2539
.pdf4. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 4.1. Задачи по разделу кратные интегралы
Задача 1. Вычислить.
1.1. |
∫∫(12x2 y2 +16x3 y3 )dxdy; |
1.2. |
∫∫(9x2 y2 +48x3 y3 )dxdy; |
D |
D |
|
D : x =1, y = x2 , y = − x. |
|
1.3. |
∫∫(36x2 y2 −96x3 y3 )dxdy; |
1.4. |
D |
||
|
D : x =1, y = 3 x, y = −x3. |
|
1.5. |
∫∫(27x2 y2 + 48x3 y3 )dxdy; |
1.6. |
D |
||
|
D : x =1, y = x2 , y = −3 x. |
|
1.7. |
∫∫(18x2 y2 +32x3 y3 )dxdy; |
1.8. |
D |
D : x =1, y = x, y = −x2 .
∫∫(18x2 y2 +32x3 y3 )dxdy;
D
D : x =1, y = x3 , y = −3 x.
∫∫(18x2 y2 +32x3 y3 )dxdy;
D
D : x =1, y = 3 x, y = −x2 .
∫∫(27x2 y2 + 48x3 y3 )dxdy;
D
|
D : x =1, y = x3 , y = − x. |
D : x =1, y = x, y = −x3. |
|
1.9. |
∫∫(4xy +3x2 y2 )dxdy; |
1.10. |
∫∫(12xy +9x2 y2 )dxdy; |
D |
D |
||
|
D : x =1, y = x2 , y = − x. |
|
D : x =1, y = x, y = −x2 . |
|
∫∫(8xy +9x2 y2 )dxdy; |
1.12. |
∫∫(24xy +18x2 y2 )dxdy; |
1.11. D |
D |
D : x =1, y = 3 x,
∫∫(12xy +27x2 y2
1.13.D
D : |
x =1, |
y = x2 , |
|||||||
|
4 |
xy + |
9 |
|
x |
2 |
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
1.15. ∫∫D |
5 |
|
11 |
|
|
|
|
y = −x3. )dxdy;
y = −3 x.
dxdy;
D : x =1, y = x3 , y = −3 x.
∫∫(8xy +18x2 y2 )dxdy;
1.14.D
D : x =1, y = 3 x, y = −x2 .
1.16. |
∫∫D |
4 |
2 |
2 |
5 |
xy +9x y |
|
||
|
|
|
dxdy; |
D : x =1, y = x3 , y = − x. |
D : x =1, y = x, y = −x3. |
191
1.17. |
∫∫( |
24xy −48x3 y3 )dxdy; |
1.18. |
|
D |
|
|
||
|
D : x =1, y = x2 , y = − x. |
|
||
1.19. |
∫∫( |
4xy +16x3 y3 )dxdy; |
1.20. |
|
D |
|
|
||
|
D : x =1, y = 3 x, y = −x3. |
|
||
1.21. |
∫∫( |
44xy +16x3 y3 )dxdy; |
1.22. |
|
D |
|
|
||
|
D : x =1, y = x2 , y = −3 x. |
|
||
1.23. |
∫∫(xy −4x3 y3 )dxdy; |
1.24. |
||
D |
|
|
||
|
D : x =1, y = x3 , y = − x. |
|
||
|
|
6x2 y2 + 25 x4 y4 |
dxdy; |
|
1.25. ∫∫D |
3 |
|
1.26. |
|
|
D : x =1, y = x2 , y = − x. |
|
||
|
|
3x2 y2 + 50 x4 y4 |
dxdy; |
|
1.27. ∫∫D |
3 |
|
1.28. |
|
|
D : x =1, y = 3 x, y = −x3. |
|
||
1.29. |
∫∫(54x2 y2 +150x4 y4 )dxdy; |
|||
D |
|
|
1.30. |
D : x =1, y = x2 , y = −3 x.
