- •Тема 1. Природа эконометрики
- •1.1. Общие понятия эконометрических моделей
- •1. 2. Типы эконометрических моделей
- •1. 3. Типы данных
- •Тема 2. Корреляционный анализ в эконометрических исследованиях
- •2.1. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости
- •2.2. Понятие о двумерном корреляционном анализе
- •2.3. Понятие о многомерном корреляционном анализе
- •2.4. Ранговая корреляция
- •Тема 3. Регрессионный анализ в эконометрических исследованиях
- •3.1. Задача регрессионного анализа
- •3.2. Идентификация модели регрессии
- •3.3. Линейная парная регрессия и оценка параметров
- •3.4. Проверка значимости параметров линейной парной регрессии
- •3.5. Интервалы прогноза по линейному уравнению регрессии
- •3.6. Нелинейная регрессия
- •3.7. Корреляционное отношение и индекс корреляции
- •3.8. Множественный регрессионный анализ
- •4.9. Ковариационная матрица и ее выборочная оценка
- •4.10. Определение доверительных интервалов для коэффициентов и функции множественной регрессии
- •4.11. Мультиколлинеарность
- •Тема 5. Методы и модели анализа динамики экономических процессов
- •5.1. Понятия экономических рядов динамики
- •5.2. Предварительный анализ динамических рядов экономических показателей
- •5.3. Сглаживание динамических рядов
- •4.3. Расчет показателей динамики развития эконометрических процессов
- •4.4. Тренд-сезонные экономические процессы и их анализ
- •Тема 5. Модели прогнозирования экономических процессов
- •5.7. Трендовые модели на основе кривых роста
- •5.2. Оценка адекватности и точности трендовых моделей
- •5.3. Прогнозирование экономической динамики на основе трендовых моделей
- •5.4. Адаптивные модели прогнозирования
- •Лучшая модель ар(1,1)
- •Характеристика остатков
- •Тема 8. Системы взаимозависимых эконометрических моделей
- •8.1. Особенности систем взаимозависимьех моделей
- •8.2. Формы представления систем взаимозависимых эконометрических моделей
- •8.3. Косвенный метод оценки коэффициентов структурной формы систем взаимозависимых эконометрических моделей
- •8.4. Оценивание параметров структурной формы на основе двухшагового мнк с использованием инструментальных переменных
- •1. На первом шаге конструируются новые значения зависимых
- •2. На втором шаге значения используются вместо значений
- •8.5. Оценки параметров системы взаимозависимых эконометрических моделей с использованием трехшагового мнк
5.4. Адаптивные модели прогнозирования
Как уже выше отмечено, в основе экстраполяционных методов прогнозирования лежит предположение о том, что основные факторы и тенденции, имевшие место в прошлом, сохраняются в будущем. Сохранение этих тенденций — непременное условие успешного прогнозирования. При этом необходимо, чтобы учитывались лишь те тенденции, которые еще не устарели и до сих пор оказывают влияние на изучаемый процесс.
При краткосрочном прогнозировании, а также при прогнозировании в ситуации изменения внешних условий, когда наиболее важными являются последние реализации исследуемого процесса, наиболее эффективными оказываются адаптивные методы, учитывающие неравноценность уровней временного ряда.
Адаптивные модели прогнозирования - это модели дисконтирования данных, способные быстро приспосабливать свою структуру и параметры к изменению условий. Инструментом прогноза в адаптивных моделях, как и в кривых роста, является математическая модель с единственным фактором « время ».
При оценке параметров адаптивных моделей в отличие от рассматриваемых ранее моделей «кривых роста» наблюдениям (уровням ряда) присваиваются различные веса в зависимости от того, насколько сильным признается их влияние на текущий уровень. Это позволяет учитывать изменения в тенденции, а также любые колебания, в которых прослеживается закономерность. Все адаптивные модели базируются на двух схемах: скользящего среднего (СС-модели) и авторегрессии (модели).
Согласно схеме скользящего среднего, оценкой текущего уровня является взвешенное среднее всех предшествующих уровней, причем веса при наблюдениях убывают по мере удаления от последнего уровня, т. е. информационная ценность наблюдений признается тем большей, чем ближе они к концу интервала наблюдений. Такие модели хорошо отражают изменения, происходящие в тенденции, но в чистом виде не позволяют отражать колебания.
Реакция на ошибку прогноза и дисконтирование уровней временного ряда в моделях, базирующихся на схеме СС, определяется с помощью параметров сглаживания (адаптации), значения которых могут изменяться от нуля до единицы. Высокое значение этих параметров (свыше 0,5) означает придание большего веса последним уровням ряда, а низкое (менее 0,5) — предшествующим наблюдениям. Первый случай соответствует быстроизменяющимся динамичным процессам, второй — более стабильным.
