книги / Периодические кусочно-однородные упругие структуры
..pdfЗдесь пижпий индекс С показывает, что от выражений, стоя щих в скобках, необходимо взять приращение вдоль дуги С.
Ниже будем рассматривать поля усилий и момептов в пла стине, обладающие той же группой симметрии, что и сама об ласть 2. В этом случае изгибающие и крутящие моменты, а так же перерезывающие силы должны иметь двоякопериодическую структуру.
Повторяя рассуждения § 1, гл. 1, приходим к выводу, чтоаналитические функции <p(z) и -ф(г) удовлетворяют условиям ин вариантности (1.1.7) и (1,1.8) соответственно.
Квазипсриодпческими функциями будут тангенциальные сме щения или, что то же самое, углы поворота решетки.
Обозначим
g (z) = (di-Ид2) = <p(z)+ zO (z)+ -ф(z). |
(1.5) |
В случае второй основной задачи будем считать, что на гра нице области 2 задана квазипериодическая функция (1.5). Тог да, так же как и в плоской задаче, придем к краевому условию
на контуре основного отверстия |
|
|
|
|
|
Ф(о + * ф (о + ф (;)= / ( о , |
t = L , |
(ley |
|
где f(t) = (д\ + |
idi) w, х\ + ix2 = |
t. |
|
|
В первой |
основной задаче |
зададим |
на контурах |
отверстий |
одинаковые в конгруэнтных точках нормальные изгибающие мо менты и обобщенные перерезывающие силы. Краевое условие-
представим в виде |
[23] |
|
|
|
- n c p ^ + ^ ^ + i K O ^ / W + ^ |
+ Cb |
t e L , |
(1.7)' |
|
где |
t |
|
|
|
/(*) = |
+ |
p W |
= Qn - ~ i > r ' |
Im с = О,
Mn и р (а) — погонные изгибающий момент и обобщенная пере резывающая сила па площадке с нормалью п, щ — комплексная
постоянная.
Ниже потребуем, чтобы главный вектор и главный моментвнешней нагрузки на L были равны нулю.
Средние моменты, кривизны и кручеппе. Помимо задания на краях отверстий нагрузки или перемещений, будем предполагать, что в решетке действуют средние изгибающие и крутящий мо менты <ЛГц>, <M22> и <Мi2>, смысл которых поясним ниже. Для этого введем величины (рис. 2.1.1, б)
(Ми) = <Л4п> sin2а — <Л^12> sin2а + (М22> cos2а,
(M°2) = |
£ -Mg2- sin 2а — <М12> cos 2а, |
(1.8) |
<Л/21> = <л/21>, (М2°2>= <М22>.
6 f
Затем положим |
|
|
|
|
г+“2 |
< Л Л > - ^ - J М Ж . |
|
<А/?Х> - |
J |
М Ж |
|
|
Z+a2 |
|
Л |
(М ?,) “ 7 ^ 7 |
J <Л” - |
^ |
* + Т ^ Р л " (s) “ j 9 * . * ’ (1-9) |
|
Z+Mj |
|
|
|
J |
|
I m y - o , |
где интегралы берутся вдоль сторон параллелограмма периодов •с началом в произвольной точке z ^ S , g — несущественная по стоянная, зависящая от положения точки z.
Для обоснования такого выбора средних моментов привлечем энергетические соображения. Предположим, что края отверстий либо свободны от сил, либо в них впаяны упругие шайбы из другого материала. В этом случае энергия упругой деформации фундаментальной ячейки По имеет вид
Э = -----Y j*j*(M u d\w'+ |
2М хгдхд2и> + M 22d\w) dxt dx2, (1.10) |
п0 |
|
причем интеграл берется по |
фундаментальной ячейке (включая |
и область, занятую шайбой). |
|
Учитывая непрерывную продолжимость величин w, dwfdn, Мп и р через границу контакта, периодичность моментов и квази-
периодичность углов поворота, а также формулы |
(1.9)', находим |
|||
Э = - 4 К |
[<>2а> д2ю + |
(М°21) dlW] T 2 + |
|
|
+ |
I |
1((M h ) sin а + (М п ) cos а ) [дуЬ)}* |
+ |
|
|
+ |
|ю21 |
sin а — (М п ) cos а ) [д2ш]*+а>11, (1.11) |
тде символ [*)а обозначает приращение величины в скобках при переходе от точки А к точке В.