∫∫(54x2 y2 +150x4 y4 )dxdy;
1.31.D
D : x =1, y = x3 , y = − x.
∫∫(6xy + 24x3 y3 )dxdy;
D
D : x =1, y = x, y = −x2 .
∫∫(4xy +16x3 y3 )dxdy;
D
D : x =1, y = x3 , y = −3 x.
∫∫(4xy +176x3 y3 )dxdy;
D
D : x =1, y = 3 x, y = −x3.
∫∫(4xy +176x3 y3 )dxdy;
D
D : x =1, y = x, y = −x3.
∫∫(9x2 y2 + 25x4 y4 )dxdy;
D
D : x =1, y = x, y = −x2 .
∫∫(9x2 y2 + 25x4 y4 )dxdy;
D
D : x =1, y = x3 , y = −3 x.
∫∫(xy −9x5 y5 )dxdy;
D
D : x =1, y = 3 x, y = −x2 .
192
Задача 2. Вычислить. |
|
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
||||
|
∫∫yexy/2dxdy; |
|
|
|
|
∫∫y |
2 |
|
|
dxdy; |
||||||||
2.1. |
|
|
|
|
|
sin 2 |
|
|||||||||||
D |
|
|
2.2. D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||
|
D : y = ln 2, y = ln 3, x = |
2, x = 4. |
|
D : x = 0, y = π , y = |
||||||||||||||
|
|
|
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||
2.3. |
∫∫y cos xy dxdy; |
|
|
2.4. |
∫∫y2e−xy/ 4dxdy; |
|
|
|
|
|
||||||||
|
D |
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
D : y =π / 2, y =π, x =1, x = 2. |
|
|
D : x = 0, y = 2, y = x. |
||||||||||||||
2.5. |
∫∫y sin xy dxdy; |
|
2.6. |
∫∫y2 cos xy |
dxdy; |
|
|
|
|
|
||||||||
D |
|
|
D |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
D : y =π / 2, y =π, x =1, x = 2. |
|
D : x = 0, y = π 2, y = x 2. |
|||||||||||||||
|
∫∫4 ye2 xy dxdy; |
|
|
|
|
∫∫4 y2 sin xy dxdy; |
||||||||||||
2.7. D |
|
|
2.8. D |
|
|
|
|
|
|
π , y = x. |
||||||||
|
D : y = ln 3, y = ln 4, x = |
1 , x =1. |
|
D : x = 0, y = |
||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
∫∫y cos 2xy dxdy; |
|
|
|
∫∫y2e−xy/8dxdy; |
|
|
|
|
|
||||||||
2.9. |
|
D |
|
2.10. |
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
D : y = π , y =π, x = 1 |
, x =1. |
|
|
D : x = 0, y = 2, |
y = |
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
∫∫12 y sin 2xy dxdy; |
|
|
|
∫∫y |
2 |
cos xy dxdy; |
||||||||||
2.11. |
D |
|
|
|
|
|
||||||||||||
D : y = π , y = |
π , x = |
|
2.12. D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2, x = 3. |
|
|
D : x = 0, y = π , y = x. |
|||||||||||||
|
|
4 |
2 |
|
|
|
∫∫y2 sin 2xy dxdy; |
|
|
|
|
|
||||||
2.13. |
∫∫yexy/ 4 dxdy; |
|
2.14. |
|
|
|
|
|
||||||||||
D |
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
D : y = ln 2, y = ln 3, x = 4, x =8. |
|
|
D : x = 0, y = 2π , y = 2x. |
|||||||||||||
|
|
∫∫2 y cos 2xy dxdy; |
|
|
|
|
|
2 |
e |
−xy/ 2 |
dxdy; |
|
|
|
|
|
||
2.15. |
D |
|
|
|
|
∫∫y |
|
|
|
|
|
|
||||||
π , x =1, x = 2. |
