- •Тема 1. Классическая формула вычисления вероятности.
- •Тема 2. Геометрическая вероятность.
- •Тема 3. Теоремы сложения и умножения.
- •Тема 4. Формулы полной вероятности и Байеса.
- •Тема 5. Повторение опытов.
- •Тема 6. Повторение опытов (при большом n).
- •Тема 7. Дискретная случайная величина.
- •Тема 8. Непрерывная случайная величина.
- •Тема 9. Нормальное распределение.
- •Тема 10. 2-мерная дискретная случайная величина.
- •Тема 11. 2- мерная непрерывная случайная величина.
- •Тема 12. Функция от случайной величины.
- •Тема 13. Функция от двух случайных величин.
- •Тема 14. Закон больших чисел.
- •Тема 15. Центральная предельная теорема.
- •Содержание:
Тема 10. 2-мерная дискретная случайная величина.
Основные определения и формулы:
Если результат СЭ описывается двумя случайными величинами XиY, то принято говорить о2-мерной СВили о системе СВ (Х0Y). Ее интерпретируют как случайную точку с координатами (X;Y) по плоскости хОу или как случайный радиус-вектор такой точки.
Совместной функцией распределениясистемы (Х,Y) называют функциюF(x;y) двух переменных, определяемую равенством:
F(x; y) = P{(X < x)*(Y < y)}.
Геометрически F(x;y) представляет собой вероятность попадания случайной точки (х; у) в бесконечный квадрат с вершиной (х; у), лежащий левее и ниже ее.
Пусть ДСВ Х и Yпринимают значения х1, х2, … и у1, у2, … соответственно. Тогда совместный закон распределения можно задавать матрицей (Рij), элементы которой рij=P{(X=xi)(Y=yj)}, удовлетворяют очевидному условию:.
Суммируя вероятности рijпо строкам, получим ряд распределения СВ Х, а суммируя их по столбцам – СВY.
Пусть т1ит2– математические ожидания,1и2– средние квадратичные отклонения случайных величин Х иYсоответственно. Коэффициентом корреляции системы (X;Y)называют число:
Свойства коэффициента корреляции:
–1 r1;
если XиY– независимы, тоr= 0;
если Y=aX+b, гдеaиb- неслучайны, тоr=1 (знак “+” соответствует а > 0, знак “–” соответствует а < 0).
Решение типовых примеров :
Пример 1.Из колоды карт наудачу извлекают по одной с возвращением 2 карты. Х – число карт черного цвета,Y– число карт пиковой масти среди извлеченных. Найти совместный закон распределения (X,Y) и коэффициент корреляции.
Решение :
Возможные значения величин XиY– это 0, 1, 2. Обозначим рij=P{(X=i)(Y=j)},i,j=0, 1, 2. Так как карта пиковой масти черная, то р01= р02= р12= 0. Найдем остальные вероятности, используя теоремы сложения и умножения.
р00= Р(X=0,Y=0) =P(обе карты красные) = ½ * ½.
р10= Р(X=1,Y=0) =P(только одна черная, но не пика) =P(одна трефа и одна красная) = ¼ *½ + ½ *¼.
р11= Р(X=1,Y=1) =P(одна пика и одна красная) = 2*¼* ½.
р20=P(обе черные, но не пики) = ¼*¼.
р21=P(одна пика и одна трефа) = 2*¼*¼.
р22=P(обе пики) = ¼*¼.
Итак, совместный закон распределения имеет вид:
Х |
Y |
0 |
1 |
2 |
0 |
0.25 |
0 |
0 | |
1 |
0.25 |
0.25 |
0 | |
2 |
0.0625 |
0.125 |
0.0625 |
Суммируя вероятности по строкам и столбцам, находим законы распределения Х и Y:
Х |
0 |
1 |
2 |
|
Y |
0 |
1 |
2 |
р |
0,25 |
0,5 |
0,25 |
p |
0,5625 |
0,375 |
0,0625 |
Анализируя условия СЭ, приходим к выводу, что СВ Х и Yимеют биномиальные распределения с параметрами:п= 2,р1= 0,5 (для Х) ир2= 0,25 (дляY). Поэтому их основные числовые характеристики можно найти, не прибегая к выписанным выше законам распределения:
m1 = M(X) = np1 = 1 ; m2 = M(Y) = np2 = 0,5 ;
Далее находим М(XY):
M(X,Y) = = 0*0*0,25 + 0*1*0 + 0*2*0 + 1*0*0,25 + 1*1*0,25 + + 1*2*0 + 2*0*0,0625 + 2*1*0,125 + 2*2*0,0625 = 0,75.
Теперь можно найти коэффициент корреляции:
Пример 2.Производятся три независимых выстрела по мишени, причем вероятность попадания при каждом выстреле равнар. Х – число попаданий,Y– число промахов. Найти закон распределения системы (X,Y) и вычислить коэффициент корреляции.
Решение :
Возможные значения случайных величин Х и Y– это 0, 1, 2, 3. Очевидно, чтоpij=P{(X=i)(Y=j)} = 0, еслиi+j3,i,j= 0, 1, 2, 3. Остальные вероятности находим по формуле Бернулли (n= 3,p=P(попадания)):
р03= Р(Х=0;Y=3) = Р3(0)=(1–р)3;
р12= Р3(1) =
р21= Р3(2) =
р30= Р3(3) = р3.
Чтобы найти коэффициент корреляции, обратим внимание на то, что Х и Yсвязаны линейной функциональной зависимостьюY=3 –X. Поэтомуr= -1.