Средние кривизны |
<Хц>, <Н22> и кручение |
2 <xi2> в |
решетке |
|
имеют вид |
[Jdidjwdxj dx2 |
|
|
|
<Xjj> = — j |
(t, / = |
1, 2), |
' (1.12) |
|
|
4 |
|
|
|
где F = <DI Im oo2 — площадь фундаментальной ячейки. «2
Используя формулу Грива — Остроградского и квазипериодич ность углов поворота в решетке, получаем из (1.12)
Наконец, |
преобразуя выражение (1.11) |
с учетом (1.13)' и |
(1.8), находим |
|
|
5 = 4 |
{<МП> <хи> + 2 <М12> <х12> + |
<М22> <х22» . (1.14) |
Следовательно, величины (МцУ, <М\г> и (Мп> можно тракто вать как средние моменты в структуре на площадках, перпен дикулярных координатным осям Ох\ и 0x2. Связанные с ними формулами (2.2) величины (А/Л) (г, к = 1, 2) — соответственно средние моменты, действующие вдоль сторон параллелограмма периодов.
На основании сказанного, с учетом формул (1.7) и (1.9), представим условия существования в решетке заданных средних моментов в виде
[ - |
шр(z) + |
гФ (z) + |
ф(z)]l+a>1 = |
^ -(1-- v) |
~ |
*( м «>), |
[ - |
шр (z) + |
гФ Щ + |
ф ф ]Г “2 = |
д, (1Ю^ |
{(М°п) + |
г (М и )). |
§ 2. Интегральное уравнение теории изгиба решеток
Основные представления решений первой краевой задачи. Согласно § 1 необходимо построить аналитические в области 2 функции ip(z), ф(л), удовлетворяющие-условиям групповой сим метрии (1.1.7), (1.1.8), граничному условию (1.7) на контуре* основного отверстия и статическим условиям (1.15).
Искомые функции представим в виде интегралов типа Коши с эллиптическими ядрами
L
( 2. 1).
L
z e 2 .
L
63.
Здесь ©(f), А и В подлежат определению, S (z) — дзета-функция Вейерштрасса, (г) — специальная функция (см. приложения 1
и2), направленно иптегрированпя — против часовой стрелки. Легко видеть, что представления (2.1) обеспечивают двояко-
•перподпческии характер моментов п перерезывающих усилий. Определим теперь постояипые А и В из условий (1.15). Приращения соответствующих функций, в силу (2.1)’,
(П.1.5) и (П.2.9), имеют вид
|
<p(z + ©у) —<p(z) = |
J4©V+ ябУ |
(v = 1, 2), |
|
|||
«где |
[z<P(s) -f o|)(z)]z+l°v = |
Aov -f В 0 V+ 6 6V+ a Yv, |
^ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a ------2^£ J® (0 dt, |
b = |
2^-. J(n w (f)dt — ы (/)dt}. |
|
|||
|
L |
|
|
|
L |
|
|
|
Подставляя приращения |
(2.2) в (1.15), получаем систему |
|||||
уравнений относительно А и В, решение |
которой дает |
|
|||||
А |
<*»> + <*«> |
+ А а , |
В |
<ма8) + 2*<м 18) - < агп) |
+ В Ш, |
||
|
22) (1 - v) (1 — п) |
|
|
|
22) (1 — v) |
|
|
•где |
|
|
|
|
|
(2.3) |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
А® |
|
|
|
л (Ь Н- пЬ) |
|
|
|
|
|
|
F ( n - - l ) ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bw = -£ а + |
|
|
|
|
«L-у |
|
|
Следует отметить, |
что |
представления |
(2.1) приводят, |
вообще |
говоря, к многозначному прогибу. В самом деле, фигурирующая в (1.3) функция %(z) многозначна, ее приращение вдоль любого замкнутого контура С, охватывающего отверстие L, находим с
учетом разложения сигма-функции Вейерштрасса |
(П .1.1). |
Имеем |
|
1%(z)]c = f [woT(fj dt - 0 (t) dt] = 2nib. |
(2.4) |
L |
|
Подставляя выражение (2.4) в приращение функции прогиба
из (1.3), приходим к условию однозначности прогиба |
|
Im b = 0, |
(2.5) |
где функционал b задан в (2.2).
