2539
.pdf
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
||
|
9 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
S = ∫ |
2x 1+ |
|
|
dx = ∫(2x +1) |
2 dx = 1 |
2 (2x +1)2 |
9 = |
98 . |
|||||||||||||||||||
|
2x |
|||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
0 |
81 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) |
Дифференциал |
|
|
контура |
в |
данном |
случае |
равен |
||||||||||||||||||||
dl = |
x2 + y2 + z2 dt = |
|
|
a2 +b2 dt . |
|
Отсюда |
|
|
площадь |
|||||||||||||||||||
цилиндрической поверхности |
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
S = 2∫π bt a2 +b2 dt = b a2 +b2 t2 |
|
= 2π2b a2 +b2 . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) Запишем уравнение эллипса в параметрическом виде |
||||||||||||||||||||||||||||
x = a cos t , |
y = bsin t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Дифференциал дуги равен dl = |
a2 sin2 t +b2 cos2 tdt . При |
|||||||||||||||||||||||||||
z ≥ 0 площадь цилиндрической поверхности равна |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
S = k ∫a cos t |
|
a2 sin2 t +b2 cos2 tdt = |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2ak ∫2 cos t |
|
|
b2 +(a2 −b2 )sin2 tdt = |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin t = u |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
c |
2 |
|
= a |
2 |
−b |
2 |
= 2ak ∫ b2 +c2u2 du. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Интегрируя по частям, будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 2 |
|
b2 |
|
|
|
|
|
2 |
2 2 |
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
b |
|
+c u |
|
+ c ln(cu + |
b +c u |
) |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
S = ak u |
|
|
|
|
= |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
= ak a + b |
ln a +c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = ρ cosϕ , |
||||||
г) Перейдем к полярной |
|
|
системе координат |
|||||||||||||||||||||||||
y = ρsinϕ , |
тогда уравнение |
|
окружности |
|
в |
плоскости хОу |
||||||||||||||||||||||
будет |
ρ = R cosϕ . |
|
|
При |
|
|
z ≥ 0 |
площадь |
|
цилиндрической |
поверхности
161
S = ∫ R2 − x2 − y2 dl = 22∫π |
R2 − ρ2 ρ2 + ρ′2 dϕ = |
||||
|
L |
|
|
0 |
|
= |
2∫π |
R2 − R2 cos2 ϕ R2 cos2 ϕ + R2 sin2 ϕdϕ = |
|||
|
0 |
|
|
|
|
= 2R2 |
2∫π sinϕdϕ = 2R2 . |
|
|||
|
|
0 |
|
|
|
6.4. Найти массу: а) участка кривой y = ln x между точка- |
|||||
ми с абсциссами x = 1 |
и x = 2 , если плотность кривой в каж- |
||||
|
|
1 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
дой точке равна квадрату абсциссы точки; б) первого витка винтовой линии x = a cos t , y = a sin t , z = bt , если плотность в
каждой ее точке пропорциональна длине радиус-вектора этой
точки |
ρ = kt , k |
|
- коэффициент пропорциональности; |
в) всей |
|||||||||||||||||||||||
кардиоиды r = a(1+cosϕ) , если плотность ρ = k |
|
r . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Решение. а) По формуле (3), учитывая, что ρ = x2 , имеем |
|||||||||||||||||||||||||||
m = ∫2 |
x2dl . Так как dl = |
1 |
1+ x2 dx , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
3 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
5 |
3 |
35 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
∫ |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
m = |
(1 |
+ x )2 xdx = |
|
(1+ x )2 |
|
|
|
= |
|
( |
5) − |
|
|
|
|
|
= |
|
5. |
|||||||
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
24 |
||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) Первому витку отвечает изменение параметра t |
|
от 0 до |
|||||||||||||||||||||||||
2π . Выразим через параметр плотность: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ = kr = k x2 + y2 + z2 = k a2 +b2t2
и дифференциал дуги
dl = x2 + y2 + z2 = a2 +b2 dt .