2.16. D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
D : y = π , y = |
|
|
D : x = 0, y = 2, y = x. |
|||||||||||||
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
193
|
∫∫y sin xy dxdy; |
|
|
|
|
|
∫∫y2 cos 2xy dxdy; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2.17. D |
1 |
|
|
|
2.18. D |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
x |
|
|
|
|||
|
D : y =π, y = 2π, x = |
, x =1. |
D : x = 0, y = |
, |
y = |
. |
|
|||||||||||||||||
|
2 |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
|
∫∫8ye4 xy dxdy; |
|
|
|
|
|
∫∫ |
3y2 sin |
|
|
|
|
dxdy; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3.19. D |
1 |
|
1 |
|
2.20. D |
2 |
|
|
|
|
4π |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
D : y = ln 3, y = ln 4, x = |
, x = |
. |
D |
: x = 0, y = |
|
, |
y = |
x. |
|||||||||||||||
|
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
||||
|
∫∫y cos xy dxdy; |
|
|
|
|
|
|
∫∫y2e−xy/2dxdy; |
||||||||||||||||
2.21. |
|
|
|
|
2.22. |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||
|
D : y =π, y = 3π, x =1 2, x =1. |
|
D : x = 0, y =1, y = |
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
∫∫ysin 2xy dxdy; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
2.23. |
|
|
|
|
|
|
∫∫y2 cos xy dxdy; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
D |
|
|
|
|
2.24. D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
D : y =π 2, y = 3π 2, x =1 2, x = 2. |
|
D : x = 0, y = π , y = 2x. |
|||||||||||||||||||||
|
∫∫6 yexy/3dxdy; |
|
|
|
|
|
∫∫y2 sin |
|
xy |
|
|
dxdy; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2.25. |
|
|
|
|
2.26. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
D |
|
|
|
|
D |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
D : y = ln 2, y = ln 3, x = 3, x = 6. |
|
D : x = 0, y = π , y = x. |
|||||||||||||||||||||
2.27. |
∫∫y cos 2xy dxdy; |
|
|
|
|
|
|
∫∫y2e−xy/8dxdy; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
D |
|
|
|
|
2.28. D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
D : y =π 2, y = 3π 2, x =1 2, x = 2. |
|
D : x = 0, y = 4, y = 2x. |
|||||||||||||||||||||
|
∫∫3ysin xy dxdy; |
|
|
|
|
2.30. ∫∫D |
y2 cos |
xy |
|
dxdy; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2.29. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
D |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
D : y =π 2, y = 3π, x =1, x = 3. |
|
D : x = 0, y = 2π , y = 2x. |
∫∫12 ye6 xy dxdy;
2.31.D
