2539
.pdf
|
|
= |
2a |
2 2π |
|
|
|
|
ϕ |
+ |
1 |
sin 2ϕ cos |
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
sinϕ cos |
|
|
|
|
|
dϕ = |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∫0 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 2π |
|
|
|
3ϕ |
|
|
ϕ |
|
1 |
|
|
5ϕ |
|
1 |
|
3ϕ |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
= a |
|
∫0 |
sin |
|
|
+sin |
|
+ |
|
sin |
|
|
+ |
|
|
|
sin |
|
|
|
dϕ = |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= −a |
2 |
|
|
|
|
3ϕ |
+2cos |
ϕ |
+ |
1 |
cos |
5ϕ |
|
2π |
32 |
a |
2 |
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
cos |
|
2 |
2 |
5 |
|
2 |
|
|
|
= |
5 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Отсюда r = |
M p |
= |
4 |
a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
c |
m |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
10.6. Вычислить: а) статический момент первого витка ко- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
нической винтовой линии |
x = t cos t , |
|
y = t sin t , |
z = t |
|
относи- |
тельно плоскости хОу, считая плотность пропорциональной квадрату расстояния от этой плоскости ρ = kz2 ; б) моменты
инерции относительно координатных осей и начала координат первого витка винтовой линии x = a cos t , y = a sin t , z = bt .
Решение. а) Статический момент пространственной линии относительно плоскости, согласно пункту 4°
вычисляется по формуле mxy = ∫ρ(M )zdl . Подставляя сюда
L
заданную плотность и переходя к параметрическому виду функций, будем иметь
mxy = k |
2∫π t3 |
|
(cos t −t sin t)2 +(sin t +t cos t)2 +1dt = |
||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= k2∫π t3 t2 +2dt. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Делаем замену t2 +2 = u2 , |
tdt = udu , |
|
|
t2 |
= u2 −2 , тогда |
||||||||||||||||
|
|
2 2π2 +1 |
|
2 |
2 |
u5 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
2 2π2 +1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
mxy = k |
|
∫ |
|
|
(u |
|
−2)u |
du = k |
|
|
− |
|
|
u |
|
|
|
= |
|||
|
|
|
|
5 |
|
3 |
|
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
4k |
2 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
= |
|
3(2π2 +1)2 −5(2π2 +1)2 + 2 |
|
= |
|||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
91
б) Моменты инерции относительно координатных осей находим по формулам (6). Полагая ρ(M ) =1, получим
Ix |
= ∫(a2 sin2 t +b2t2 ) |
a2 +b2 dt = |
|
|
|
||||||||||
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
a2 +b2 |
|
2π |
|
|
2π |
|
|
|
||||
|
|
a2 |
∫sin2 tdt +b2 |
∫t2dt |
|
= |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
= |
a |
2 |
+b |
2 |
2 |
1 |
t − |
1 |
|
|
2 t3 |
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
a |
|
|
4 |
sin 2t +b |
3 |
|
|
= |
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
0 . |
||
=π a2 + |
8 b2π2 |
a2 +b2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Iy = ∫(a2 cos2 t +b2t2 ) a2 +b2 dt = |
||||||||||||
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
2π |
|
|
2π |
|
|
|
||
|
|
|
a2 +b2 a2 ∫cos2 tdt +b2 |
∫t2dt = |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
=π a2 |
+ |
8 |
b2π2 a2 |
+b2 . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Iz |
= ∫(a2 cos2 t +a2 sin2 t) |
a2 +b2 dt = |
||||||||||||
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= a2 a2 +b2 2∫π dt = 2πa2 a2 +b2 . . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
I0 |
= ∫(a2 cos2 t +a2 sin2 t +b2t2 ) a2 +b2 dt = |
||||||||||||||
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= a2 +b2 2∫π (a2 +b2t2 )dt =
0
=2π a2 +b2 a2 + 4 π2b2 .
3
92
10.7. Поле образовано силой F {P,Q}, где P = x − y , Q = x .
Вычислить работу при перемещении единицы массы по контуру квадрата со сторонами x = ±a , y = ±a .
Решение. Расположим начало координат в центре квадрата (рис. 1.52) и будем обходить квадрат от точки А против часовой стрелки. Уравнение прямой АВ имеет вид y = −a .
