книги / Периодические кусочно-однородные упругие структуры
..pdfПотенциалы для матрицы запишем в виде [10]
[zm+ у |
+ Ат (пг=1,2). |
4 - г'2- *VmJ | / 4 - i 2 - г>Уто |
|
|
(5.1) |
Здесь I, Ь — горизонтальная и вертикальная полуоси эллипса, Ат и dm — постоянные, зависящие от <оЛ>, упругих и геометри ческих характеристик матрицы и включения.
Переходя в (5.1) к пределу при Ъ-*• 0, получаем решение для анизотропной среды с упругим линейным включением, за нимающим отрезок [—I, Z],
Ф т (zm) — Ат—
где dm = П т dm при Ь->0.
Скачок касательных напряжений оц на включении, вычислен
ный па основании точного решения (5.2), имеет вид |
|
г |
|
а12 ( 0 -<тГ2 (*) = -<7о (9 = —гг=== Ьп ^ Ит <С |
(5.3) |
I V 1~ — t" 7П— 1 |
|
Компонента X главного вектора усилий, действующих со сто роны матрицы на часть включения, занимающего отрезок [t, 1}, такова:
^ (0 = — J <70 (9 dt = Т ^ |
Im 2 И"» |
(5-4) |
t |
m=1 |
|
Возникающая в (5.4) постоянная интегрирования исчезает за счет условия равновесия включения.
Таким образом, функция qo{t) в точном решении имеет те же корневые особенности и тот же характер, что п в модели контакта по линии. Кроме того, как следует из (5.4), в точном решении не возникает сосредоточенных усилий на концах вклю чения, что также свидетельствует в пользу модели контакта по линии. Аналогичный результат получен в [25].
§ 6. Макромодель ЛКМ
Изотропный ЛКМ. Определение макромоделп регулярно ар мированной среды дано в гл. 4, § 1. Средние деформации <eik> определяются формулами (6.5.1) и (4.1.2).
Состояние плоской деформации ЛКМ |
описывается соотноше |
||
ниями § |
1. Пусть |
<7i (t) — стандартное решение системы уравне |
|
ний (1.6) |
или (1.7) |
при <OII> = 1, <О22> = |
0. Тогда решение q0(t) |
можно представить так: |
|
||
|
|
|
(6. 1) |
231
Соответственно (6.1) функционал В из (1.5) примет вид
( 6.2)
ь= .f 4 i (t)dt-
Вычисляя средние деформации <е,*> (г. к — I, 2) по форму
лам (4.1.2) с учетом (1.3), (1-5) и (6.2), получаем |
|
|
<сц> = <ац><Оп> + <ац><022>, |
(6.3) |
|
<£22) — <а21><ац> + <«22X 022), <Щ2) = <Пбб)<012), |
||
|
||
где |
|
Из (6.3) следует, что наиболее сильно изменяется макропа раметр <Пц>, величина <а|2> существенно меньше <«ц), пара метр <а22> изменяется как l + o(v2), <аес) вообще не зависит от
структуры ячейки.
Состояние продольного сдвига ЛКМ рассмотрено в § 2. Вы числяя средние деформации <£|з), <егз) по формулам (7.8.1) и учитывая при этом (2.4) и .(2.6), находим
<б2з> — <044X 023), |
<ei3> = <055X 013), |
(6.4) |
|
где |
|
|
|
<ass> = g - + г , |
F - щ Ы а , . |
|
|
Фунедионал b равен 2лВ прп |
<013) = |
1, выражение |
для В со |
держится в (2.6).
Соотношения (6.3) и (6.4) вполне описывают макромодель ЛКМ с изотропной матрицей. Величины <а,л> представляют со бой эффективные (макроскопические, осредненные, приведенные)
параметры структуры.
Приближенная оценка макропараметров J1KM. Используя разложение (1.16) и формулы (1.23), запишем приближенное (с точностью до е4) выражение для функционала &ц, фигуриру
ющего в |
(6.3), |
|
|
|
|
|
|
Ьи * ^ |
[1 + |
j |
е*Л„ + |
4 «* (М + 2,5/Vj]. |
(6.5) |
Здесь /2 = / 2 при |
<0п > “ |
1, |
<о22> = |
0; постоянные Л0, At |
опре |
|
делены в |
(1.10). |
|
|
|
„ |
|
Аналогично из (2.10) и (2.6) находим прполиженное выра жение для фигурирующего в (6.4) функционала Ь. Оно имеет
232
вид (6.5), |
где величины Ао, Ai |
и /* = /2 |
при <сяз> = |
1 определе |
ны в (2.9) |
. Подставляя в (6.3) |
и (6.4) |
выражения |
для Ьц ц Ь |
соответственно, получаем приближенные формулы для оценки макропараметров ЛКМ.