В авторегрессионной схеме оценкой текущего уровня служит взвешенная сумма не всех, а нескольких предшествующих уровней, при этом весовые коэффициенты при наблюдениях не ранжированы. Информационная ценность наблюдений определяется не их близостью к моделируемому уровню, а теснотой связи между ними.
Общая схема построения адаптивных моделей может быть представлена следующим образом. По нескольким первым уровням ряда оцениваются значения параметров модели. По имеющейся модели строится прогноз на один шаг вперед, причем его отклонение от фактических уровней ряда расценивается как ошибка прогнозирования, которая учитывается в соответствии с принятой схемой корректировки модели. Далее по модели со скорректированными параметрами рассчитывается прогнозная оценка на следующий момент времени и т.д. Таким образом, модель постоянно «впитывает» новую информацию и к концу периода обучения отражает тенденцию развития процесса, существующую в данный момент.
В практике статистического прогнозирования наиболее часто используются две базовые модели — Брауна иХольта, первая из них является частным случаем второй. Эти модели представляют процесс развития как линейную тенденцию с постоянно изменяющимися параметрами.
Модель Брауна (модель экспоненциального сглаживания).
Модель Брауна может отображать развитие не только в виде линейной тенденции, но также в виде случайного процесса, не имеющего тенденции, а также в виде изменяющейся параболической тенденции. Соответственно различают модели Брауна:
нулевого порядка, которая описывает процессы, не имеющие тенденции развития. Она имеет один параметр (оценка текущего уровня). Прогноз развития на k шагов вперед осуществляется согласно формуле . Такая модель также называется «наивной» («будет, как было»);
первого порядка . Коэффициент значение, близкое к последнему уровню, и представляет как бы закономерную составляющую этого уровня. Коэффициент определяет прирост, сформировавшийся в основном к концу периода наблюдений, но отражающий также (правда, в меньшей степени) скорость роста на более ранних этапах;
• второго порядка, отражающей развитие в виде параболической тенденции с изменяющимися «скоростью» и «ускорением». Она имеет три параметра оценкатекущего прироста или «ускорение»). Прогноз осуществляется по формуле: .Порядок модели обычно определяют либо априорно на основе визуального анализа графика процесса (есть ли тренд и близок ли он к линейной функции), знаний законов развития характера изменения исследуемого явления, либо методом проб, сравнивая статистические характеристики моделей различного порядка на участке ретроспективного прогнозирования.
Рассмотрим этапы построения линейной адаптивной модели Брауна.
Этап 1. По первым пяти точкам временного ряда оцениваются начальные значения и параметров модели с помощью метода наименьших квадратов для линейной аппроксимации:
Этап 2. С использованием параметров и по модели Брауна находим прогноз на один шаг (k = 1):
Этап 3. Расчетное значение экономического показателя сравнивают с фактическим и вычисляется величина их расхождения (ошибки). При k = 1 имеем:
.
Этап 4. В соответствии с этой величиной корректируются параметры модели. В модели Брауна модификация осуществляется следующим образом:
;
,
где коэффициент дисконтирования данных, изменяющийся в пределах от 0 до 1 (), характеризующийобесценение данных за единицу времени и отражающий степень доверия более поздним наблюдениям. Оптимальное значение находится итеративным путем, т. е. многократным построением модели при разных и выбором наилучшей, или по формуле:
,
где длина временного рада,параметр сглаживания;
ошибка прогнозирования уровня Y(t), вычисленная в момент времени (t - 1) на один шаг вперед.
Этап 5. По модели со скорректированными параметрами и находят прогноз на следующий момент времени. Возврат на пункт 3, если .
Если , то построенную модель можно использовать для прогнозирования на будущее.
Этап 6. Интервальный прогноз строится как для линейной модели кривой роста.
Пример 3. Построим прогноз по линейной модели Брауна курса немецкой марки за май 1997 г.
Исходный временной ряд содержит 19 уровней наблюдения данного показателя:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
3333 3337 3354 3364 3418 3392 3380 3406 3394 3409 |
11 12 13 14 15 16 17 18 19 |
3410 3425 3409 3415 3416 3402 3387 3391 3390 |
Воспользуемся схемой адаптивного прогнозирования. Начальные оценки параметров получим по первым пяти точкам (табл. 5.6) при помощи МНК по формулам:
,
,
где среднее значение фактора «время»;среднее значение исследуемого показателя.