Согласно формуле (7), работа на отрезке АВ равна
EAB = ∫ Pdx +Qdy = ∫a |
(x − y)dx = ∫a |
(x + a)dx = 2a2 . |
|
AB |
−a |
−a |
|
Рис. 1.52
Уравнение прямой ВС: x = a . По формуле (7) работа на отрезке ВС равна
EBC = ∫a xdy = a ∫a dy = 2a2 .
−a −a
Уравнение прямой CD: y = a , Работа на отрезке CD равна
ECD = ∫a (x − y)dx = ∫a (x −a)dx = 2a2 .
−a −a
Уравнение прямой DA: x = −a . Работа на отрезке DA равна
EDA = ∫a xdy = −a ∫a dy = 2a2 .
−a −a
Таким образом, вся работа при перемещении единицы массы по контуру квадрата равна E =8a2 .
93
|
10.8. В каждой точке М эллипса |
x2 |
+ |
y2 |
=1 приложена сила |
|
JG |
a2 |
b2 |
||||
|
|
|
F , равная по величине расстоянию от точки М до центра
эллипса и направленная к центру эллипса. Найти работу силы
JG
F при перемещении точки вдоль дуги эллипса, лежащей в первом квадранте.
Решение. Поскольку сила от произвольной точки М эллипса, лежащей в первом квадранте, направлена к центру эллипса, а ее величина равна расстоянию отG точкиG GМ до
центра, то ее можно представить в виде F = −xi − y j где
величина проекции |
силы |
через параметр |
t |
имеют |
вид |
|
x = a cos t , |
y = a sin t , |
знаки минус указывают |
на то, |
что |
||
направления |
проекций |
противоположны |
направлениям |
|||
координатных осей. |
|
G |
|
|
|
Подставляя проекции силы F в формулу (7) и переходя от криволинейного интеграла к обыкновенному с переменной t , получим
E =∫Pdx +Qdy =−∫xdx + ydy =
L |
L |
|
|
|
|
|
|
π |
|
π |
|
|
|
|
|
= ∫2 |
(a2 costsint −b2 sint cost)dt =(a2 −b2)∫2 sintd sint = |
a2 −b2 |
. |
||||
0 |
|
0 G |
G |
2 |
G |
G |
|
10.9. Вычислить работу силового поля F |
= 2xyi |
+ y2 |
j |
− xk |
при перемещении материальной точки вдоль сечения гипербо-
лоида x2 + y2 −2z2 |
= 2a2 плоскостью y = x от точки A(a, a,0) |
до точки B(a 2, a |
2, a) . |
Решение. Сечение гиперболоида плоскостью представляет
кривую, уравнение которой имеет вид |
x2 − z2 = a2 . Подставляя |
|||||
в формулу (7) проекции силы |
G |
|
пользуясь уравнением |
|||
F и |
|
|||||
плоскости y = x и кривой x2 = a |
2 + z2 , получим |
|
||||
E = ∫2xydx + y2dy − x2dz = a∫2 |
2x |
2dx + a∫2 |
y2dy −a∫2 |
(a2 + z2 )dz = |
||
L |
a |
|
a |
|
a |
|
94
|
2 |
|
3 |
|
a 2 |
|
y3 |
|
a 2 |
|
2 |
|
z3 |
|
a |
|
3 |
|
|
|
7 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
|
x |
|
|
|
+ |
|
|
|
− a |
|
z + |
|
|
|
|
= a |
|
|
2 2 |
− |
|
. |
3 |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.10. Найти потенциальную функцию силы F {P,Q, R} и определить работу силы на участке пути, если: а) P = 0 , Q = 0 , R = −mg (сила тяжести точки массы т) и точка перемещается
из положения A(x1, y1, z1 ) |
в положение B(x2 , y2 , z2 ) ; |
|
||||
б) |
P = − kx , |
Q = − ky , |
R = − kz , |
где |
k −const , |
|
|
r3 |
r3 |
r3 |
|
|
|
r = x2 + y2 + z2 |
(сила |
ньютоновского притяжения) |
и |
|||
материальная точка из |
положения |
A(x1, y1, z1 ) |
удаляется |
в |
||
бесконечность. |
|
|
|
|
JG |
|
|
|
|
|
|
|
Решение. а) Потенциальную функцию U силы F определяем по формулам (8) U = −∫mgdz = −mgz . Согласно
формуле (9) искомая работа
E = ∫B dU =U (B) −U ( A) = −mg(z2 − z1 ) = mg(z1 − z2 ) ,
A
т. е. зависит только от разности апликат начала и конца пути. б) Потенциальная функция U, согласно формулам (8),
равна
U = −k∫ |
|
xdx |
|
|
|
= −k ∫ |
ydy |
|
|