|
Жесткость ЛКМ с изотропной матрицей. Ниже приведем ре |
||||||||||||
зультаты |
расчетов |
макропараметров ЛКМ. Обозначения |
(1.15) |
||||||||||
и |
(4.1.13) |
остаются |
в |
|
силе. |
|
|
|
|
||||
В ячейке имеется одно волок |
|
|
|
|
|||||||||
но, занимающее отрезок |
[—I, I] |
|
|
|
|
||||||||
оси Ох1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Ыа рис. |
7.6.1 |
представлены |
|
|
|
|
||||||
графики |
величин |
Ег = |
(Е ^ /Е |
|
|
|
|
||||||
(сплошные |
линии) |
п |
|
|
К*» — |
|
|
|
|
||||
= |
|
|
(штрихи) |
в |
фупкцни |
|
|
|
|
||||
от X для гсксагональпон решет |
|
|
|
|
|||||||||
ки |
(о)2 = |
ой ехр(ш/3)). |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Рис. 7.6.2 и 7.6.3 относятся |
|
|
|
|
||||||||
к |
случаю |
армирования |
матри |
|
|
|
|
||||||
цы равнонапряженными лепта |
|
|
|
|
|||||||||
ми |
|
при |
напряженпи |
|
в |
ней |
|
|
|
|
|||
loi I = 5 и vi = 0 для различных |
|
|
|
|
|||||||||
значений Е)Е\ (Е и vj — модуль |
|
|
|
|
|||||||||
упругости и коэффициент IIу- |
|
|
|
|
|||||||||
ассопа материала |
ленты, |
Е — |
|
|
|
|
|||||||
модуль |
упругости |
матрицы). |
Рис. 7.6.1. Зависимости |
относитель |
|||||||||
Решетка |
гексагональная. |
На |
ных макромодулей Е*, Е * |
от X — |
|||||||||
рис. |
7.6.2 |
приведены |
|
кривые |
= 21/'а>1 для ЛКМ с изотропной мат |
||||||||
Е\, |
иа |
рис. |
7.6.3 — кривые |
рицей и |
гексагональной укладкой |
||||||||
v?2= |
<V,2>/VI2. |
|
|
|
|
|
волокон |
при v = 0,3. |
Сплошные |
||||
|
|
|
|
|
кривые соответствуют |
Е * , |
штрихо |
||||||
|
Аналогичные |
|
результаты |
||||||||||
для квадратной решетки (о)2= |
|
вые— ^ |
|
|
|||||||||
= гсо|) даны на рис. 7.6.4 и 7.6.5. |
|
|
|
|
Штриховыми линиями нанесены результаты, полученные с по мощью замены в (6.3) точного значения функционала Ь\\ его приближенным выражением (6.5). Эти результаты при СК X < < 0,8 отличаются от точных не более чем на 1 %. Для X= 0,9
максимальное |
отклонение равно 3,9% . При Х > 0,9 погрешность |
спльпо возрастает (17 % для Х = 0,98). |
|
На рис. 7.6.6 и 7.6.7 представлены результаты расчетов мак |
|
ромодуля |
= <G1S>/G для гексагональной и квадратной ре |
шеток соответственно. Сплошные линии относятся к ленте по стоянной толщины, штриховые — к равнонапряженноп ленте,
напряжение в которой |oJ3 |= 5. Форма сечения ленты показана на рис. 7.2.3 и 7.2^6., -
Макромодель анизотропного ЛКМ. Состояние плоской дефор мации ленточного композиционного материала с анизотропной матрицей описано в § 3. Вычисляя средние деформации <е,*> по
232
о /
Е/ЕГ 0"
О |
0,4 |
0,8 |
Л |
В |
|
0,4 |
|
9,8 |
X |
Рис. |
7.6.2. Зависимость |
относитель |
Рис. |
7.6.3. Зависимость |
эффективно |
||||
ного макромодуля Е\ от X для |
го |
коэффициента |
Пуассона |
= |
|||||
ЛКМ, |
армированного |
равнопапря- |
= <v12> /v от X для ЛКМ, армиро |
||||||
женными лентами по |
гексагональ |
ванного |
равнонапряжоппыми лепта |
||||||
ной сетке при |Oi | = |
5, vi = |
О |
ми |
по |
гексагональной |
сетко |
при |
||
|
|
|
|
|
|
|oi| = 5 , |
v i = |
О |
|
Рис. |
7.6.4. Зависимости относитель |
Рис. 7.6.5. Зависимость v*a от X для |
||
ных |
макромодулей Е\, Е * от |
X |
ЛКМ, армированного |
равпонапря- |
для ЛКМ с тетрагональной укладкой |
жепными лентами по тетрагональ |
|||
волокон. Сплошные кривые соответ |
ной сетке при 10|| = |
5, vi = О |
||
ствуют Е *, штрихпунктир — Е |
, |
|
|
штриховые линии построены по при ближенной формуле (6.5)
234
формулам (4.1.2) с улетом приращения функций Фт{гт) из (3.1), получаем
