- •Оглавление
- •Введение
- •1. Программирование задач на языке basic
- •Программирование линейных вычислительных процессов
- •1.1.2. Справочный материал.
- •1.1.5. Вопросы для самопроверки
- •1.2.3. Пример:
- •20 Input “a b “ ; a , b input “a b “ ; a , b
- •1.2.4. Задание к лабораторной работе.
- •Определённые циклы
- •1.3.4. Задания к лабораторной работе.
- •Определённые циклы. Суммирование членов функционального ряда
- •Input “X, m%, h% “ ; X , m% , h%
- •1.4.4. Задания к лабораторной работе.
- •Файлы прямого и последовательного доступа
- •Input “X m h “ ; X , m% , h
- •Программирование итерационных вычислительных процессов
- •10 Input "Введите значения X,r,k,e" ; X,r,k,e
- •1.6.5. Вопросы для самопроверки
- •1.7.5. Вопросы для самопроверки
- •Формирование и обработка одномерных массивов
- •1.8.5. Вопросы для самопроверки
- •Формирование двумерных массивов и выполнение операций с матричными элементами
- •160 Next I
- •160 Next j
- •150 Next j
- •1.9.5. Вопросы для самопроверки
- •Программирование сложных программ с использованием подпрограмм
- •40 Read X( I ) : next I
- •45 Data 1, 2.1, -3, -4.1, 1.7, 1.8, 1.9, 14.2, -5, -4.3, 11.2, 10.8
- •140 Return
- •90 Read X( I ) : next I
- •100 Data 1, 2.1, -3, -4.1, 1.7, 1.8, 1.9, 14.2, -5, -4.3, 11.2, 10.8
- •1.10.5. Вопросы для самопроверки
- •Программирование цепочек текстовых переменных
- •1.11.5. Вопросы для самопроверки
- •Литература к главе 1
- •2.1.5. Вопросы для самопроверки
- •Решение нелинейного уравнения графическим методом
- •2.2.5. Вопросы для самопроверки
- •Решение НелинейноГо уравнениЯ МетодОм простых итераций
- •2.3.5. Вопросы для самопроверки
- •Решение нелинейного уравнения методом касательных
- •2.4.3. Пример.
- •2.4.5. Вопросы для самопроверки
- •Решение систем Нелинейных уравнений графическим методом
- •2.5.5. Вопросы для самопроверки
- •Решение систем Нелинейных уравнений методом пРостых итераЦиЙ
- •2.6.3. Пример.
- •2.6.5. Вопросы для самопроверки
- •Численное интегрирование:метод прямоугольников и трапеций, формула симпсона
- •2.7.5. Вопросы для самопроверки
- •Численное решение обыкновеНноГо дифференциального уравнениЯ МетодОм эЙлера и рунге-кутта
- •2.8.5. Вопросы для самопроверки
- •Численное решение систем обыкновеНнЫх дифференциальных уравнениЙ МетодОм эЙлера
- •3. Математическое моделирование на пэвм
- •3.1. Системы тел сосредоточенными массами
- •3.1.1. Математическое моделирование теплообмена для тел сосредоточенных масс с окружающей средой
- •3.1.2. Собственные колебания
- •Лабораторная работа № 3.1 исследование автономной линейной системы уравнений
- •Лабораторная работа № 3.2 исследование автономной нелинейной системы уравнений
- •Лабораторная работа № 3.3 решение жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений (оду)
- •3.1.3. Математическая модель стабильности позвоночника
- •Результаты численных расчетов
- •3.2. Системы с распределенными параметрами
- •3.2.1. Математическое моделирование процесса переноса частиц
- •3.2.2. Математическое моделирование процесса прерванного посола рыбы
- •Отметим, что критерий устойчивости счета методом прогонки к ошибкам округления выполнен, так как
- •Как следует из рекуррентных соотношений (3.2.32), для начала расчета необходимо иметь значения e1 и w1, которые определяются с помощью левого граничного условия (3.2.23)
- •3.2.3. Моделирование процесса переноса частиц на основе гиперболической системы уравнений
- •3.2.4. Математическое моделирование нестационарного двумерного процесса переноса частиц (теплопереноса)
- •Система разностных уравнений (3.2.45) дополнялась начальными и граничными условиями (3.2.40 – 3.2.44) и решалась методом обыкновенной прогонки попеременно в двух направлениях.
