3. Собственные колебания физического маятника

Физическим маятником можно назвать любое твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной точки или оси. Возьмём в качестве такого маятника однородный тонкий стержень длиной l (рис. 12.7).

Рис. 12.7

Ось колебания проходит через точку О, отстоящую на расстоянии d от центра масс стержня — точки С. Запишем основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси:

. (12.12)

Здесь — момент внешних сил, вращающих тело относительно горизонтальной оси x. Такая сила в системе одна — сила тяжести. Её момент равен произведению величины силы на «плечо» — на расстояние от оси вращения до линии действия силы — b:

,

где  — угол, который образует стержень с вертикалью.

Вычисляя момент инерции стержня I_x, воспользуемся теоремой Гюйгенса-Штейнера:

.

— момент инерции стержня относительно оси, проходящей через точку центра масс.

Учитывая, что угловое ускорение . Запишем уравнение колебаний физического маятника в следующем виде:

.

В случае малых углов отклонения, когда Sin  , это уравнение можно упростить:

. (12.13)

Уравнение (12.13) — дифференциальное уравнение колебаний физического маятника в стандартном виде. Известно, что решением подобного уравнения является гармоническая функция:

, (12.14)

где частота собственных незатухающих колебаний:

. (12.15)

Период собственных колебаний физического маятника

. (12.16)

Сравнивая (12.16) с периодом колебаний математического маятника , легко установить, что их периоды будут совпадать, если длина математического маятника окажется равной , l₀ — называется приведенной длиной физического маятника, она равна длине такого математического маятника, период которого совпадает с периодом данного физического маятника.

Для вычисления частоты и периода собственных незатухающих колебаний, например, тонкого стержня, нужно в соответствующих формулах [(12.15), (12.16)] использовать момент инерции стержня .

3. Сложение гармонических колебаний. Метод векторных диаграмм

Гармоническое колебание x = a Cos (t + ) геометрически может быть представлено проекцией на произвольное направление x вектора , вращающегося вокруг неподвижной оси с угловой скоростью . Длина этого вектора равна амплитуде колебания, а его первоначальное направление образует с осью x угол, равный начальной фазе колебания — . Используя это геометрическое толкование, решим задачу о сложении двух гармонических колебаний одинаковой частоты и направления.

x = x₁ + x₂ = a₁Cos (t + ₁) + a₂ Cos (t + ₂).

Построим вектор (под углом ₁ к оси x), изображающий первое колебание. Прибавим к нему векторно вектор , образующий угол ₂ с осью x (рис. 12.8). Сумма проекций этих векторов на ось x равна проекции на эту ось вектора , равного сумме и .

= +

x = x₁ + x₂.

Рис. 12.8

Приведем эту векторную диаграмму во вращение с угловой скоростью  вокруг оси, проходящей через начало координат — точку О. При этом равенство x = x₁ + x₂ сохранится неизменным во времени, хотя сами проекции x, x₁ и x₂ будут теперь пульсировать по гармоническому закону с одинаковой частотой  и с начальными фазами , ₁ и ₂ — соответственно. В результате сложения двух колебаний:

x₁ = a₁ Cos (t + ₁) и x₂= a₂ Cos (t + ₂) возникает новое колебание x = x₁ + x₂ =

= a Cos (t + ), частота которого —  – совпадает с частотой складываемых колебаний. Его амплитуда равна модулю вектора , а начальная фаза , как следует из рис. 12.8, равна:

.

Для подсчета амплитуды «а» суммарного колебания, воспользуемся теоремой косинусов:

.

Величина амплитуды результирующего колебания зависит не только от амплитуд складываемых колебаний а₁ и а₂, но и от разности их начальных фаз. Колебание с максимальной амплитудой, а = a_max = a₁ + a₂ возникает при сложении синфазных колебаний, то есть когда их начальные фазы совпадают: ₁ = ₂.

Если разность фаз (₂ – ₁) = , то амплитуда суммарного колебания будет минимальной a = a_min = |a₁ – a₂|. Если амплитуды таких колебаний, происходящих в противофазе, равны (a₁ = a₂), то амплитуда суммарного колебания окажется равной нулю.

Этим методом векторных диаграмм нам предстоит в будущем часто пользоваться при сложении не только колебаний, но и волн.