|
<ап> = |
(Зп ^1 + -У), |
<а22> = р22 + |
|
|
<Л66> = Ров + |
^а12> = <й21> = Р12 ( l + "j)* |
||||
|
<аю> ж <а01> =pie(l + у ) , |
F = Im (ш,(02), |
|||
|
<а26> ж <а62> = |
р2в + |
—р ^ |
|
|
Здесь |
&ц равно |
функционалу |
В из (3.6), |
построенному па |
|
решениях |
системы |
(3.7) или (3.8) при <Оц> = |
1, <Oi2> = <°22> = |
=0. Связь между В и Ьц задается формулой
В= Ъп ^<Оп> + jj^<022> + ^ < n 12)j«
Апалогичпым образом получаем макропараметры, соответству ющие продольному сдвигу ЛКМ с анизотропной матрицей
( Д44) :
(6,8)
Йа4Ъ(l + j ) .
<а55> = ь ( 1 + ? ) ’ <а45> » <«54> i
Здесь Ь равно функционалу 4лВ, определенному в (4.1) на решениях интегральных уравнений (4.4) пли (4.5) при <013) 1, <02з> = 0. Имеет место связь
В = ^ (<СТ13> + ^3 <а2з))-
Таким образом, макромодель ЛКМ с анизотропной матрицей описывается уравнениями состояния
<е,,> == <яц><0|1> + <ai2><022> + |
<ai6><ai2>, |
||
<е22> = |
+ |
<fl22><022> + |
<a26><(Tl2>, |
<e23> = |
<a44><023> + |
<045><Oi3>, |
( 6>1° ) |
<e13> = <П54><023><tt55><<Jl3>,+ |
|
||
<e12> = |
<a6i><Oii> + |
<aB2><022> + |
<a66><oi2>, |
’ |
235 |
(366 = 0,2381 •10-9 м2/Н (щ = 2,1275/, ц2 = 0,5385/). Решетка пря моугольная ((02 = 2/COI), а ленты абсолютно жесткие. На рис. 7.6.8
нанесены зпачения Е\ = ( Е Л')!Е1 (верхнее поле рисунка) и
v12 = <v]2>/v12 (нижнее поле рисунка), полученные в результате численной реализации интегрального уравнения (3.9). На этом же рисунке нанесены результаты, полученные по теории КМ с волокнами произвольного поперечного сечения. Штриховые линпи соответствуют жестким включениям эллиптической формы
кой волокон. Сплошные липни соот ветствуют ленте постоиипой толщи ны, штриховая — равнонапряжен ной ленте, напряжения в которой
К 1 = 5
с отношением полуосей А.* = /?.,//?, = 0.1 . Результаты для ос тальных макропараметров при А = 0,98 отличаются не более чем па 3,8% .
Таким образом, использованная при построении ЛКМ модель контакта по линии дает удовлетворительные результаты даже и для не слишком тонких включений.
Пусть теперь .матрица армирована под углом в 30° с направ лением наибольшей жесткости. Характеристики матрицы в коор
динатной системе, |
связанной с |
лентой, |
таковы: |
рц = 0,7369 X |
|||
Х 1 0 - 10 |
м2/Н, |
р22 = |
0,8113 -1 0 -10 |
м2/Н, |
р,2 |
= -0,2673 •10"10 м2/Н, |
|
р6б = 0,1487 |
10-9 м2/Н, Р,6 = 0 ,3226-1 0 -10 |
м2/Н, |
р2б = -0,1 9 3 7 X |
||||
Х 1 0 - 10 |
м2/Н |
( ц ,= -0 ,3 7 3 8 + 0,6547/, |
ц2 = |
0,8115+ 0,1131/). Ре |
|||
шетка прямоугольная (<в2 = 1,35/©i) . |
|
|
|
236
На рис. 7.6.9 показано изменение макромодулей Е { — (Е 1}/Е 1 (верхнее поле рисунка, сплошные липни), E t = (E 2')!E2 (штриховые линии). На пшкнем поле vj2 = <v12>/v12 (сплошные
Рис. 7.6.8. |
Зависимость |
отпосптель- |
Рис. 7.6.9. Зависимость макропара- |
|||||
пых макропараметров |
Е*, v*2 |
от А, |
метров ЛКМ с анизотропной матрп- |
|||||
для ЛКМ |
с |
закладкой |
волокон по |
|
01 ^ |
|||
прямоугольной сетке н с анизотроп |
|
|
||||||
ной матрицей; |
й = |
J /( P11JEJCJ1 ) = |
О |
|
|
|||
липни) |
и |
г)2,12 = |
<%.12>/Л2.1а |
(штриховые |
лпяпи). Значения |
|||
< G i2> /G i2 |
и |
<т] 1,12>/'П1,12 |
слабо |
отличаются |
соответственно от |
|||
Ег и v *2, |
поэтому их не приводим. |
|
§ 7. Влияние края на напряженное состояние ЛКМ
Для исследования влияния края на распределение контакт ных усилий, на напряженное состояние включения и матрицы рассмотрим простейшую модельную задачу о передаче нагрузкп от упругого топкого ребра к анизотропной полуплоскости.
