£*Vfc, тогда |
|
|
|
||||||||||||
трещинообразования в связующем мо< |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
нослое. Разгрузка (участок 2—3) про |
|
|
V2 l = V21?2. |
|
|
|||||||||||||||||
исходит с разгрузочным модулем сдви |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Параметры |
эффективной |
жесткости |
||||||||||||||||||||
га G12 = |
TI2/Y?2- |
Процесс |
сдвигового |
|||||||||||||||||||
деформирования не зависит от знака |
используются |
при формировании мат |
||||||||||||||||||||
напряжения |
|
|
Поэтому |
на |
участке |
рицы |
жесткости |
монослоя, |
связываю |
|||||||||||||
3—4 деформирование |
также |
происхо |
щей |
приращения |
напряжений |
и де |
||||||||||||||||
дит |
с |
|
разгрузочным |
модулем |
8 ^ . |
формаций: |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Повторное деформирование |
в |
область |
|
|
Да! ' |
|
|
1 |
|
|
||||||||||||
положительных напряжений |
|
про |
|
|
Ааа |
|
|
X |
|
|||||||||||||
исходит по траектории 4—3—2 и |
|
|
|
l - v ? 2vS, |
|
|||||||||||||||||
далее по участку 2—2', где возобнов |
|
|
Атха, |
|
|
|
||||||||||||||||
ляется |
|
трещинообразование |
в |
свя |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
зующем. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
мо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Началу трещинообразования |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
нослое |
соответствуют |
напряжения |
aj |
|
|
X |
|
|
|
|
|
|||||||||||
и х\ |
(см. рис. 8.14» в), |
определяемые |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
условиями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
О |
|
|
||||
|
| Х\2 I = |
^ 12» |
° 2 ^ |
|
|
2» |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
Авх |
|
|||
|
|
а2 = ^+ 2 > |
| Х12 | ^ |
^12- |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
Аеа |
(8.126) |
||||||||||||
В |
соответствии |
с |
рассматриваемой |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
моделью |
поведения |
монослоя, |
кроме |
|
|
|
|
|
AYIS, |
|
||||||||||||
двух |
естественных |
его |
состояний, — |
О |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
— V?2V2l) G12&12 |
|
|
||||||||||||||||||||
начального |
(монолитный материал) и |
или |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
конечного |
(материал |
|
разрушен) |
— |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
существует |
группа |
|
промежуточных |
|
Д {Gi*} = |
[G°] д {е1а}. |
|
|||||||||||||||
состояний: материал с трещинами в |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
полимерном |
связующем. |
|
|
|
|
8.6.3. |
Алгоритмы решения задач о |
|||||||||||||||
Введем матрицу-столбец параметров |
деформировании |
и |
прочности |
много |
||||||||||||||||||
эффективной |
жесткости |
монослоя |
слойных композитов. Описанная мо |
|||||||||||||||||||
{Si, £а» Sis}» которые определим следу |
дель поведения монослоя может быть |
|||||||||||||||||||||
ющим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
применена для анализа процессов де |
|||||||||||||
1г = |
|
|
ёа |
|
|
|
|
|
|
|
|
формирования |
и |
разрушения |
много |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
слойных композитов, составленных из |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нескольких |
разноориентированных |
|||||||
|
|
|
|
Е$, |
|
|
|
|
|
|
|
|
монослоев. Для |
многослойных |
компо |
|||||||
Здесь |
|
|
GJ2 |
— |
начальные, |
зитов эта процедура достаточно тру |
||||||||||||||||
£i, £ 2 » 0%2 — текущие значения |
каса |
доемка |
и предполагает использование |
|||||||||||||||||||
тельных модулей упругости монослоя, |
ЭВМ. |
|
|
|
|
|
реали |
|||||||||||||||
зависящие |
от |
предыстории |
деформи |
Наиболее естественными для |
||||||||||||||||||
рования. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зации модели являются алгоритмы по |
|||||||||||
В зависимости от знака напряжений |
следовательных |
нагружений. |
Могут |
|||||||||||||||||||
0 2» величины |
деформаций |
ва и |
|у 12| |
быть построены три основных типа |
||||||||||||||||||
и знака их приращений матрица- |
таких алгоритмов: основанные на по |
|||||||||||||||||||||
столбец параметров эффективной жест |
следовательном |
изменении |
напряже |
|||||||||||||||||||
кости |
монослоя |
принимает |
одно |
из |
ний, деформаций и комбинированные |
8.8. Параметры эффектнввой жесткости однонаправленного материала
Параметры дефорынро
|
Состояние |
|
венноро |
ооофояния |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Si |
Б, |
BID |
|||
|
ыовоодоя |
|
в поперечном |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
при |
одвнге |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
направденвн |
|
|
|
||||
|
Начальное |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
||
F_l < |
а < |