Таблица 5.6. Оценка начальных значений параметров модели
№ п | ||||||
1 2 3 4 5 |
1 2 3 4 5 |
3333 3337 3354 3364 3418 |
4,0 1,0 0,0 1,0 4,0 |
-28,2 -24,2 -7,2 2,8 56,8 |
-2 -1 0 1 2 |
56,4 24,2 0 2,8 113,6 |
|
15 |
16806 |
10,0 |
0,0 |
0 |
197 |
Возьмем k = 1, а параметр сглаживания равным 0,4. В табл. 5.7 приведены расчеты параметров модели Брауна на каждом шаге. На последнем шаге получена модель . Прогнозные оценки по этой модели получаются подстановкой в нее значений k = 1 и k = 2, а интервальные — по формуле:
,
где, как и в формуле (5.18), среднее квадратическое отклонение (СКО) аппроксимации, табличное значениекритерия Стьюдента с заданным уровнем значимости .
На рис. 5.1 представлены результаты аппроксимации и прогнозирования по этой модели. Ряд 1 соответствует фактическим данным, ряд 2 — расчетным данным по модели Брауна, при этом указаны точечные прогнозы на два шага вперед. Интервальные прогнозы можно получить, используя приведенные в табл. 5.7 значения и.
Таблица 5.7. Оценка параметров модели Брауна
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 |
3333 3337 3354 3364 3418 3392 3380 3406 3394 3409 3410 3425 3409 3415 3416 3402 3387 3391 3390 |
3302,1 3331,2 3339,5 3354,7 3365,4 3412,3 3398,9 3385,5 3404,4 3397,5 3408,5 3411,2 3424,0 3412,8 3415,4 3416,6 3404,9 3390,0 3390,5 3389,8 |
19,7 21,5 19,0 18,3 16,8 22,5 15,7 10,2 11,8 8,3 8,8 7,6 8,6 4,8 4,4 3,8 0,9 -2,2 -1,7 -1,5 |
3321,8 3352,7 3358,5 3373,0 3382,3 3434,8 3414,5 3395,7 3416,2 3405,8 3417,3 3418,8 3432,6 3417,6 3419,8 3420,4 3405,8 3387,9 3388,8 |
11,2 -15,7 -4,5 -9,0 35,7 -42,8 -34,5 10,3 -22,2 3,2 -7,3 6,2 -23.6 -2,6 -3,8 -18,4 -18,8 3,1 1,2 |
20 21 |
|
|
|
3388,3 3386,9 |
|
Прогнозирование курса немецкой марки по модели Брауна
№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№
№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№
Рис. 5.1. Результаты аппроксимации и прогнозирования по адаптивной модели Брауна (параметр сглаживания равен 0,4)
В моделях Брауна и Хольта параметры сглаживания характеризуют степень адаптации модели к изменению ряда наблюдений Они определяют скорость реакции модели на изменения, происходящие в развитии. Чем они больше, тем быстрее реагирует модель на изменения. Обычно для устойчивых рядов их величина большая, а для неустойчивых — маленькая. В различных методах прогнозирования используется различный подход к их определению. Их можно взять фиксированными, а наилучшее значение определить методом подбора, чтобы ошибка прогноза на один шаг вперед была наименьшей. При использовании компьютера это не представляет труда.
Альтернативу этому подходу составляет динамическое изменение параметров сглаживания. В методах эволюции и симплекс-планирования параметры адаптации постоянно меняются на каждом шаге. Для каждого параметра сглаживания формируется несколько значений.
Модели и методы авторегрессии. В авторегрессионных (АР) моделях текущее значение процесса представляется как линейная комбинация предыдущих его значений и случайной компоненты.
Идентификация АР(р) модели состоит в определении ее порядка р. Одной из предпосылок построения модели этого типа является применение их к стационарному процессу. Поэтому в более широком смысле идентификация модели включает также выбор способа трансформации исходного ряда наблюдений, как правило, имеющего некоторую тенденцию, в стационарный (или близкий к нему) ряд. Один из наиболее распространенных способов решения этой проблемы — последовательное взятие разностей, т.е. переход от исходного ряда к ряду первых, а затем и вторых разностей.
«Чистые» авторегрессионные процессы имеют плавно затухающую автокорреляционную функцию (АКФ). В этом случае в качестве порядка модели выбирается лаг, после которого все частные автокорреляционные функции (ЧАКФ) имеют незначительную величину. Однако на практике редко встречаются процессы, которые легко было бы идентифицировать. Поэтому порядок модели обычно определяется методом проб из нескольких альтернатив. В число кандидатов включаются модели, у которых порядок соответствует ЧАКФ, превышающей стандартное отклонение 1/N. При обработке разностных рядов иногда ориентируются на АКФ, выбирая модели, у которых порядок соответствует максимальному ее значению, при условии, что оно превышает стандартное отклонение.