D : y = ln 3, y = ln 4, x =1 6, x =1 3.
194
Задача 4. Вычислить.
|
∫∫∫ |
2 y2exy |
dx dy dz; |
|||
3.1. |
V |
x = 0, |
y =1, y = x, |
|||
|
V |
|
= 0, z |
=1. |
||
|
|
z |
||||
|
∫∫∫y2ch (2xy) dx dy dz; |
|||||
3.3. |
V |
x = 0, y = −2, y = 4x, |
||||
|
V |
|
= 0, z |
= 2. |
||
|
|
z |
||||
|
∫∫∫x2sh (3xy) dx dy dz; |
|||||
3.5. |
V |
x =1, y = 2x, y = 0, |
||||
|
V |
|
= 0, z |
= 36. |
||
|
|
z |
||||
|
|
|
2 |
π |
|
|
|
∫∫∫y |
cos |
4 |
xy dx dy dz; |
||
3.7. |
V |
|
|
|
|
|
x = 0, y = −1, y = x 2, |
||||||
|
V |
|
= 0, |
z |
= −π2 . |
|
|
|
z |
||||
|
∫∫∫y2e−xy dx dy dz; |
|||||
3.9. |
V |
x = 0, y = −2, y = 4x, |
||||
|
V |
|
= 0, z |
=1. |
||
|
|
z |
||||
|
∫∫∫y2ch (2xy) dx dy dz; |
|||||
3.11. |
V |
x = 0, y =1, y = x, |
||||
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
z = 0, z = 8. |
|
∫∫∫x2 z sin (xyz) dx dy dz; |
||||
3.2. |
V |
x = 2, y =π, z =1, |
|||
|
V |
|
= 0, y =1, z = 0. |
||
|
|
x |
|||
|
∫∫∫ |
8 y2 z e2 xyz dx dy dz; |
|||
3.4. |
V |
x |
= −1, y = 2, z =1, |
||
|
V |
|
= 0, y = 0, z = 0. |
||
|
|
x |
|||
|
∫∫∫y2 z cos (xyz) dx dy dz; |
||||
3.6. |
V |
x =1, y = 2π, z = 2, |
|||
|
V |
|
= 0, y =1, z = 0. |
||
|
|
x |
|||
|
∫∫∫x2 z sin xyz dx dy dz; |
||||
3.8. |
V |
|
|
4 |
|
x =1, y = 2π, z = 4, |
|||||
|
V |
||||
|
|
= 0, y = 0, z = 0. |
|||
|
|
x |
|||
|
∫∫∫2 y2 z e2 xyz dx dy dz; |
||||
3.10. |
V |
x =1, y =1, z =1, |
|||
|
V |
|
|
||
|
|
|
x = 0, y = 0, z = 0. |
||
|
∫∫∫x2 z sh (xyz) dx dy dz; |
||||
3.12. |
V |
x = 2, y =1, z =1, |
|||
|
V |
|
= 0, y = 0, z = 0. |
||
|
|
x |
195
|
∫∫∫y2exy 2 |
dx dy dz; |
||
3.13. |
V |
x = 0, y = 2, y = 2x, |
||
|
V |
|
= 0, |
z = −1. |
|
|
z |
||
|
|
2 |
|
πxy |
|
∫∫∫y |
cos |
dx dy dz; |
|
3.15. |
V |
|
|
2 |
x = 0, |
y = −1, y = x, |
|||
|
V |
|
= 0, |
z = 2π2 . |
|
|
z |
||
|
∫∫∫y2cos (πxy) dx dy dz; |
|||
3.17. |
V |
x = 0, |
y =1, y = 2x, |
|
|
V |
|
= 0, |
z =π2 . |
|
|
z |
|
∫∫∫y2 z cos xyz dx dy dz; |
||
3.14. |
V |
3 |
|
x = 3, y =1, z = 2π, |
|||
|
V |
||
|
|
||
|
|
x = 0, y = 0, z = 0. |
|
|
∫∫∫x2 z sh (xyz) dx dy dz; |
||
3.16. |
V |
x =1, y = −1, z =1, |
|
V |
|
||
|
|
x = 0, y = 0, z = 0. |
|
∫∫∫2x2 z sh (2xyz) dx dy dz; |
|||
3.18. V |
x = 2, y =1 2, z =1 2, |
||
V |
|
|
|
|
x = 0, y = 0, z = 0. |
∫∫∫x2sh (2xy) dx dy dz;
3.19. V x = −1, y = x, y = 0,
V z = 0, z = 8.
∫∫∫y2ch (xy) dx dy dz;
3.21. V x = 0, y = −1, y = x,
V z = 0, z = 2.
∫∫∫x2cos π2 xy dx dy dz;
3.23. V x = 2, y = x, y = 0,
V z = 0, z =π.
