- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •ГЛАВА 1. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
- •1.1. Основные понятия
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.2. Точечное оценивание параметров распределения
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы к задачам
- •1.3. Выборочные распределения
- •1.4. Интервальное оценивание параметров распределения
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы к задачам
- •1.5. Проверка статистических гипотез
- •1.6. Критерии значимости
- •1.6.1. Проверка гипотезы о равенстве математического ожидания заданному значению
- •1.6.3. Сравнение двух дисперсий нормально распределенных признаков
- •1.6.4. Сравнение нескольких дисперсий нормально распределенных признаков
- •1.6.5. Сравнение двух средних в случае независимых нормально распределенных признаков
- •1.6.6. Сравнение двух средних в случае зависимых нормально распределенных признаков
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы к задачам
- •ГЛАВА 2. ЭЛЕМЕНТЫ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА
- •Пример решения задачи
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы к задачам
- •2.4. Криволинейная регрессия
- •Пример решения задачи
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы к задачам
- •2.5. Множественная регрессия
- •Пример решения задачи
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы к задачам
- •ГЛАВА 3. ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА
- •3.1. Цель и этапы эксперимента
- •3.2. Выбор факторов
- •3.3. Выбор основного уровня и интервалов варьирования
- •3.4. Пример решения задачи (матрица эксперимента)
- •3.5.1. Матрица полного факторного эксперимента в общем виде
- •3.5.3. Проведение эксперимента
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы к задачам
- •3.6. Модели со взаимодействиями
- •Пример решения задачи
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы к задачам
- •3.7. Расчет дисперсии воспроизводимости
- •Пример решения задачи
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы к задачам
- •3.8. Проверка адекватности эмпирического уравнения регрессии
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы к задачам
- •Список использованной литературы
- •Список рекомендованной литературы
для x 2,0. Это значение лежит между 1,0 и 3,0, т. е. между –1 и 0 в кодиро-
ванном масштабе. Так как в натуральном масштабе 2,0 лежит посередине, то ему соответствует –0,5 в кодированном масштабе (для х1 = 2,5 будет
х1 = –0,25, для х1 = 1,5 будет х1 = –0,75 и т. д.) (см. ниже).
Натуральные значения |
1 |
2 |
3 |
5 |
x1 |
Кодированные значения |
–1 |
X |
0 |
1 |
х1 |
На выбор интервалов варьирования накладываются естественные ограничения сверху и снизу. Интервал варьирования не может быть меньше той ошибки, с которой экспериментатор фиксирует уровень фактора. Иначе верхний и нижний уровни окажутся неразличимыми. С другой стороны, интервал не может быть настолько большим, чтобы верхний или нижний уровни оказались за пределами области определения. Внутри этих ограничений обычно еще остается значительная неопределенность выбора, которая устраняется с помощью интуитивных решений.
Размер интервала варьирования составляет некоторую долю от области определения фактора. Можно, например, условиться о следующем: если интервал составляет не более 10 % от области определения, то считать его узкими, не более 30 % — средним, в остальных случаях — широким.
Продолжим рассмотрение примера из п. 3.2. Область определения факторов была выбрана следующим образом: для x1 — 0,5…3, для x2 — 3…8. Ос-
новной уровень: x1 1,5; x2 0,7.
Экспериментатор имел такую априорную информацию: точность фиксирования факторов средняя, поверхность отклика линейная, диапазон изменения параметра оптимизации довольно узок. Принимаемое решение — широкий интервал варьирования. Экспериментатор выбрал такие интервалы: I1 0,5; I2 1,0, что составляет 20 % от области определения факторов.
3.4. Пример решения задачи (матрица эксперимента)
Задача 41. Исходные параметры технологического процесса составляют: толщина пленки 55 мкм; время экспозиции 30 с.
Составить матрицу эксперимента и получить линейную модель процесса.
Решение:
x1 c 55; x2 c 30.
Возьмем верхние и нижние значения обоих факторов так, чтобы они располагались симметрично относительно текущего значения, например:
x1 в 60; |
x2 |
в 35; |
x1 н 50. |
x2 |
н 25. |
Расположение экспериментальных точек в двумерном факторном пространстве приведено на рис. 15.
53
Рис. 15
Составим таблицу, в которой значения обоих факторов находятся во всех возможных сочетаниях, и проведем измерения в этих точках (значения отклика приводим условно) (табл. 16).
|
|
Таблица 16 |
|
|
|
х1 |
х2 |
у |
50 |
25 |
140 |
50 |
35 |
210 |
60 |
25 |
170 |
60 |
35 |
220 |
Полагая, что линейная модель процесса имеет вид y a0 a1x1 a2x2, на
основании полученных результатов составляем систему четырех уравнений с двумя переменными. Ниже показана эта система, а также ее сокращенная запись в виде матрицы. Матрицу данного вида назовем матрицей эксперимента.
a |
50a |
25a |
140, |
x0 |
x1 |
x2 |
y |
|
||
|
0 |
1 |
2 |
210, |
|
1 |
50 |
25 |
140 |
|
a0 |
50a1 |
35a2 |
|
|
|
|
|
|
||
a |
60a |
25a |
170, |
|
1 |
50 |
35 |
210 |
|
|
|
. |
|||||||||
|
0 |
1 |
2 |
|
1 |
60 |
25 |
170 |
|
|
a |
60a |
35a |
220. |
|||||||
|
0 |
1 |
2 |
|
|
1 |
60 |
35 |
220 |
|
|
|
|
|
|
|
|
В матрице эксперимента второй и третий столбцы представляют собой значения факторов, четвертый столбец — значения отклика системы, а первый содержит единицы, соответствующие единичным коэффициентам свободного члена модели a0. Будем считать этот столбец некоторым виртуаль-
ным фактором x0, который всегда принимает единичные значения.