= |
(x2 + y2 + z2 ) |
3 |
|
(x2 + y2 + z2 ) |
3 |
|
|||||
|
2 |
|
|
|
2 |
. |
||||
= −k ∫ |
|
zdz |
|
|
|
= k . |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
(x2 + y2 + z2 )2 |
|
r |
|
|
|
|
Работу определяем по формуле (9) в зависимости от координат начальной и конечной точки пути
∞ |
|
k |
|
|
E = ∫dU =U (∞) −U ( A) = − |
|
|
. |
|
2 |
2 |
2 |
||
A |
x1 |
+ y1 |
+ z1 |
95
10.11. Найти силу, с которой масса m0 , находящаяся в
начале |
координат, |
притягивается: |
а) |
однородной |
полуокружностью x 2 + y 2 = R 2 (рис. 1.53); б) |
однородной |
ломаной линией ABC с координатами точек A(a, 0), B(0, a) и C (−a, 0); в) дугой астроиды, лежащей в первом квадранте,
если плотность кривой в каждой ее точке равна кубу расстояния этой точки от начала координат.
Рис. 1. 53
Решение. а) Из соображений симметрии проекция
равнодействующей на |
ось Ox |
равна |
x = 0 . |
Радиус |
полуокружности r = R . |
Обозначим |
угол |
между |
радиус- |
вектором и осью Ox за θ . Учитывая, что dl = R dθ, проекцию
Y находим по формуле |
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|||||
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
sin θ |
|
m0ρ |
|
π |
|
m0ρ |
|
π |
2m0ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Y = m0 |
|
∫ |
dl = |
∫ |
sin θdθ =− |
|
|
|||||||
ρ |
|
|
|
|
cos θ |
= |
|
. |
||||||
r 2 |
|
R |
R |
R |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||||||
|
|
L |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
б) Представим ломаную линию на рис. 1.54 в системе координат Oxy . Нетрудно заметить, что из соображений симмет-
рии проекция равнодействующей силы на ось Ox равна нулю, а на ось Oy равна удвоенной проекции равнодействующей
силы притяжения однородной материальной прямой AB .
96
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.54 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Уравнение прямой x + y = a , отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x 2 + y 2 = r |
2 , |
y |
= sin θ, |
x = a −y , |
dl = |
|
2 dy . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Используя формулу |
( |
, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
y dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Y = 2 2 ρ∫ |
|
dy = 2 2 ρ∫ |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
(x 2 + y 2 )2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
a |
|
|
|
y dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
y dy |
|
|
|
|
|
|||||
= 2 2 ρ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
=2 2 ρ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||||||
|
0 |
((a −y)2 + y 2 )2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
(a 2 −2ay + 2 y 2 )2 |
||||||||||||||||||||
|
2 2 |
|
a |
|
|
|
y dy |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
y dy |
|
|
|
|
|
|||||||
= |
|
ρ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=ρ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|||||
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
a |
2 |
2 |
0 |
|
|
a |
|
2 |
|
a |
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
y |
−ay + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
− |
|
+ |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сделаем замену переменной y −a2 = t ; тогда dy = dt ; y = t + a2 при y = 0 ; t =−a2 и при y = a ; t = a2 .