|
∫∫∫x2 z sin xyz dx dy dz; |
|||
3.20. |
V |
|
2 |
|
x |
=1, y = 4, z =π, |
|||
|
V |
|||
|
|
= 0, y = 0, z = 0. |
||
|
|
x |
||
∫∫∫x2 z ch (xyz) dx dy dz; |
||||
3.22. |
V |
x =1, y =1, z =1, |
||
V |
|
|
||
|
|
x = 0, y = 0, z = 0. |
||
|
∫∫∫y |
2 z cos xyz dx dy dz; |
||
3.24. |
V |
9 |
||
|
||||
|
V |
x = 9, y =1, z = 2π, |
||
|
|
|
||
|
|
x = 0, y = 0, z = 0. |
196
∫∫∫x2cos (πxy) dx dy dz;
3.25. |
V |
x =1, y = 2x, y = 0, |
||||||||||||||||
|
V |
|
= 0, z = 4π. |
|||||||||||||||
|
|
z |
||||||||||||||||
|
∫∫∫V |
|
|
|
dx dy dz |
|
|
; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
z 4 |
||||
|
|
|
|
1+ |
|
+ |
|
|
+ |
|
|
|
||||||
|
|
|
3 |
4 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
||||
3.27. V |
: |
1+ |
x |
|
+ |
y |
|
+ |
z |
|
=1, |
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
x = 0, y = 0, z = 0. |
|||||||||||||||
|
∫∫∫x2sin (4πxy) |
dx dy dz; |
||||||||||||||||
3.29. |
V |
x =1, y = x 2, y = 0, |
||||||||||||||||
|
V |
|
= 0, z = 8π. |
|||||||||||||||
|
|
z |
||||||||||||||||
|
∫∫∫x2sh (xy) dx dy dz; |
|||||||||||||||||
3.31. |
V |
x = 2, y = x 2, y = 0, |
||||||||||||||||
|
V |
|
= 0, z =1. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
z |
|
|
|
|
∫∫∫y |
2 |
|
xyz |
|
|||
|
|
z ch |
dx dy dz; |
|||||
3.26. |
V |
|
|
|
|
2 |
|
|
x = 2, y = −1, z = 2, |
||||||||
V |
||||||||
|
|
|
= 0, y = 0, z = 0. |
|||||
|
|
x |
||||||
∫∫∫ |
2 y2 z ch (2xyz) dx dy dz; |
|||||||
V |
|
|
|
|
|
|
||
3.28. |
|
= |
1 |
, y = 2, z = −1, |
||||
V |
x |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
= 0, y = 0, z = 0. |
||||||
|
x |
|||||||
|
|
∫∫∫8 y2 z e−xyz dx dy dz; |
||||||
3.30. |
V |
x = 2, y = −1, z = 2, |
||||||
|
|
V |
|
|
|
= 0, z = 0. |
||
|
|
|
|
|
x = 0, y |
Задача 4. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
4.1. y = 3 |
x, y = 4ex , y = 3, y = 4. |
4.2. x = |
36 − y2 , x = 6 − |
36 − y2 . |
|||||||||
4.3. x2 + y2 = 72, 6 y = −x2 (y ≤ 0). 4.4. x =8 − y2 , x = −2 y. |
|
|
|||||||||||
4.5. y = |
3 , y =8ex , y = 3, |
y = 8. |
4.6. y = |
x |
, y = |
1 |
, x =16. |
||||||
2 |
|
||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
2x |
|
(y ≤ 0). |
|||
4.7. x = 5 − y2 , x = −4 y. |
4.8. x2 + y2 |
=12, |
|
- |
6 y = x2 |
|
|||||||
4.9. y = |
12 − x2 , y = 2 3 − |
12 − x2 , |
4.10. y = |
3 |
x, y = |
3 |
|
, x = 9. |
|||||
|
|
|
|
2x |
|||||||||
x = 0 (x ≥ 0). |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
197
4.11. |
y = 24 − x2 , 2 3y = x2 |
, |
|
x = 0 |
(x ≥ 0). |
|
|
|
|
4.13. y = 20 − x2 , y = −8x. 4.15. y = 32 − x2 , y = −4x.
y = sin x, y = cos x, 4.12. x = 0, (x ≥ 0).