Сосредоточенные сплы в анизотропной плоскости» Решение этой задачи для случая, когда в точке zo'-= яю + Одо приложена сила Р = Р[ + iP2t имеет вид [10]
Фт Ы = ~ г г |
(™ = 1<2). |
(7-1) |
*т то
Здесь Zmo=a:io+ ЦтЯго; Постоянные Ат определяются нэ двух условий однозначности перемещений и двух статических усло-
23Т
вий, заключающихся в том, что главный вектор усилий, дей ствующих на границе вырезанной окрестности точки zо, равен = Р .
Указанные четыре условия приводят к системе уравнений (А — толщина пластины)
2 Im |
S ^ т Л -1 = Дк |
(к = |
0 ,4 ,2 ,3 ), |
(7.2) |
где |
т = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Д0 = - — |
2 + |
Д1 = ^21 |
Д2 = |
|
22 |
|
|
|
|
Д3 = — -— {о,цР2 Н" аыРi)> |
= — 2nhAm. |
|
“п |
|
|
Определитель системы |
(7.2) — типа |
Вандермонда [14] отлпчеи |
от пуля. Решение (7.1) |
можно трактовать как фундаментальное |
решение двумерных уравнении теории упругости для' анизотроп ной среды.
Функция Грипа для анизотропной полуплоскости [17]. Пусть
в точке zo = £10 + &Е2о (?2о > 0) |
верхней полуплоскости |
приложе |
||||||
на сосредоточенная сила |
Р = P t + 1Р2. Будем предполагать, |
что |
||||||
|
|
|
|
Рис. 7.7.1. Анизотропная по |
|
|||
|
|
|
|
луплоскость х2 5 s 0. В |
точ |
|
||
|
|
|
|
ке (хю, Х20) приложена со |
|
|||
|
|
|
|
средоточенная |
сила |
Р = |
|
|
|
|
|
|
|
= Pi + |
*Рг |
|
|
граница полуплоскости £2 = 0 |
либо |
защемлена, |
либо |
свободна |
||||
от нагрузки (рис. 7.7.1). |
|
|
|
|
|
|
||
Рассмотрим для определенности вторую краевую задачу, гра |
||||||||
ничные условия на £2 = 0 |
здесь имеют вид |
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
ut - 2 Re 2 |
РтФт ( £ j = 0, |
ц2 = |
2 Re 2 ЯшФт (*i) = |
0. |
(7.3) |
|||
т =1 |
|
|
|
ш=1 |
|
|
|
|
Дифференцируя (7.3) по Х\, получаем |
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
Re^ |
РтЖп (*0 = 0, |
Re |
(*,) = |
0. |
|
(7.4) |
||
Искомые функции представим в виде |
|
|
|
|
||||
Ф т Ы |
= |
- |
|
'* £2V (Xj) dxx |
|
|
(7.5) |
|
" 5 5 |
j |
(m = 1, 2). |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Здесь первые слагаемые дают фундаментальное решение в анизотропной плоскости, постоянные Ат определены системой (7.2), добавки учитывают влияние границы полуплоскости.