Отсюда по формуле (3) имеем
162
m = 2∫π k a2 +b2 |
a2 +b2t2 dt = k a2 +b2 2∫π |
a2 +b2t2 dt |
0 |
0 |
|
Интегрируя по частям, получим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
m = k a2 +b2 |
t |
|
|
a2 +b2t |
2 + |
a |
ln |
(bt + a2 +b2t2 ) |
|
= |
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2 |
|
2b |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
a2 |
|
|
2πb + |
a2 + 4π 2b2 |
|||||
= k a |
|
+b |
|
|
π |
a |
|
+ 4π |
|
b |
|
+ |
|
|
ln |
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
2b |
|
a |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) Воспользуемся формулой (3). Дифференциал дуги равен
dl = ρ |
|
+(ρ ) |
dϕ = |
a |
|
(1+cosϕ) |
|
+a |
|
sin |
|
ϕdϕ = |
|
2 |
′ 2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
= a 2 1+cosϕdϕ.
При нахождении массы всей кардиойды ϕ изменяется от 0 до 2π . Таким образом
|
m = |
2∫π k |
a(1+cosϕ)a 2 |
1+cosϕdϕ = |
|||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= ka |
2a |
2∫π (1+cosϕ)dϕ = 2kπa |
2a. |
|
|||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
6.5. Найти координаты центра тяжести: а) однородной по- |
|||||||||
луарки циклоиды |
x = a(t −sin t) , y = a(1−cos t) |
(0 ≤ t ≤π) ; б) |
|||||||
первого |
полувитка винтовой |
линии |
x = a cos t , |
y = a sin t , |
|||||
z = bt , |
считая |
|
плотность |
постоянной; |
в) |
кардиоиды |
r = a(1+cosϕ) , считая плотность ρ =1 .
Решение. а) Координаты центра тяжести однородной полуарки циклоиды вычисляем по формулам (4), считая плотность ρ постоянной величиной. Тогда
m = π∫ρ |
x2 + y2 dt = aρπ∫ |
(1−cos t)2 +sin2 tdt = 2aρπ∫sin |
t |
dt = |
||||||
2 |
||||||||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
||
|
|
−4aρ cos |
t |
|
|
π |
= 4aρ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
163
Статические моменты относительно координатных осей
my = π∫ρa2 (t −sin t) |
(1−cos t)2 +sin2 tdt = |
|||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
π |
|
t |
|
|
t |
|
= |
2a |
|
ρ |
∫0 |
t sin |
|
−sin t sin |
|
dt = |
|
|
2 |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2a2 ρ |
−2t cos |
t |
|
+ 4sin |
t |
|
+ |
|
4 |
sin3 |
|
t |
|
|
|
π |
= |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
32 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
2 |
|
0 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
= |
2a |
2 |
ρ |
|
4 |
+ |
|
= |
|
|
a |
2 |
ρ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
mx |
= π∫ρa2 (1−cos t) |
|
(1−cos t)2 +sin2 tdt = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
π |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
= 2a |
|
ρ |
∫0 |
sin |
|
|
|
−cos t sin |
|
|
dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
1 |
|
|
|
3t |
|
|
|
t |
|
|
π |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
= 2a |
|
|
ρ −2t cos |
|
|
|
|
+ |
|
|
cos |
|
|
|
−cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||
|
|
2 |
3 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=2a2 ρ 2 − 1 +1 = 16 a2 ρ.