4.14. |
y = 18 − x2 , y = 3 2 − 18 − x2 . |
4.16. |
y = 2 x, y = 5ex , y = 2, y = 5. |
x2 + y2 |
= 36, |
3 |
2 y = x2 |
4.18. y = 3 |
x, y = 3 x, x = 4. |
|||||||
4.17. (y ≥ 0). |
|
|
||||||||||
4.19. y = 6 − |
36 − x2 , y = 36 − x2 , |
4.20. y = 25 4 − x2 , y = x −5 2. |
||||||||||
x = 0 (x ≥ 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4.21. y = |
x, y =1 x, x =16. |
4.22. y = 2 |
x, y = 7ex , y = 2, y = 7. |
|||||||||
4.23. x = 27 − y2 , x = −6 y. |
4.24. |
x = 72 − y2 , 6x = y2 , |
||||||||||
y = 0 |
(y ≥ 0). |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4.25. y = |
6 − x2 , y = |
6 − 6 − x2 . 4.26. |
y = 3 |
x, y = |
3 |
, x = 4. |
||||||
|
||||||||||||
y = sin x, y = cos x, |
|
|
2 |
|
|
|
2x |
|||||
|
|
1 |
|
x |
|
|
|
|||||
4.27. x = 0, |
(x ≤ 0). |
|
4.28. y = x , y |
= 6e |
|
, y =1, y = 6. |
||||||
4.29. y = 3 |
|
x, y = 3 x, x = 9. |
4.30. y =11− x2 , y = −10x. |
|||||||||
4.31. x2 + y2 |
=12, |
x |
6 = y2 |
(x ≥ 0). |
|
|
|
|
|
|
Задача 5. Пластинка D задана ограничивающими ее кривыми, μ - поверхностная плотность. Найти массу
пластинки.
5.1.D : x =1, y = 0, y2 = 4x
μ= 7x2 + y.
5.3.D : x =1, y = 0, y2 = 4x
μ= 7x2 2 +5y.
(y ≥ 0); 5.2. |
D : x2 + y2 =1, x2 + y2 = 4, |
x = 0, y = 0 (x ≥ 0, y ≥ 0); |
|
|
μ = (x + y) (x2 + y2 ). |
(y ≥ 0); 5.4. |
D : x2 + y2 = 9, x2 + y2 =16, |
x = 0, y = 0 (x ≥ 0, y ≥ 0); |
μ = (2x +5y)(x2 + y2 ).
198
|
D : x = 2, y = 0, y2 |
= 2x (y ≥ 0); |
D : x2 + y2 =1, x2 + y2 =16, |
||
5.5. |
5.6. |
x = 0, y = 0 (x ≥ 0, y ≥ 0); |
|||
|
μ = 7x2 |
8 + 2 y. |
|
μ = (x + y) (x2 + y2 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
D : x = 2, y = 0, y2 |
= x 2 (y ≥ 0); 5.8. |
D : x2 + y2 = 4, x2 + y2 = 25, |
||
5.7. |
x = 0, y = 0 (x ≥ 0, y ≤ 0); |
||||
|
μ = 7x2 |
2 + 6 y. |
|
μ = (2x −3y) (x2 + y2 ). |
|
|
|
|
|
|
5.9.D : x =1, y = 0, y2 = 4x
μ= x +3y2 .
5.11.D : x =1, y = 0, y2 = x
μ= 3x + 6 y2 .
5.13.D : x = 2, y = 0, y2 = x
μ= 2x +3y2 .
(y ≥ 0); |
D : x2 + y2 =1, x2 + y2 = 9, |
|
5.10. |
x = 0, y = 0 (x ≥ 0, y ≤ 0); |
|
|
|
μ = (x − y) (x2 + y2 ). |
(y ≥ 0); |
D : x2 + y2 = 9, x2 + y2 = 25, |
|
5.12. |
x = 0, y = 0 (x ≤ 0, y ≥ 0); |
|
|
|
μ = (2 y − x) (x2 + y2 ). |
2 (y ≥ 0); 5.14. |
D : x2 + y2 = 4, x2 + y2 =16, |
|
x = 0, y = 0(x ≤ 0, y ≥ 0); |
μ = (2 y −3x)(x2 + y2 ).