- •3.3. Повышение порядка точности аппроксимации дифференциальных уравнений
- •3.3.1. Повышение порядка точности аппроксимации обыкновенных дифференциальных уравнений
- •3.3.2. Повышение порядка точности аппроксимации дифференциальных уравнений гиперболического типа
- •3.4. Интерполяция функций
- •3.4.1. Линейная интерполяция
- •3.4.2. Квадратичная интерполяция
- •3.4.3. Интерполяционная формула Лагранжа
- •3.4.4. Сплайны
- •3.4.5. Алгоритм решения обратных задач по заданным показателям качества
- •Литература к главе 3
3.1.3. Математическая модель стабильности позвоночника
В основу модели положено математическое описание динамических процессов дифференциальными уравнениями Лагранжа II рода, составляемого на основе расчетной схемы трехпозвонкового комплекса, представленного как дискретные сосредоточенные массы, связанные упругодемпфирующими элементами и обладающие определенными геометрическими параметрами [III, 6].
За основу был принят принцип стабильности позвоночного столба, изложенный L. Rene, где стабильность позвоночника представлена в вертикальной, горизонтальной и аксиальной плоскостях (ротация), что обеспечивается телами позвонков с дугоотростчатыми суставами, которые связаны между собой упруго-демпфирующими элементами (межпозвоночные диски, мышечно-связочный аппарат).
Учитывались следующие параметры трехпозвонкового комплекса:
1. Механическая система является диссипативной.
2. Распределение нагрузок соответствует трехстолбовой концепции.
3. Предел прочности тел позвонков и упругодемпфирующих элементов, а также их упругая деформация и плотность считались условно установленными по данным работы.
4. Изменение геометрических характеристик трехпозвонкового комплекса соответствовало типичным типам статико-динамических нарушений стабильности позвоночника [III, 6, 13, 21-24].
Расчетная схема фрагмента позвоночника человека, состоящая из трех позвонков с клиновидным средним позвонком и стабилизирующими конструкциями, представлена на рис. 3.8 с вариантом клиновидной деформации среднего позвонка и двумя стабилизирующими конструкциями (для передних и заднего опорных комплексов).
Рис. 3.8. Расчетная схема трехпозвонкового комплекса человека
Здесь введены следующие обозначения:
Ji, Мi, Xi– момент инерции, масса, координата i-го позвонка (i = 1,2,3);
Cстi –коэффициенты жесткости j–й стабилизирующей пластины (j = 1,2);
Сopj - коэффициенты жесткости j–й опоры (j = 1,2);
d1=25 мм; d2=20 мм;d3=5 мм; d4=30 м;
d1=8.5 мм; d2=26.5 мм; d3=17 мм;
l1=32 мм; l2=10 мм; l3=25 мм; l4=10 мм; l5=50 мм;
m1= m2=m3 =0.1 кг;
J1= J2=J3=35 кгּмм2; Yц=17.2 мм; S=13.25 см2.
Координаты Хц и Yц центра тяжести и момента инерции J плоского позвонка определяются формулами:
; ; (3.1.25)
где индекс i определяет число элементарных фигур, составляющих плоский позвоночник; γ – удельная поверхностная масса позвонка, кг/мм2.