97
Интеграл примет вид
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
t + a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y = ρ∫ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−a |
2 |
+ |
a 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Представим |
его |
|
в |
|
виде |
суммы |
двух интегралов |
|||||||||||||||||||||||||
Y =Y1 +Y2 . Первый интеграл равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ρ |
|
2 |
|
|
|
a |
2 |
−2 |
|
|
2 |
|
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
Y1 = |
∫ |
2 |
+ |
|
|
|
|
d |
|
|
+ |
|
|
|
|
= |
|
|
||||||||||||||
|
t |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
− |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
=−ρ |
|
|
|
|
|
|
2 |
=−ρ |
|
− |
|
= 0 ; |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
t |
2 + a 2 |
−a2 |
|
|
|
|
|
|
|
a 2 |
|
|
|
|
|
a 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
Найдём значение второго интеграла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Y2 = ρ2 ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
−3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−a |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Сделаем ещё замену переменной t |
|
= a tg z , тогда dt |
= a |
dz |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 cos 2 z |
При t = a2 ; z = π4 и при t =−a2 ; z = −π4 . Будем иметь
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
π |
|
|
a |
|
a |
4 |
|
dz |
|
2ρ |
4 |
|
Y2 = 2 |
4 |
|
2 |
ρ∫ |
|
|
|
|
= a |
∫ cos z dz = |
|
|
|
3 |
|||||||
|
|
|
|
−π |
|
a |
|
−π |
||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
cos 2 |
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
cos 3 z |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
98
π
=2ρ sin z 4 a −π4
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 2 |
|
|
2ρ |
|
|
|
|
||||
= |
|
|
|
+ |
|
|
= |
|
ρ. |
|
|
|
|
||||||
|
2 |
2 |
|
a |
|||||
|
a |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом
Y = 2 2 ap .
в) В силу симметрии притяжения дугой астроиды массы, расположенной в начале координат, проекции равнодействующей на оси координат равны, т. е. X =Y . Для нахождения проекции, например, X воспользуемся формулой (10). Поскольку плотность кривой в каждой точке равна кубу
расстояния |
этой |
точки |
от |
начала |
координат, то |
||||||||
X = m0 |
∫ |
r 3 cos θ |
dl . |
Здесь |
r - расстояние некоторой точки |
||||||||
r |
2 |
|
|||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
астроиды |
от |
|
начала |
координат. |
Учитывая, |
что |
= cos θ |
||||||
|
|
||||||||||||
(рис. 2. 19) и x = a cos 3 t , |
y = a sin 3 t , получим |
r |
|||||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X = m0 ∫ a cos 3 t |
9a 2 cos 4 t sin 2 t +9a 2 sin 4 t cos 2 t dt = |
||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3m0a 2 |
|
sin t cos 4 tdt = 3 m0a 2 . |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
I , текущий в бесконечном |
|||
10.12. С какой силой ток |
прямолинейном проводнике, действует на точечную магнитную массу m , находящуюся на расстоянии h от проводника.
Решение. Будем определять силу от конечного отрезка проводника при условии, что концы удаляются в разные стороны до бесконечности. Если сам проводник принять за ось x , а ось y провести через заданную точку с магнитной массой
99
m и учесть, что в данном случае |
dl = dx , r = |
h 2 + x 2 , |
|||||||||||||
sin α= h |
, то по формуле (11) получим |
|
|
|
|
|
|||||||||
r |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h dx |
|
|
|
|
|||
|
|
|
FG = mI ∫ |
|
|
|
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
−∞ (h 2 + x 2 )2 |
|
|
|||||||
Делая замену x = htg t , dx = |
|
h dt |
|
, получим |
|
|
|||||||||
cos 2 t |
|
|
|||||||||||||
|
π |
|
|
|
|
|
π |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
h |
2 |
dt |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
FG = mI ∫ |
|
|
|
|
= mI |
∫ cos tdt = |
2mI . |
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
−π h 3 |
|
|
|
cos 2 t |
h |
−π |
|
h |
||||||
|
cos 3 t |
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1.11. Поверхностные интегралы
1°. Поверхностные интегралы первого рода. Пусть во всех точках M кусочно-гладкой поверхности S определена функ-
ция f (M )= f (x, y, z). Разобьем поверхность S на частичные поверхности, площади которых равны S1, S 2 ,..., S n , возьмем в каждой частичной поверхности по произволу точку
M i (xi , yi , zi ) и вычислим в этой точке значение |
функции |
f (M i )= f (xi , yi , zi ), умножив его на площадь Si |
. Сумма |
таких произведений называется интегральной суммой |
|
n
σ = ∑ f (M i )
i=1
n
Si = ∑ f (xi , yi , zi ) Si .
i=1
Если существует предел последовательности интегральных сумм при стремлении диаметров всех частей Si к нулю,
который не зависит ни от способа разбиения поверхности S
100