|
D : x = |
1 |
, y |
= 0, y2 =8x (y ≥ 0); |
|
D : x2 + y2 = 9, x2 + y2 =16, |
||
5.15. |
5.16. |
x = 0, y = 0 (x ≤ 0, y ≥ 0); |
||||||
2 |
||||||||
|
|
|
|
|||||
|
μ = 7x +3y2 . |
|
|
μ = (2 y −5x) (x2 + y2 ). |
||||
5.17. D : x =1, y = 0, y2 |
= 4x (y ≥ 0); 5.18. |
D : x2 + y2 =1, x2 + y2 =16, |
||||||
x = 0, y = 0 (x ≥ 0, y ≥ 0); |
||||||||
|
μ = 7x2 + 2 y. |
|
|
μ = (x +3y) (x2 + y2 ). |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
5.19. D : x = 2, y2 |
= 2x, y = 0 (y ≥ 0); 5.20. |
D : x2 + y2 =1, x2 + y2 = 4, |
||||||
x = 0, y = 0 (x ≥ 0, y ≥ 0); |
||||||||
|
μ = 7x2 |
4 + y |
2. |
|
μ = (x + 2 y) (x2 + y2 ). |
|||
|
|
|
|
|
|
|
199
5.21. D : x = 2, y = 0, y2 |
= 2x (y ≥ 0); |
|
D : x2 + y2 =1, x2 + y2 = 9, |
|||||
5.22. |
x = 0, y = 0 (x ≥ 0, y ≤ 0); |
|||||||
|
μ = 7x2 4 + y. |
|
|
|
μ = (2x − y) (x2 + y2 ). |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
5.23. D : x = 2, y = 0, y2 |
= x 2 (y ≥ 0); 5.24. |
D : x2 + y2 =1, x2 + y2 = 25, |
||||||
x = 0, y = 0(x ≥ 0, y ≤ 0); |
||||||||
|
μ = 7x2 2 +8 y. |
|
|
μ = (x − 4 y) (x2 + y2 ). |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
5.25. D : x =1, y = 0, y2 |
|
|
D : x2 + y2 = 4, x2 + y2 =16, |
|||||
= 4x(y ≥ 0); 5.26. |
x = 0, y = 0 (x ≥ 0, y ≤ 0); |
|||||||
|
μ = 6x +3y2 . |
|
|
|
μ = (3x − y) (x2 + y2 ). |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
5.27. D : x = 2, y = 0, y2 |
= x 2(y ≥ 0); |
|
D : x2 + y2 = 4, x2 + y2 = 9, |
|||||
5.28. |
x = 0, y = 0 (x ≤ 0, y ≥ 0); |
|||||||
|
μ = 4x + 6 y2 . |
|
|
|
μ = (y − 4x) (x2 + y2 ). |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
D : x = |
1 |
, y = 0, y2 = 2x (y ≥ 0); |
|
D : x2 + y2 = 4, x2 + y2 = 9, |
|||
5.29. |
5.30. |
x = 0, y = 0(x ≤ 0, y ≥ 0); |
||||||
2 |
||||||||
|
|
|
|
|||||
|
μ = 4x +9 y2 . |
|
|
|
μ = (y − 2x) (x2 + y2 ). |
5.31.D : x = 14 , y = 0, y2 =16x (y ≥ 0);
μ=16x +9 y2 2.
Задача 6. Пластинка D задана неравенствами, μ - поверхностная плотность. Найти массу пластинки.
|
|
|
D : 1 ≤ x2 9 + y2 4 ≤ 2; |
||
6.1. |
D : x2 + y2 4 ≤1; |
6.2. |
y ≥ 0, |
y ≤ |
2 x; |
|
μ = y2 . |
|
μ = y |
x. |
3 |
|
|
|
|
200