Предел прочности, упругая деформация и коэффициенты жесткости различных участков позвоночника по А.П. Громову приведены в табл. 3.3:
Таблица 3.3
Предел прочности, упругая деформация и коэффициенты жесткости различных участков позвоночника
N п/п |
Наименование комплексов |
Предел прочности, кг/см2 |
Упругая деформация Х, мм |
Коэффициенты жесткости С, н/мм |
1 |
Шейный отдел |
120-170 |
4,0-5,2 |
(2,30 – 5,52)·103 |
2 |
Грудной отдел |
190 |
5,3 |
4,66·103 |
3 |
Поясничный отдел |
420 |
5,0-8,5 |
(6,40-11,00)·103 |
4 |
Целая грудная клетка |
240 |
33,0 |
944,40 |
Для упрощения динамической модели трехпозвонкового комплекса коэффициенты жесткости С2 и С3, а также коэффициенты жесткости С5 и С6 приведены к одним коэффициентам С2 и С4 (см. рис. 3.8), соответственно, по следующим формулам:
; . (3.1.25)
На расчетной схеме (рис. 3.9) третий позвонок связывается посредством жестких элементов Сор1 и Сор2 с опорой по оси Ox, а первый - по оси Y через – Сy.
Рис. 3.9. Расчетная схема трехпозвонкового комплекса с патологией среднего позвонка и ее двухсторонней стабилизацией (2-й вариант)
Для фиксации вариантов нестабильности позвоночника предусмотрено применение условных жестких плоскостных конструкций с коэффициентами жесткости Сст1 и Сст2, что позволяет моделировать как жесткие ригидные металлические системы, так и полуригидные пружинные элементы.
Разработанная математическая модель позволяет на основе вычисления внутренних нагрузок опорных комплексов каждого позвонка трехпозвонкового комплекса, рассчитывать варианты переломов и нестабильности позвонков в различных зонах при их патологии. Кроме этого, можно произвести расчет смещения позвонков по оси Oy под воздействием силы Q2y, что чаще всего является причиной стеноза позвоночного канала и может приводить к удавлению дуального мешка. Выбранная динамическая модель трехпозвонкового комплекса человека (см. рис. 3.9) является механической системой, для которой уравнение Лагранжа II рода имеет вид:
, k=1,…,7, (3.1.26)
где Т, П – кинетическая и потенциальная энергия системы;
Ф – диссипативная функция, определяемая спинными мышцами;
Qk – внешние воздействия.
В качестве обобщенных координат Xk принимаются следующие координаты:
х1; х2; х3; х4 (α1 = ); х5; х6 ();у, (3.1.27)
где Di = d1 + d2; i = 1,2,3.
Рис.3.10. К расчету сил, действующих на средний позвонок с патологией трехпозвонкового комплекса человека
Для вычисления смещающей силы, действующей на 2-й позвонок вдоль оси Y, возникающей вследствие клиновидной деформации (по сути трапеции) второго позвонка, рассмотрим рис. 3.10.
P1 Q11=Q1·cos(β1); P3 O3=Q3·cos(β3);
O1 Q12= Q1·sin(β1); Q3O3=Q3·sin(β3);
Q1x=O2 Q12=O1 Q12·sin(β1)= Q1·sin2(β1);
Q1y=O1 O2= Q1·sin(β1)·cos(β1);
Q3x=O4 Q31·sin(β3)= Q3·sin2(β3);
Q3y=O3 O4= Q3·sin(β3)·cos(β3);
Q2y=Q1y+Q3y = С1 Х1·sin(β1)·cos(β1)+ С3 Х3·sin(β3)·cos(β3);
y2= x1·sin(β1)·cos(β1)+ x3·sin(β3)·cos(β3).
Таким образом, проекции сил Q1и Q3 на оси Х и Y при наличии деформации среднего позвонка трехпозвонкового комплекса человека определяются приведенными выше формулами.
Кинетическая энергия механической системы трехпозвонкового комплекса человека, приведенная на рис. 3.8, равна:
(3.1.28)
где – квадраты скоростей колебаний и вращений 1, 2 и 3-го позвонков относительно центра тяжестей этих позвонков.
Упругие деформации х1, х2; х3, х4; х5, х6 центрального и правого столбов
1, 2 и 3-го столбов позвонков связаны с деформаций центра тяжестей этих позвонков X1, Х2, Х3 и α1, α2, α3 следующими соотношениями:
. (3.1.29)
Задача решается в приближении малых смещений, т. е.