Ряды без тенденции, как правило, не представляют интереса для экономистов. АР-модели вообще не предназначены для описания процессов с тенденцией, однако они хорошо описывают колебания, что весьма важно для отображения развития неустойчивых показателей.
Чтобы сделать возможным применение АР-моделей к процессам с тенденцией, на первом этапе формируют стационарный ряд, т. е. исключают тенденцию путем перехода от исходного временного ряда к ряду Z(t) (t = 1, 2, ..., N-d) первых или вторых разностей (d = 1 или 2).
Например, ряд первый разностей формируется как ряд приростов, т. е. последовательным вычитанием двух соседних уровней. С учетом этого АР(р) — модель порядка р имеет вид:
Параметры этой модели вычисляются по МНК с учетом сложности модели либо методом адаптивной фильтрации (МАФ). В обоих случаях необходимо предварительно идентифицировать модель, т. е. правильно определить порядок разностного ряда d и порядок модели р.
Простейшим способом определения наиболее подходящего разностного ряда является вычисление для каждого ряда (d = 0,1,2) его дисперсии, т. е. усредненной суммы квадратов расхождений его уровней со средним значением . Для дальнейшей обработки выбирается ряд, у которого величина этого показателя минимальна.
Для идентификации порядка модели обычно используется автокорреляционная функция, значения которой определяются по формуле:
где количество уровней стационарного ряда ();
номер коэффициента автокорреляции ().
В качестве порядка модели принимается номер коэффициента автокорреляции r(m), имеющего максимальную величину. Следовательно, в модели используются р уровней, которые оказывают на текущий уровень наибольшее влияние. В соответствии с МНК формируется система из р уравнений, которая в компактной форме имеет вид:
.
Например, для р = 2 система принимает вид:
В ней суммирование проводится по в пределах от 3 доn = N-d.
Решив эту систему уравнений, получают числовое значение . Оценка свободного члена получается из соотношения:
.
На основе построенной модели вычисляют прогнозное значение разностного ряда Z(n+k) на k шагов вперед, а от него переходят к прогнозной оценке исходного ряда.
Так, для d = 1 имеем:
Следовательно, прогнозные оценки базируются как на фактических, так и на полученных прогнозных уровнях ряда. Доверительный интервал прогноза рассчитывается на основе точечного прогноза:
верхняя граница прогноза ,
нижняя граница прогноза .
Величина U(k) рассчитывается по формуле:
,
где среднеквадратичесая ошибка вычисленная с учетом сложности
модели; коэффициент, соответствующий табличному значению статистики Стьюдента с выбранным уровнем значимости ; коэффициент под квадратным корнем рассчитывается рекуррентно, причем при j = 0 величина С(0) = 1, а при; j>0
.
В методе адаптивной фильтрации используется АР(р)-модель без свободного члена. Ее параметры корректируются на й итерации в каждый момент времени следующим образом:
где и векторы новых и старых значений параметров (весов) модели;
w — константа обучения, определяющая скорость адаптации параметров модели (w>0);
e(t) — ошибка прогнозирования уровня Y(t).
Алгоритм построения модели прогнозирования состоит в следующем. На первой итерации (J = 1) на основе начального набора весов и первых р уровней ряда вычисляется и его расхождение с фактическим уровнем, т.е. . Подставляя величину ошибки в уравнение корректировки весов, получают новый набор весов для следующего момента времени . Далее эта процедура повторяется для следующих наборов, каждый из которых образован из предыдущего исключением первого и добавлением одного нового уровня ряда. Если на итерации / оптимальные веса не получены, то на следующей итерации надо вернуться к первому набору уровней ряда но уже с новыми начальными весами, взятыми от предыдущей итерации.
Определение начальных весов осуществляется путем решения уравнения Юла—Уокера, составленного на основе коэффициентов автокорреляции. Процедура корректировки параметров заканчивается, когда среднеквадратическая ошибка перестает существенно убывать или при достижении заданного максимального количества итераций.
Пример 4. Рассмотрим построение прогноза на основе моделей авторегрессии. Ниже в табл. 5.8 и 5.9 приведены расчеты построения прогноза курса немецкой марки, выполненные с использованием программы ОЛИМП; при этом в качестве лучшей модели из всего класса адаптивных моделей, реализованных в программе, выбрана авторегрессионная модель. На рис. 5.2 представлены результаты аппроксимации и прогнозирования по этой модели.
Таблица 5.8. Модель временного ряда «Немецкая марка»