3 3
Отсюда x = |
my |
= |
8 |
a , |
y |
c |
= |
m |
x |
= |
4 |
a . |
c |
m |
|
3 |
|
|
|
m |
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
б) Координаты центра тяжести первого полувитка винтовой линии находим по формулам (5). Поскольку плотность постоянна, то дроби (5) можно сократить на ρ после вынесения
ρ за знаки интегралов. |
В этом случае, при вычислении |
необходимых величин, ρ |
целесообразно опустить, приравняв |
ее, например, единице |
|
m = π∫ x2 + y2 + z2 dt = π∫ a2 +b2 dt =π a2 +b2 . |
|
0 |
0 |
164
|
myz = π∫x |
x2 + y2 + z2 dt = a |
|
a2 +b2 |
π∫cos tdt = |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= a |
a2 +b2 sin t |
|
π |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
= π∫y |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π∫sin tdt = |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
mxz |
x2 + y2 + z2 dt = a a2 +b2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||
|
|
= −a |
a2 +b2 cos t |
|
π |
= 2a |
a2 +b2 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
myz = ∫ zdl = bπ∫t |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
t2 |
|
|
π |
|
|
1 bπ2 a2 +b2 . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
a2 +b2 dt = b |
|
a2 +b2 |
|
|
= |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
AB |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Отсюда |
x |
|
= |
|
myz |
= |
0 , y = |
m |
|
= |
2a |
, |
z |
|
= |
|
mxy |
= |
bπ |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
xz |
|
|
c |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
c |
|
|
m |
|
c |
m |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
m |
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) Поскольку кардиоида симметрична относительно полярной оси, то центр тяжести лежит на полярной оси, т. е. ϕc = 0 .
При постоянной плотности ρ =1 масса кардиоиды равна
π |
π |
|
|
|
|
|
|
|
m = 2∫dl = 2∫ |
r |
2 |
′ 2 |
dϕ = |
|
|||
|
+(r ) |
|
||||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
= 2aπ∫ |
1+ 2cosϕ +cos2 ϕ +sin2 ϕdϕ = |
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 4aπ∫cos |
ϕ dϕ = 8a sin ϕ |
|
π |
= 8a |
||||
|
||||||||
|
0 |
2 |
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Так как полярная ось совпадает с осью Ох, то статический момент относительно полярной оси находим по формуле
2π |
|
|
|
|
M p = ∫ydl = ∫ r sinϕ |
r |
2 |
′ 2 |
dϕ = |
|
+(r ) |
L0
=2a2 2∫π (1+cosϕ)sinϕ cos ϕ2 dϕ =
0
165
|
|
= 2a |
2 2π |
|
|
|
|
ϕ |
+ |
1 |
sin 2ϕ cos |
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
sinϕ cos |
|
|
|
|
|
dϕ = |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∫0 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 2π |
|
|
|
3ϕ |
|
|
ϕ |
|
1 |
|
|
5ϕ |
|
1 |
|
3ϕ |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
= a |
|
∫0 |
sin |
|
|
+sin |
|
+ |
|
sin |
|
|
+ |
|
|
|
sin |
|
|
|
dϕ = |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= −a |
2 |
|
|
|
|
3ϕ |
+2cos |
ϕ |
+ |
1 |
cos |
5ϕ |
|
2π |
32 |
a |
2 |
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
cos |
|
2 |
2 |
5 |
|
2 |
|
|
|
= |
5 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Отсюда r = |
M p |
= |
4 |
a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
c |
m |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6.6. Вычислить: а) статический момент первого витка ко- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
нической винтовой линии |
x = t cos t , |
|
y = t sin t , |
z = t |
|
относи- |
тельно плоскости хОу, считая плотность пропорциональной квадрату расстояния от этой плоскости ρ = kz2 ; б) моменты
инерции относительно координатных осей и начала координат первого витка винтовой линии x = a cos t , y = a sin t , z = bt .