Для удовлетворения этого условия воспользуемся постоянной
с, фигурирующей в граничном равенстве |
(1.7). Подберем ее |
|||
таким образом, чтобы любое решение вида |
(2.1), удовлетворяю |
|||
щее краевому условию (1.7), обеспечивало |
выполнение условия |
|||
однозначности прогиба |
(2.5). |
|
|
|
Подставим в (1.7) |
предельные значения |
функций |
(2.1) |
при |
(z е= 2 ), умножим левую и правую части |
на |
dt и |
проинтегрируем по L. После преобразований имеем
J со Щ dt + |
1 + i j<o (<)C(t) dt - |
|
|
|
|
I. |
L |
|
|
|
|
— 2i (n + |
1) AQ + 2 i Im |
f {cp“ (t) + |
to(f)} dt -f 2cQ = 0, |
(2.6) |
|
где |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G (9 = f £ ( * - * )< £ . Q = - ± \ t d t ^ 0, |
|
||||
|
L |
|
L |
|
|
<p~(t)— предельное значение |
функции |
cp(z) |
па L, когда |
z ^ - t |
|
из области 2 . |
|
|
|
|
|
Полагая |
|
|
|
|
|
с - Т |
Г - 1,0{й 1 j “ (0 G (о * } - |
(в + |
1) Im А, |
(2.7) |
получаем пз (2.6) условие (2.5).
Таким образом, представления (2.1) обеспечивают двоякопе риодическое распределение усилий н моментов, существование в решетке заданных средних моментов и однозначность прогибов. Главный вектор и главный момент от силовых факторов, дей ствующих вдоль любого замкнутого контура По, охватывающего отверстие L , также равны нулю.
Интегральное уравнение первой краевой задачи. Предельные значения функций (2.1) на L таковы:
<Р(to) = |
|
(to) + |
55 Г“>(t)£(t- |
10)dt + At,, |
|
|||
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
(to) = j {и ю ® |
+ *0®' («.)> + |
Ш |
i 40 (0 |
(* - |
*o) dt - |
(2.8) |
||
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
~ |
Ш I |
|
+ ta>'~ |
(t)> ^ (t - |
10) dt + Bt0, |
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
® w - - 4 |
+ i s I ■ w с (‘ - у * + 4 . |
|
||||||
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
Постоянную |
ci в |
граничном |
условии (1.7) |
возьмем в |
виде |
|||
|
|
С |
|
L |
|
, |
|
(2. 9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя |
в (1.7) предельные значения (2.8) и учитывая |
|||||||
формулы (2.3), |
(2.7) |
и (2.9), приходим к |
интегральному |
урав- |
||||
5 Э. И. Грпголюк, Л. А. Филышчшский |
|
|
|
|
65 |
нению Фредгольма второго рода *) относительно о (*):
у )
D<<•)— .f “ (о d !l n —
ы |
J ®W«*№- УС(Г=Л)}- 55 fЙ08s!(*-(»)*+ |
|
||||||||||
|
I. |
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ Л/.{ю(0 ,<о} = |
^(<о), |
< o e £ . |
(2.10) |
|||||
|
|
. |
<^22> Rei + K Mn > Im f- “ <^,2> |
|
|
|
||||||
/■(0 _ ;W |
|
S> (1 - |
v) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
do |
*o + |
|
|
|
+ ^ |
- ? |
+ f t - T ) ( s - s > ) ' * * - s { “ « f c |
|||||||||
|
d0 = |
^ Im. j* © (t) G (t) dt, |
F |
= |
©! Im (0„. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функционалы а и b заданы в (2.2), |
G (t)— B |
(2.6), |
Q — пло |
|||||||||
щадь области Si, |
занятой отверстием, постоянные решетки |
6i и |
||||||||||
