2. Консервативные и неконсервативные силы

Консервативными называются силы, работа которых не зависит от формы траектории, а определяется только положением её начальной и конечной точек.

К классу консервативных относятся, например, гравитационные силы, упругие, силы электростатического взаимодействия.

Вычислим, например, работу, которую совершает сила тяжести при переходах частицы разными путями из положения 1 в положение 2 (рис. 6.2). Если этот переход произошёл по вертикали, то работа силы :

. (6.11)

Теперь пусть та же частица переместится из 1 в 2 по пути 1-1’-2. Здесь промежуточная точка 1’ находится на высоте h₂.

Рис. 6.2

Полная работа будет складываться из работ силы тяжести на участках 1-1’ и 1’-2:

.

Работа силы тяжести на горизонтальном участке 1’-2 равна нулю, так как здесь вектор силы нормален перемещению. Мы вновь получили прежний результат, свидетельствующий о том, что работа силы тяжести не зависит от формы траектории. Этот вывод легко обобщается и на случай произвольной криволинейной траектории, соединяющей начальную и конечную точки пути.

Гравитационная сила, сила упругости, кулоновская сила электростатического взаимодействия относятся к так называемым центральным силам.

Центральными называются силы, направленные к одной и той же точке (либо от неё). Эта точка называется силовым центром. Величина центральной силы зависит только от расстояния до силового центра r (рис. 6.3).

Рис. 6.3

Покажем, что все центральные силы консервативны.

Вычислим работу центральной силы на участке 1-2 произвольной траектории (рис. 6.3).

Элементарная работа силы на участке :

.

Здесь dS_r = dSCosα — проекция вектора перемещения на направление силы (или r). Эта проекция представляет собой изменение расстояния dr до силового центра. Значит:

dA = F(r)dr.

Работа на конечном пути:

.

Так как по определению величина центральной силы есть функция только расстояния r, то значение определённого интеграла будет зависеть только от величин r₁ и r₂, и не будет зависеть от формы траектории.

Можно дать иное определение консервативной силы.

Рассмотрим перемещение частицы из положения 1 в положение 3 под действием консервативной силы (рис. 6.4).

Рис. 6.4

Работа, совершаемая при этом силой , не зависит формы от траектории, то есть .

Теперь вычислим работу этой же силы на замкнутом пути 1-2-3-4-1. понятно, что её можно представить суммой работ на участках 1-2-3 и 3-4-1

.

При этом .

Отсюда можно заключить, что работа консервативной силы по любому замкнутому пути равна нулю

.

Силы, работа которых на замкнутом пути не равна нулю, называются неконсервативными. К числу таких сил относятся, например, сила трения и сила вязкого сопротивления. Легко понять, что при движении частицы по замкнутому контуру работа подобных сил будет отрицательной.

3. Потенциальная энергия

Состояние механической системы характеризуют потенциальной энергией, если на систему действуют только консервативные силы.

Рассмотрим два состояния системы: потенциальную энергию в одном из них (в состоянии 1, например), пример условно за 0. Тогда потенциальная энергия другого состояния — 2 равна, по определению, работе, совершаемой консервативными силами при переходе системы из состояния 2 в состояние 1.

.

Эта работа определена однозначно, так как её величина не зависит от формы траектории (рис. 6.5).

Рис. 6.5

И все же потенциальная энергия системы в состоянии 2 оказывается не однозначной, так как сохранятся произвол в выборе состояния с нулевой потенциальной энергией (1). Если считать, что нулевой энергией система обладает не в состоянии 1, а в каком-то другом состоянии — 1’, потенциальная энергия U₂ будет иной:

.

Неопределенность потенциальной энергии системы становится ещё очевиднее, если учесть, что состоянию 1 (1’) мы придали нулевое значение произвольно, а можно было бы считать её равной U₁. Тогда при переходе из состояния 2 в 1 работа консервативной силы будет равна разности потенциальных энергий (рис. 6.6.)

.

Рис. 6.6

Таким образом, приходиться смириться с тем, что потенциальная энергия системы определяется не однозначно. Её величина зависит от выбора состояния с нулевой энергией.

Рассмотрим несколько примеров расчета потенциальной энергии, поясняющий её физический смысл.

Пример 1. Потенциальная энергия тела в поле тяжести Земли. Пусть тело массы т находится на высоте h над поверхностью Земли. Какова его потенциальная энергия?

Всё зависит от того, где мы выберем уровень нулевой потенциальной энергии. Пусть он будет на поверхности Земли (рис. 6.7, а), тогда

.

Если же уровень потенциальной энергии выбрать на высоте H (H > h), то работа совершаемой силой тяжести при переходе на этот уровень будет отрицательной. Следовательно, отрицательна и потенциальная энергия тела в состоянии 1 (рис.6.7, б)

.

Рис. 6.7

Пример 2. Вычислим энергию гравитационного притяжения двух частиц массой М и т, расположенных на расстоянии r друг от друга (рис. 6.8). Энергия такой системы считается, обычно, равной нулю, когда частицы разведены на бесконечность. Значит потенциальная энергия заданной системы равно работе, которую совершает гравитационная сила притяжения при удалении, например, массы m в бесконечность. При этом положение массы М будем считать неизменным.

Рис. 6.8

Элементарная работа гравитационной силы при удалении массы m на dr будет отрицательной:

.

Полную работу получим, вычислив интеграл:

.

Эта работа и определит искомую потенциальную энергию системы:

.

Энергия оказалась отрицательной . Максимальное значение энергия системы достигает при r  . Этот максимум равен нулю.