- •Тема 1. Классическая формула вычисления вероятности.
- •Тема 2. Геометрическая вероятность.
- •Тема 3. Теоремы сложения и умножения.
- •Тема 4. Формулы полной вероятности и Байеса.
- •Тема 5. Повторение опытов.
- •Тема 6. Повторение опытов (при большом n).
- •Тема 7. Дискретная случайная величина.
- •Тема 8. Непрерывная случайная величина.
- •Тема 9. Нормальное распределение.
- •Тема 10. 2-мерная дискретная случайная величина.
- •Тема 11. 2- мерная непрерывная случайная величина.
- •Тема 12. Функция от случайной величины.
- •Тема 13. Функция от двух случайных величин.
- •Тема 14. Закон больших чисел.
- •Тема 15. Центральная предельная теорема.
- •Содержание:
Тема 11. 2- мерная непрерывная случайная величина.
Основные определения и формулы:
Совместная функция распределения F(x,y) =P{(X<x)(Y<y)} 2-мерной СВ (X,Y), обладает следующими свойствами:
F(-, -) = F(-, y)=F(x, -)=0; F(+, +)=1;
F(x, +) =F1(x) – функция распределения СВ Х;
F(+,y) =F2(y) – функция распределения СВY.
F(x,y) – неубывающая функция по каждому из аргументов.
В случае, если Х и Yнепрерывные СВ, совместный закон распределения можно задавать совместной плотностьюf(x,y) системы (Х,Y):
Плотность обладает следующими свойствами:
5) вероятность попадания случайной точки (X, Y) в произвольную область D выражается формулой:
Отношения f(x,y)/f2(y) =f1(x/y) иf(x,y)/f1(x) =f2(y/x) называются условными плотностями случайных величин Х иYсоответственно.
Две СВ Х и Yназываютсянезависимымиеслиf1(x/y) =f1(x) илиf2(y/х) =f2(y).
Если Х и Yнезависимы, то совместная плотность системы (X,Y) равна произведению плотностей Х иY:
f(x,y) = f1(x)* f2(y).
Корреляционным моментомдвух СВ Х иYназывают величину:
K=M(XY) – M(X)M(Y).
Если Х и Y– непрерывны иf(x,y) – их совместная плотность, то:
Коэффициентом корреляциидвух СВ Х иYназывают безразмерную величинуr:
Решение типовых примеров :
Пример 1.Система СВ (X,Y) задана совместной плотностью:
Найти: а) параметр А; б) совместную функцию распределения F(x,y); в)одномерные функцииf1(x),f2(y),F1(x),F2(y); г) условные плотностиf1(x/у) иf2(у/x); д) корреляционный момент.
Решение :
а) параметр А находим, используя свойство 2):
б) функция распределения F(x,y) отлична от 0 только в первом квадрате, причем (свойство 3)):
в) используя свойство 4), находим плотности СВ Х и Y:
(здесь использовалось известное соотношение х = о(ех) при х+).
Для отрицательных значений аргументов плотности f1(x),f2(y) равны 0, т.к. равна 0 совместная плотность.
Функции распределения F1(x) ,F2(y) находим, используя свойство одномерных плотностей:
г) условные плотности:
Эта плотность определена лишь для y> 0, при которыхf2(y)0.
Эта плотность определена лишь для x> 0.
д) найдем сначала числовые характеристики СВ Х и Y. Вид плотностиf1(x) означает, что Х имеет показательное распределение с параметром= 3. Поэтому:
M(X) = 1/3 ;D(X) = 1/9.
Вид плотности f2(у) говорит о том, чтоM(Y) = +, т.к. интеграл
расходится (подынтегральная функция на +эквивалентна функции 3/у, интеграл от которой расходится).
Таким образом, корреляционный момент не существует.
Тема 12. Функция от случайной величины.
Основные определения и формулы:
Пусть НСВ Х и Yсвязаны функциональной зависимостьюY=(х), где(х) – дифференцируемая функция, монотонная на всем интервале возможных значений СВ Х. Тогда, еслиf(x) – плотность СВ Х, аg(y) – плотность СВY, то
g(y) = f((y))| ’(y)|,
где (y) – функция, обратная по отношению к(х).
Если на интервале возможных значений СВ Х обратная функция (y) неоднозначна, т.е. одному значению у соответствует несколько значений х:1(y),2(y),…,n(y), то плотность СВYопределяется формулой:
Решение типовых примеров:
Пример 1.СВ Х имеет показательное распределение с параметрома. Найти плотность СВY= АХ + В.
Решение :
Рассмотрим функцию (х) = Ах + В. Это монотонная функция (если А0). Чтобы найти обратную функцию(у), достаточно решить уравнение у = Ах + В относительно х: х = (у – В)/А. Итак,(у) = (у – В)/А, а’(у) = 1/А. Плотность СВ Х:
Находим плотность СВ Y:
g(y) =ae-a(y-B)/A*|A-1|. при (у–В)/А > 0,
т.е. при y>B. Для остальных у плотностьg(y) = 0.
Пример 2.Через точку А(0,l) проведена наудачу прямая. Найти плотность абсциссы точки пересечения этой прямой с осью Ох.
Решение :
Пусть НСВ Y– угол, который прямая, проведенная через точку А, составляет с положительным направлением оси Оу. Проведение этой прямой наугад означает, что СВYимеет равномерное распределение в интервале (-/2;/2), т.е. ее плотность имеет вид
Если В(Х, 0) – точка пересечения прямой с осью Ох, то Х = l*tgY. Обратной к функции(y) =l*tgyна интервале (-/2;/2) является функцияy=arctg(x/l). Находим плотность Х:
Это так называемое распределение Коши.
Пример 3.НСВ Х имеет нормальное распределение с параметрамиm= 0,= 1. Найти плотность СВY=X2.
Решение :Функция у = х2– немонотонная на (-; +) и поэтому ее обратная функция(у) – неоднозначная:1(у) =у и2(у)= -у. Находим плотность СВY:
Здесь - плотность СВ Х.
После преобразований получим:
Для отрицательных у плотность равна 0.