Решение. а) Статический момент пространственной линии относительно плоскости, согласно пункту 4°
вычисляется по формуле mxy = ∫ρ(M )zdl . Подставляя сюда
L
заданную плотность и переходя к параметрическому виду функций, будем иметь
mxy = k |
2∫π t3 |
|
(cos t −t sin t)2 +(sin t +t cos t)2 +1dt = |
|||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= k2∫π t3 t2 +2dt. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Делаем замену t2 +2 = u2 , |
tdt = udu , |
|
t2 |
= u2 −2 , тогда |
||||||||||||||
|
2 2π2 +1 |
|
2 |
2 |
u5 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
2 2π2 +1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
mxy = k |
|
∫ |
|
|
(u |
|
−2)u |
du = k |
|
|
− |
|
u |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
5 |
|
3 |
|
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= 4k |
2 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
= |
||
|
3(2π2 +1)2 −5(2π2 +1)2 + 2 |
|
||||||||||||||||
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
166
б) Моменты инерции относительно координатных осей находим по формулам (6). Полагая ρ(M ) =1, получим
Ix |
= ∫(a2 sin2 t +b2t2 ) |
a2 +b2 dt = |
|
|
|
||||||||||
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
a2 +b2 |
|
2π |
|
|
2π |
|
|
|
||||
|
|
a2 |
∫sin2 tdt +b2 |
∫t2dt |
|
= |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
= |
a |
2 |
+b |
2 |
2 |
1 |
t − |
1 |
|
|
2 t3 |
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
a |
|
|
4 |
sin 2t +b |
3 |
|
|
= |
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
0 . |
||
=π a2 + |
8 b2π2 |
a2 +b2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Iy = ∫(a2 cos2 t +b2t2 ) a2 +b2 dt = |
||||||||||||
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
2π |
|
|
2π |
|
|
|
||
|
|
|
a2 +b2 a2 ∫cos2 tdt +b2 |
∫t2dt = |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
=π a2 |
+ |
8 |
b2π2 a2 |
+b2 . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Iz |
= ∫(a2 cos2 t +a2 sin2 t) |
a2 +b2 dt = |
||||||||||||
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= a2 a2 +b2 2∫π dt = 2πa2 a2 +b2 . . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
I0 |
= ∫(a2 cos2 t +a2 sin2 t +b2t2 ) a2 +b2 dt = |
||||||||||||||
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= a2 +b2 2∫π (a2 +b2t2 )dt =
0
=2π a2 +b2 a2 + 4 π2b2 .
3
167
6.7. Поле образовано силой F {P,Q}, где P = x − y , Q = x .
Вычислить работу при перемещении единицы массы по контуру квадрата со сторонами x = ±a , y = ±a .
Решение. Расположим начало координат в центре квадрата (рис. 2.17) и будем обходить квадрат от точки А против часовой стрелки. Уравнение прямой АВ имеет вид y = −a .
Согласно формуле (7), работа на отрезке АВ равна
EAB = ∫ Pdx +Qdy = ∫a |
(x − y)dx = ∫a |
(x + a)dx = 2a2 . |
|
AB |
−a |
−a |
|
Рис. 2.17
Уравнение прямой ВС: x = a . По формуле (7) работа на отрезке ВС равна
EBC = ∫a xdy = a ∫a dy = 2a2 .
−a −a
Уравнение прямой CD: y = a , Работа на отрезке CD равна
ECD = ∫a (x − y)dx = ∫a (x −a)dx = 2a2 .
−a −a
Уравнение прямой DA: x = −a . Работа на отрезке DA равна
EDA = ∫a xdy = −a ∫a dy = 2a2 .
−a −a
Таким образом, вся работа при перемещении единицы массы по контуру квадрата равна E =8a2 .
168
|
6.8. В каждой точке М эллипса |
x2 |
+ |
y2 |
=1 приложена сила |
|
JG |
a2 |
b2 |
||||
|
|
|
F , равная по величине расстоянию от точки М до центра
эллипса и направленная к центру эллипса. Найти работу силы
JG
F при перемещении точки вдоль дуги эллипса, лежащей в первом квадранте.