Xi <<Di; tg(αi) = sin(αi) = αi . (3.1.30)
Тогда X1 и α1 выражаются через х1 и х2 по формулам (для второго и третьего позвоночника, аналогично):
; X1 = . (3.1.31)
С учетом соотношения (3.1.31) кинетическая энергия трехпозвонкового комплекса с патологией среднего позвонка (ТКПСП) и ее двухсторонней стабилизацией, приведенного на рис. 2, запишется в следующем виде:
(3.1.32)
где
Потенциальная энергия механической системы трехпозвонкового комплекса человека считается равной нулю при положении статического равновесия (абсолютные координаты), а отсчет деформации упругих элементов ведется от условия, когда статическая нагрузка на элемент уравновешивается упругой силой от его осадки.
В этом случае потенциальная энергия П деформации упругих элементов трехпозвонкового комплекса с патологией среднего позвонка и ее двухсторонней стабилизацией определяется следующим соотношением:
(3.1.33)
Диссипативная функция Ф ТКПСП и ее двухсторонней стабилизацией записывается через коэффициенты демпфирования Вj как:
(3.1.34)
Определив функции кинетической Т, потенциальной энергии П и диссипативных сил Ф, вычислим сначала производные от кинетической энергии по :
; (3.1.35)
Производные от потенциальной энергии П трехпозвонкового комплекса по координатам равны:
(3.1.36)
Производные от диссипативный функции Ф трехпозвонкового комплекса:
(3.1.37)
.
Подставляя значения производных от кинетической и потенциальной энергии, а также от диссипативной функции Ф для механической системы трехпозвонкового комплекса в уравнения Лагранжа II рода, получим:
(3.1.38)
где с1= cos(β1); c3= cos(β3).
С целью упрощения записи матриц, введем обозначения:
S1= С1 x1·sin(β1)·cos(β1);
S3=С3·x3·sin(β3)·cos(β3);
;
;
;
.
Подставляя значения производных от кинетической и потенциальной энергии, а также от диссипативной функции Ф для механической системы трехпозвонкового комплекса в уравнения Лагранжа II рода, получим в векторном виде:
, (3.1.39)
где
;
Х=
где с1= cos(β1); c3= cos(β3).
S1= С1 x1·sin(β1)·cos(β1);
S3=С3·x3·sin(β3)·cos(β3);
;
;
;
,
SB1= B1 x1·sin(β1)·cos(β1);
SB3= B3 x3·sin(β3)·cos(β3).
Умножая обе части векторного уравнения (3.1.40) на обратную матрицу М-1, получим следующее приведенное векторное уравнение:
или
, (3.1.40)
где А = М-1 С; ; F = .
Интерпретация полученных результатов. Для получения эпюр нагрузок Р1, Р2 и Р3, Р4, а также упругих деформаций х1, х2 и х3, х4 вдоль оси Y для 1 и 2-го позвонков использовалась линейная интерполяция и экстраполяция в соответствии со следующими формулами (для 1- го позвонка при его длине 80 мм)
y, (3.1.41)
где .
Эпюры нагрузок Р3, Р4 и упругих деформаций х3, х4 для 2-го позвонка рассчитываются по формулам (3.1.41).
Текст программы алгоритма математической модели трехпозвонкового комплекса, написанной на блочно-структурном языке системы MATH CAD, и числовые данные, приведены ниже.
С1=3.26 103; С2=0.92 103; С3=0.46 103; С4=3.26 103; С5=0.92 103;
С6=0,46 103н/мм; Су=5 103н/мм; Cop1=Cop2=3,26 103н/мм;
Q=400 кг (внешняя сила приложена к центру тяжести позвонка при у=21мм); β1=00; β3=00 (деформация позвонка отсутствует); Сст1=Сст2=0 (стабилизирующие пластины слева и справа от позвонков отсутствуют (см. рис. 3.11)), число временных слоев j = 1000, а шаг интегрирования по времени τ = 10-2с.