F+1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
F_t < |
os < |
f+i, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|*i* \ < Fit |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
в2 < |
ё* |
|
|
|
1 |
E.JE1 |
G j Q b |
Трещины открыты |
®2 “ |
®2» |
1Via 1< |
IVia 1 |
1 |
0 |
G12/G?2 |
|||||
|
|
|
||||||||||
|
а * > 0 |
|
|
Дё, > 0 |
|
|
|
1 |
0 |
0 |
||
|
|
|
|
|
ё2 < |
Ц |
1Via l = |
1Vi2 1» |
1 |
£ 2 £? |
0 |
|
|
|
|
|
|
Д 1Via 1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
|||
Трещины закрыты |
|
|
|
|
|
|||||||
ё , < |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
о, < 0 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
G 12/G?2 |
|||
|
|
|
|
|
1Via l < |
1Via 1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Конечное |
|
= |
F+1, |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
или |
а* = /L 1, |
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(и) |
а2 = |
F„% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Алгоритмы первого типа приведены |
Полные |
деформации и |
приращения |
вработе 112|, пример алгоритма деформаций монослоев в естественных
третьего типа дан в статье [9]. Алгоритм второго типа (деформа
ционного нагружения) может быть построен следующим образом. Будем считать, что на всех этапах деформи рования композита связь его слоев идеальна, т. е. деформации всех слоев в системе координат композита (х, у) при плоском напряженном состоянии одинаковы и равны средним деформа циям композита в целом. Пусть на т-м шаге нагружения средние деформации
композита |
возрастают |
на величину |
шага по |
деформациям |
А {еху}т = |
= {Аех, Деу, Аужу}т . |
|
Полные средние деформации компо зита после m-го шага нагружения становятся равными сумме
координатах монОслоев (1, |
опре |
делим следующим образом: |
|
здесь матрица преобразований дефор маций [ r j ^ i определена на преды-
п ГруЖенИЯ По Формулам
1см. (8.2), (8Л26*Ь ^0ЯХРаВНЫ
А Ы Й » - [ Э » е ,А Ы <;);
{в*у)т = {®ху}т- 1 + А{еху}т* |
Ы%) =Ыт1.+Д)о12}<?>. |
Средние напряжения в пакете слоев на m-м шаге нагружения, необходи мые для построения диаграмм дефор мирования композита, определим сле дующим образом 1см. (8.5), (8.22)]:
|e « U |
= |
2 F llm il Ы |
т ,й(А)* |
|
|
k=\ |
|
Параметры |
напряженно-деформиро |
||
ванного |
состояния слоев |
используем |
|
для определения матрицы |
параметров |
||
эффективной |
жесткости каждого слоя |
в соответствии £ логикой модели, от раженной в табл. 8.8:
Параметры эффективной жесткости слоев используем при формировании по формулам (8.126) их матриц ка
сательных жесткостей соот
ветствующих m-му этапу нагруже ния.
Относительно небольшая жесткость при сдвиге многих современных поли мерных композитов и их склонность к трещинообразованию при сдвиге не редко приводят к заметному изменению исходных углов укладки монослоев вследствие деформаций сдвига. Этот вид нелинейностей, связанный с из менением геометрических параметров (углов укладки слоев) структуры мно гослойного композита, принято назы вать структурной нелинейностью. Приближенный учет этого вида не линейности может быть проведен путем коррекции углов укладки слоев сле дующим образом:
|
С = в £ - \ + ? [ & / 2 . |
||||
Новые |
значения |
углов |
армирова |
||
ния |
0**) |
используем |
на |
( т + 1)-м |
|
шаге |
нагружения |
при |
определении |
||
матрицы |
преобразования |
деформаций |
|||
|
по формулам |
(8.7). |
На рис. 8.15 представлена построен ная по описанному алгоритму диа грамма деформирования стеклопласти ка квазиизотропной структуры [0°, 90°, 45°,-—45°]. На диаграмме отмечены характерные точки «излома», свя занные с началом трещинообразования
в |
слоях, уложенных под углом 90° |
к |
направлению нагружения (of°° = |
Ох-Ю~1Па
Рис. 8.16. Диаграмма |
деформированна |
||||
многослойного стеклопластика: |
Па; |
||||
--------- |
— расчет (при Ег = 3920» 107 |
||||
F+1 = |
108* 107 |
Па; |
ЕЛ= 840107 |
Па; |
|
F+t = |
3,2-107 |
Па; |
Glt = |
420• 107 |
Па; |
F„ = |
ll,7 .10» |
Па; |
= |
0,26); □, |
д , |
О — эксперимент (Halpin)
= F+t), а также в слоях, уложенных под углом ±45° к направлению нагру жения (of° = F+2). В обоих случаях начало трещинообразования связано с достижением напряжений оа, в ор тогональных волокнах, предела прочности F+a.
Характерные точки подобных диа грамм, построенных для различных лучей нагружения (деформирования), позволяют построить диаграммы пре дельных состояний на плоскости ох —
— о». Для квазиизотропной струк туры [0°, 90°, 45°, —45°] диаграмма предельных состояний построена на
рис. 8.16.
Шриховые линии на рис. 8.16 со
ответствуют |
смене состояний слоев |
композита, |
а сплошные — полному |
разрушению материала.
Надписи у линий поясняют причины изменения состояния материала.
На рис. 8.17 приведена диаграмма прочности перекрестно-армирован-