Решим систему, переходя к нормированным координатам. Чтобы облегчить решение системы, проведем нормировку факторов. Верхним значениям факторов присвоим нормированное значение +1, нижним значениям — нор-
54
мированное значение –1, среднему значению – нормированное 0. В общем виде нормировка фактора выражается формулой
x |
2(xi xi c ) |
|
2xi xi в xi н |
xi xi c |
, |
(29) |
||
|
||||||||
|
x |
x |
|
x |
x |
|
|
|
|
i в |
i н |
|
i в |
i н |
|
|
|
где xi в xi н . 2
С учетом нормировки факторов система уравнений и матрица эксперимента примут следующий вид:
a0 |
a1 a2 |
140, |
x |
x |
x |
y |
|
|||
|
0 |
1 |
2 |
|
|
|||||
a |
a |
a |
210, |
|
1 |
1 |
1 |
140 |
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
210 |
|
|
a |
a |
a |
170, |
|||||||
|
. |
|||||||||
0 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
170 |
|
||
a |
a |
a |
220. |
|||||||
0 |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
220 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку сумма членов во втором и третьем столбце матрицы равны нулю, свободный член модели можно найти, сложив все четыре уравнения:
4a0 140 210 170 220 740;
а0 185.
Чтобы найти какой-либо другой коэффициент модели, нужно изменить знаки в уравнениях таким образом, чтобы в соответствующем столбце оказались одни единицы, после чего сложить все четыре уравнения.
В общем случае решение системы будет выглядеть как
|
1 2n |
|
||
ak |
|
|
yi xk, i. |
(30) |
2 |
n |
|||
|
|
i 1 |
|
Тогда остальные параметры будут равны
4a1 140 210 170 220 40; a1 10.
4a2 140 210 170 220 120; a2 30.
Таким образом, линейная модель технологического процесса в окрестностях точки (55, 30) имеет вид
y 185 10x1 30x2.
Возвращаемся к ненормированным факторам. Переход от нормированных к ненормированным факторам осуществляется обратным преобразованием:
55
x |
x |
x |
x |
|
xi в xi н |
. |
(31) |
|
|||||||
i |
i |
i с |
i |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы найти параметры модели для ненормированных координат, подставим выражения для нормированных координат в уравнение модели:
y a |
a x |
a x |
|
|
a |
a |
2(x1 x1с) a 2(x2 x2 с) |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
0 |
|
1 1 |
2 2 |
|
0 |
|
1 x |
x |
|
1 x |
x |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 в |
|
|
1 н |
|
|
2 в |
|
|
2 н |
|
|
|
|
||
a |
a |
2x1 с |
|
a |
|
|
|
2x2 с |
|
|
|
|
2a1 |
|
x |
|
2a2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
0 |
|
1 x |
x |
|
|
2 x |
|
x |
|
|
|
|
x |
x |
1 |
|
|
x |
x |
|
|
|||||||
|
|
|
1 в |
1 н |
|
|
|
|
|
|
2 в |
|
2 н |
1 в |
1 н |
|
|
|
|
2 в |
|
2 н |
|
|
||||
a |
a |
x1 в x1 н |
|
a |
|
|
x2 н x2 н |
|
2a1 |
|
x |
|
2a2 |
|
|
x . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
0 |
|
1 x |
x |
|
|
2 x |
|
x |
|
|
|
|
x |
x |
1 |
|
|
x |
x |
2 |
||||||||
|
|
|
1 в |
1 н |
|
|
|
|
|
|
2 н |
|
2 н |
1 в |
1 н |
|
|
|
|
2 в |
|
2 н |
|
|
Сравнивая последнее выражение с выражением для линейной модели в ненормированных координатах y a0 a1x1 a2x2, получим выражение для
параметров модели:
a |
a |
|
a |
|
x1 в x1 н |
|
a |
|
|
x2 в x2 н |
; |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
0 |
0 |
|
1 x |
|
x |
|
|
2 x |
x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 в |
1 н |
|
|
|
|
|
2 в |
|
2 н |
|||
|
|
|
|
|
a1 |
|
2a1 |
|
; |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x2 в |
x1 н |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
a2 |
|
2a2 |
. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
x2 в |
x2 н |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В общем случае: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
xi в xi н |
|
|
|
||||
|
|
a |
a |
|
a |
|
; |
(32) |
||||||||||
|
|
|
xi в xi н |
|||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
0 |
|
i 1 |
i |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
ak |
|
2ak |
|
. |
|
(33) |
|||||||
|
|
|
|
|
xk в |
xk н |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для приведенного выше примера:
a0 185 10 6060 5050 30 3535 2525 105;
a |
2 |
10 |
2; |
||
|
|
|
|
||
1 |
60 |
50 |
|
||
|
|
||||
a |
|
2 30 |
6. |
||
|
|
|
|
||
2 |
|
35 25 |
|
||
|
|
|
Окончательно получаем модель в естественных координатах: y 105 2x1 6x2.
56