238
Функции Qv(xi) подлежат определению (предполагаем, что они затухают при Ixil -*-<» пе медленнее чем 1/lxjl п удовлетворяют
условию Гельдера на любом конечном интервале оси xj); |
zmo — |
— Х 10+ p,nX20< |
zm-> |
Подставляя •предельные значения функций (7.5) при |
| i s ( —оо, оо) в краевые условия (7.4) и исключая в получен ных равенствах функцию £h(xi), приходим it сингулярному ин тегральному уравнению на оси относительно функции &i(xi)
^ ( 6 ,) + ^ - |
( |
= /(!.). {,© (-00,00), |
(7.6) |
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
/({,) = / .({О Д о л - / ,(Ь )В .ь _ Л |
| |
|
|
|
|
||
M S,)- |
«.-/,({,) Imp,, |
|
|
|
|
|
|
/,({,)=2Ке2т^гtn-i 51 т-о . /,(l,)=2Re 2т^ГSj zn»o-' |
|
|
|||||
Л = Re Д, |
i? = i Im Д, &<=*p2qy- |
р ^ Ф О . |
|
|
|||
Функция Q2(X I) определяется через Й,(х,) |
формулой |
|
|
||||
О. (*i)Im (№ ) = /3 (*х) - |
а£2х (хх) - |
1 |
f |
dx, |
(7.7) |
||
|
|
|
п |
J x — x l |
' |
' |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
а = Re р, Im g2 - |
Re gi Imp2, |
p = Im Pl Im ?2 - |
Im ?, Im p2. |
||||
Решение уравнения |
(7.6) дает |
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
(7.8) |
Подставляя сюда выражение для /(*,) из (7.б) и выполняя необходимые квадратуры, находим после преобразований
Qx(xi) |
= 2Ro |
V |
|
Здесь |
|
т=1 А (л7х — ? |
|
|
|
|
|
Ав — |
|
д22 — Р2?2 — P2?2- |
|
Функцию Q2(a:i) находим из (7.7) с учетом |
(7.9) |
||
a , w - 2 R e 2 |
f 7 l ^ |
! ! _ i Ац = |
Pi<h — Pitty |
(7.9)
(7.10)
Наконец, вставляя плотности •(7.9), (7.10) в представления искомых функций (7.6) и выполняя необходимые квадратуры, получаем решение поставленной задачи
Л |
xw z20) = |
, |
|
A |
i |
^ |
^mAma |
Фх (zi) = |
j - z r r |
+ Д |
Z |
S7H0 |
|||
|
|
|
1 |
10 |
|
m=i |
|
|
|
|
|
4, |
i |
v |
(7.11) |
/*2 (zoi ZI0, x20) = |
Фа (2.,) = |
2 |
|
||||
_ 2 |
HД- ^ |
z> smo |
|||||
|
|
|
2 |
20 |
|
m = i |
Функции F n (zm] xio, хго) определяют функцию Грина второй основной задачи для анизотропной полуплоскости.
Решение для сосредоточенной силы в полуплоскости со сво бодной от сил границей строится аналогичным образом и имеет вид
F i (zv Zj0t z20) = |
Ф1(zi) = |
|
|
|
|
A1 + |
M2 - Их + A. |
-Mg \ |
|
|
2i ~ zio |
zi ~~ ho |
zi ~ k o |
J |
F t(z 2* ^10' *20) |
Фа(г2) = |
|
|
(7.12) |
|
|
|
||
|
|
Mi ~ Mx |
& |
l |
|
|
- A |
||
|
|
Z-2 ~ Z10 |
Z2 ”20 ; |
|
Fm (zml z10, z20) |
определяют функцию Грина первой основной за |
|||
дачи для анизотропной полуплоскости. |
|
|
Построенные фундаментальные решения оказываются полез ными прп конструировании общих представлений решений крае
|
|
вых задач для анизотропной полу |
||
|
|
плоскости с отверстиями или раз |
||
|
|
резами, а также в контактных зада |
||
|
|
чах о передаче нагрузки от тонко |
||
|
|
го включения к анизотропной по |
||
|
|
луплоскости1). Здесь при выходе |
||
|
|
включения (или разреза) па грани |
||
|
|
цу полуплоскости в ядрах соответст |
||
Рис. 7.7.2. Передача нагрузки |
вующих интегральных уравнений по |
|||
являются неподвижные особенности, |
||||
от упругого ребра к анизот |
характер |
которых |
определяется |
|
ропной полуплоскости Х2 ^ |
0 |
|||
|
|
функциями (7.11) пли (7.12). |
||
Передача нагрузки |
от |
упругого |
включения к |
анизотропной |
полуплоскости. Пусть граница полуплоскости свободна от .сил, а нагрузка передается через тонкое упругое ребро, занимающее произвольно ориентированный отрезок длиной 21 (рис. 7.7.2).
') После того как функции (7.11) или (7.12) построены, становится яс ным, как следует применять известный метод отражеппя при построении функций Грипа в полубескопсчных областях для эллиптических уравнений, не разрешенных относительно стопеней оператора Лапласа.
2 4 0