Решение. Поскольку сила от произвольной точки М эллипса, лежащей в первом квадранте, направлена к центру эллипса, а ее величина равна расстоянию отG точкиG GМ до
центра, то ее можно представить в виде F = −xi − y j где
величина проекции |
силы |
через параметр |
t |
имеют |
вид |
|
x = a cos t , |
y = a sin t , |
знаки минус указывают |
на то, |
что |
||
направления |
проекций |
противоположны |
направлениям |
|||
координатных осей. |
|
G |
|
|
|
Подставляя проекции силы F в формулу (7) и переходя от криволинейного интеграла к обыкновенному с переменной t , получим
E =∫Pdx +Qdy =−∫xdx + ydy =
L |
L |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
π |
|
|
|
|
|
|
= ∫2 |
(a2 cost sint −b2 sint cost)dt =(a2 −b2 )∫2 sintd sint = |
a2 −b2 |
. |
|||||
0 |
|
0 |
G |
G |
2 |
G |
G |
|
6.9. Вычислить работу силового поля |
F |
= 2xyi |
+ y2 |
j |
− xk |
при перемещении материальной точки вдоль сечения гипербо-
лоида x2 + y2 −2z2 |
= 2a2 плоскостью y = x от точки A(a, a,0) |
до точки B(a 2, a |
2, a) . |
Решение. Сечение гиперболоида плоскостью представляет
кривую, уравнение которой имеет вид |
x2 − z2 = a2 . Подставляя |
|||||
в формулу (7) проекции силы |
G |
|
пользуясь уравнением |
|||
F и |
|
|||||
плоскости y = x и кривой x2 = a |
2 + z2 , получим |
|
||||
E = ∫2xydx + y2dy − x2dz = a∫2 |
2x |
2dx + a∫2 |
y2dy −a∫2 |
(a2 + z2 )dz = |
||
L |
a |
|
a |
|
a |
|
169
|
2 |
|
3 |
|
a 2 |
|
y3 |
|
a 2 |
|
2 |
|
z3 |
|
a |
|
3 |
|
|
|
7 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
|
x |
|
|
|
+ |
|
|
|
− a |
|
z + |
|
|
|
|
= a |
|
|
2 2 |
− |
|
. |
3 |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.10. Найти потенциальную функцию силы F {P,Q, R} и определить работу силы на участке пути, если: а) P = 0 , Q = 0 , R = −mg (сила тяжести точки массы т) и точка перемещается
из положения A(x1, y1, z1 ) |
в положение B(x2 , y2 , z2 ) ; |
|
|||
б) P = − kx , |
Q = − ky , |
R = − kz , |
где |
k −const , |
|
r3 |
r3 |
r3 |
|
|
|
r = x2 + y2 + z2 |
(сила |
ньютоновского притяжения) |
и |
||
материальная точка из |
положения |
A(x1, y1, z1 ) |
удаляется |
в |
|
бесконечность. |
|
|
|
|
JG |
|
|
|
|
|
Решение. а) Потенциальную функцию U силы F определяем по формулам (8) U = −∫mgdz = −mgz . Согласно
формуле (9) искомая работа
E = ∫B dU =U (B) −U ( A) = −mg(z2 − z1 ) = mg(z1 − z2 ) ,
A
т. е. зависит только от разности апликат начала и конца пути. б) Потенциальная функция U, согласно формулам (8),
равна
U = −k ∫ |
|
xdx |
|
|
|
= −k ∫ |
ydy |
|
|
= |
(x2 + y2 + z2 ) |
3 |
|
(x2 + y2 + z2 ) |
3 |
|
|||||
|
2 |
|
|
|
2 |
. |
||||
= −k ∫ |
|
zdz |
|
|
|
= k . |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
(x2 + y2 + z2 )2 |
|
r |
|
|
|
|
Работу определяем по формуле (9) в зависимости от координат начальной и конечной точки пути
∞ |
|
k |
|
|
E = ∫dU =U (∞) −U ( A) = − |
|
|
. |
|
2 |
2 |
2 |
||
A |
x1 |
+ y1 |
+ z1 |
170