|
|
|
|
*Yi |
определены |
в |
приложениях. |
|||||
|
|
|
|
1 и 2. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Этим |
завершается |
|
построе |
||||
|
» |
|
|
ние алгоритма решения первой |
||||||||
" • и |
|
|
краевой задачи об изгибе ре |
|||||||||
|
|
|
|
гулярно |
перфорированной пла |
|||||||
|
|
|
|
стины. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Напряжеипное |
состояние в |
||||||
|
|
|
|
решетке. |
Ниже |
представлены |
||||||
|
|
|
10,4 |
результаты численной реализа |
||||||||
|
|
0,Ьу / ч |
ции |
построенного алгоритма. |
||||||||
|
|
|
|
Расчеты |
проводились |
для |
пря |
|||||
|
|
У о,г |
|
моугольной, квадратной и |
ром |
|||||||
|
|
|
|
бической решеток с эллиптиче |
||||||||
|
45° |
|
ским, чсчевпцеобразпым и кру |
|||||||||
|
|
говым |
отверстиями |
в |
ячейке |
Рис. 2.2.1 Распределение тангепцп- соответственно. Контуры отвер-
альпого изгибающего мсмепта М0 |
стий свободны |
от |
нагрузки, |
|||||||||
вдоль контура эллиптического от- а |
средние моменты |
(Mik> Ф 0 |
||||||||||
верстия |
и |
пршюугольнои |
решетке |
|
Н а |
рис. 2.2.1 |
дапы |
эпюры |
||||
( l |
= |
i] |
$f/12> J*<A fS = |
0П> |
распределения, тангенциального |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
изгибающего момента М» вдоль |
|||||
контура |
эллиптического |
отверстия |
(zj = i? i cos "O', |
х2 = |
Д2 sin О, |
|||||||
0 |
< 2я) |
в |
прямоугольной |
решетке |
(©i = 2i?2, |
о>2 = 3iR2) |
||||||
при |
Л2 = 1 |
и |
средних |
моментах |
<ЛГц>= 1, <М12> = |
(М22> = 0. |
||||||
') |
О характере ядер этого уравяения см. гл. 1, § 1. |
|
|
|
66
Рпс. 2.2.2. Распределение Мо вдоль коптура эллиптического отверстия в прямоугольной решетке при (М 22) ==
= 1, <Л/ц> = <ЛГ„> = О
Рис. 2.2.4. Распределение Л/в вдоль
контура кругового отверстия ради-
Усом R |
в |
ромбической решетке |
|
(со, = 2 , |
©г = 2 ехр (/я/4)) |
при |
|
<Л/„> - |
1, |
<Л/,г> = <л/«> = |
0. |
Рис. 2.2.3. Распределение Мв вдоль контура эллиптического отверстия в прямоугольной решетке при <Л/,2> = = 1, <Л/„> = <Л/22> = О
Рис. 2.2.5. Распределение |
Л/о вдоль |
|||
контура |
|
отверстия в |
ром- |
|
кругового отвероы» |
^ |
|||
бическон |
решетке' |
“ P“ |
V /22' |
|
|
<Л/„> = < |
« - |
и |
|
67
Рис. 2.2.6. Распределение Л/0 вдоль контура кругового отверстии в ромби ческой решетке при {Mu') = < "n> — {М 22) — и
Рис. 2.2.7. Распределение Мо вдоль чечевицеобразного отверс тия в квадратной решетке (ем =
— 2, ю2 = 2i) при <Л7п> = 1,
<ЛЛ2> = <Л752> = 0; |
Ri = 0,6; |
Ri = 1,2; О = |
30° |
Рис. 2.2.8. Распределение Мо вдоль .чечевицеобразно го отверстия в квадратной
решетке при <Л/22> = 1,
<А/„> = {Mu') = 0
Распределение моментов и перерезывающих сил на контуре прямоугольной ячейки приведено в табл. 2.2.1 (результаты вы числений относятся к точкам контура, указанным на рис. 1.2.4).
Значения М0 вдоль контура кругового отверстия радиусом R в ромбической решетке (o>i = 2, ©2 = 2 exp (ш/4)) для случаев
68
Т а б л и ц а 2.2.1. Распределение моментов Mik и перерезывающих сил Qh вдоль контура прямоугольной ячейки (Д2 = 1 , а>1 = 2, ©2 = 3£)
Номер узла
! RJR* |
1 |
1 |
* |
1 |
э |
1 |
* |
1 |
• |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
8 |
1 8 |
1 1° |
1 и |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
<Ма > ==1, Ш п )- = <М22>= 10 |
|
|
|
|
|
|
|||||
0,2 |
Мп = |
2,17 |
2,01 |
|
1,71 |
|
1,46 |
|
1,32 |
|
1,28 |
|
1,22 |
|
1,09 |
0,92 |
0,78 |
0,72 |
|
<?i = 0,00 |
-0 ,6 2 |
|
—0,72 |
|
-0 ,5 2 |
|
-0 ,2 5 |
|
<?2 = 0,00 |
|
-0 ,3 6 |
|
-0 ,6 0 |
-0 ,5 7 |
-0 ,3 2 |
0,00 |
|
0,4 |
2,45 |
2,28 |
|
1,93 |
|
1,63 |
|
1,45 |
|
1,39 |
|
1,32 |
|
1,13 |
0,88 |
0,68 |
0,60 |
|
|
0,00 |
—0,70 |
|
-0 ,8 5 |
|
-0 ,6 3 |
|
-0 ,3 2 |
|
0,00 |
|
—0,46 |
|
—0,80 |
-0 ,7 9 |
-0 ,4 6 |
0,00 |
|
0,6 |
2,64 |
2,48 |
|
2,15 |
|
1,83 |
|
1,62 |
|
1,55 |
|
1,46 |
|
1,20 |
0,84 |
0,52 |
0,40 |
|
|
0,00 |
-0,66 |
|
—0,87 |
|
-0 ,7 0 |
|
-0,37 |
|
0,00 |
|
—0,56 |
|
-1 ,0 3 |
-1,11 |
—0,67 |
0,00 |
|
0,8 |
2,75 |
2,63 |
|
2,34 |
|
2,04 |
|
1,82 |
|
1,74 |
|
1,63 |
|
1,31 |
0,80 |
0,32 |
0,13 |
|
|
0,00 |
-0,57 |
|
-0,81 |
|
—0,70 |
|
-0 ,3 9 |
|
0,00 |
|
-0 ,6 2 |
|
-1,30 |
-1 ,5 6 |
-0,93 |
0,00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
<АГ»> = |
1L, |
(М п ) == Ш хг) = |
0 |
|
|
|
|
|
|
||
0,2 |
Мм = |
0,96 |
0,97 |
|
0,99 |
|
1,01 |
|
1,03 |
|
1,03 |
|
1,05 |
|
1,10 |
1,17 |
1,21 |
1,23 |
0,4 |
0,92 |
0,93 |
0,98 |
1,03 |
1,06 |
1,07 |
1,12 |
1,26 |
1,43 |
1,57 |
1,62 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
2 .2 .1 (продол ж ен и е) |
||
Я ,/Л , |
|
|
|
|
Н ом ер у зл а |
|
|
|
|
|
||
1 |
2 |
э |
k |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
||
|
||||||||||||
0 ,6 |
0 ,8 7 |
0 ,9 0 |
0 ,9 7 |
1,0 4 |
1,10 |
1,12 |
1,21 |
1,4 8 |
1 ,89 |
2,2 8 |
2,4 3 |
|
0 ,8 |
0,81 |
0 ,8 6 |
0 ,9 5 |
1,0 6 |
1,1 4 |
1 ,17 |
1,3 0 |
1,7 9 |
2,7 8 |
4 ,1 2 |
4,8 5 |
|
|
|
|
|
{ М ы ) = |
1 , { М ы ) = |
<л/22> = |
с) |
|
|
|
|
0 ,2 |
Мы = |
1,4 9 |
1,51 |
1,52 |
1 ,5 0 |
1,4 7 |
|
Qz = |
0 ,0 0 |
0,7 2 |
0 ,8 4 |
0 ,6 0 |
0 ,3 0 |
0 ,4 |
1 ,60 |
1 ,6 2 |
1,66 |
1,66 |
1 ,6 4 |
|
|
0 ,0 0 |
0 ,9 2 |
1,12 |
0 ,8 3 |
0 ,4 2 |
|
0 ,6 |
1 ,72 |
1 ,75 |
1,7 9 |
1,81 |
1 ,8 2 |
|
|
0 ,0 0 |
. 0 ,9 7 |
1 ,2 8 |
1 ,03 |
0 ,5 4 |
|
0 ,8 |
1,91 |
1,91 |
1 ,9 4 |
1,9 7 |
2 ,0 0 |
|
|
0 ,0 0 |
0 ,9 1 . |
1,3 2 |
1 ,1 5 |
0 ,6 4 |
1,4 6
О о Гс
1 ,63
0 ,0 0
1,8 2
0 ,0 0
2 ,0 0
0 ,0 0
|
1,39 |
|
1 ,18 |
|
0 ,9 3 |
|
0 ,76 |
0 ,7 0 |
||
— 0 ,4 2 |
- |
0 ,6 9 |
- |
0 ,6 9 |
- |
0,3 7 |
0 ,0 0 |
|||
|
1,5 5 |
|
1,3 |
0 |
|
0 ,9 9 |
|
0 ,7 9 |
0 ,7 3 |
|
- |
0,61 |
- |
1 ,0 3 |
— 1 |
,0 0 |
- |
0,5 6 |
0 ,0 0 |
||
|
1 ,7 2 |
|
1 ,4 5 |
|
1 |
,1 0 |
|
0 ,9 0 |
0 ,8 6 |
|
- |
0 ,8 2 |
— 1,50 |
— 1 ,56 |
- |
0 ,9 0 |
0 ,0 0 |
||||
|
1,91 |
|
1,01 |
|
1,2 5 |
|
1,2 2 |
1,35 |
||
- |
1,0 4 |
— 2,1 |
9 |
- |
2 ,6 8 |
- |
1,75 |
0 ,0 0 |