- •Задания для самостоятельной работы
- •2. Исследовать числовой ряд на сходимость:
- •3. Исследовать числовой ряд на абсолютную и условную сходимость:
- •Тема 16. Степенные ряды
- •16.1. Сходимость степенных рядов
- •16.2. Разложение элементарных функций в степенные ряды
- •Задания для решения на практическом занятии
- •Задания для самостоятельной работы
- •Тема 17. Функции многих переменных
- •17.1. Пространство
- •17.2. Функции многих переменных
- •17.3. Частные производные функций многих переменных
- •17.4. Градиент
- •17.5. Частные производные высших порядков
- •17.6. Применение частных производных в экономике
- •Задания для решения на практическом занятии
- •Задания для самостоятельной работы
- •Тема 18. Экстремумы функций многих переменных
- •18.1. Локальный экстремум функции двух переменных
- •18.2. Наибольшее и наименьшее значения функции на ограниченном замкнутом множестве
2. Исследовать числовой ряд на сходимость:
а) , б) , в) , г) , д) , е) , ж) , з) , и)* , к) , л) , м) , н) , о) , п) , р) , с) , т)* , у) , ф) .
3. Исследовать числовой ряд на абсолютную и условную сходимость:
а) , б) , в) , г) .
Задания для самостоятельной работы
1. Найти сумму числового ряда с помощью определения:
а) , б) , в) , г) , д) , е) .
2. Исследовать числовой ряд на сходимость:
а) , б) , в) , г) , д) ,
е) , ж) , з) , и) , к) , л) , м) , н) , о) .
3. Исследовать числовой ряд на абсолютную и условную сходимость:
а) , б) , в) , г) .
Тема 16. Степенные ряды
16.1. Сходимость степенных рядов
Пусть – бесконечная последовательность функций, определенных на некотором числовом множестве . Построим из этой последовательности новую последовательность по правилу:
, , …, , …
Определение 1. Функциональным рядом называют упорядоченную пару последовательностей . Обозначение: .
Определение 2. Степенным рядом называют функциональный ряд вида . Вещественные числа ( ) называют коэффициентами степенного ряда. Вещественное число называют центром степенного ряда.
Определение 3. Степенной ряд вида называют рядом Маклорена.
Замечание 1. Если сделать замену переменной , то от степенного ряда всегда можно перейти к ряду Маклорена вида . Поэтому далее рассматриваем степенные ряды вида .
Замечание 2. Область определения любого степенного ряда – множество всех действительных чисел .
Замечание 3. Любой степенной ряд вида сходится при . Одна из задач теории степенных рядов: выяснить, при каких еще значениях степенной ряд сходится, а также при каких значениях степенной ряд сходится абсолютно.
Теорема 1. Если степенной ряд сходится при некотором ( ), то он сходится при любом значении , удовлетворяющем условию . Если степенной ряд расходится при некотором ( ), то он расходится при любом значении , удовлетворяющем условию .
Теорема 2. Для всякого степенного ряда существует число (возможно и бесконечное) такое, что
1) если , то ряд сходится только при ;
2) если , то ряд сходится при любом ;
3) если , то при всех , удовлетворяющих условию , ряд сходится, а при всех , , удовлетворяющих условию , ряд расходится.
Определение 4. Число такое, что при ряд сходится, а при – расходится, называют радиусом сходимости степенного ряда.
Определение 5. Интервал называют интервалом сходимости степенного ряда.
Замечание. Из теоремы 2 следует, что при всех степенной ряд сходится абсолютно, при всех – расходится. При вопрос о сходимости должен рассматриваться конкретно для каждого ряда.
Определение 6. Множество точек числовой прямой, получающееся добавлением интервалу сходимости точек и , называют промежутком сходимости или областью сходимости степенного ряда.
Теорема 3. Пусть для степенного ряда существует предел . Тогда: 1) если , то ; 2) если , то ; 3) если , то .
Теорема 4. Пусть для степенного ряда существует предел . Тогда: 1) если , то ; 2) если , то ; 3) если , то .
Пример 1. Найти промежуток сходимости степенного ряда .
Решение. Найдем радиус сходимости. Так как , то по теореме 4 имеем
.
Отсюда , то есть ряд абсолютно сходится на всей числовой прямой.
Пример 2. Найти промежуток сходимости степенного ряда .
Решение. 1) Найдем радиус сходимости. Так как , то по теореме 3 имеем . Отсюда .
2) Интервал сходимости: ряд абсолютно сходится в интервале .
3) Исследуем ряд на сходимость в точках и .
При ряд принимает вид . Это числовой знакочередующийся ряд, он расходится (см. тему 15, пример 2).
При ряд принимает вид . Это числовой положительный ряд. Проверим необходимое условие сходимости: , следовательно, ряд расходится.
Таким образом, промежутком сходимости является интервал .
Пример 3. Найти промежуток сходимости степенного ряда .
Решение. 1) Найдем радиус сходимости. Обозначим и рассмотрим вспомогательный ряд . Так как у вспомогательного ряда , то по теореме 3 имеем: . Отсюда .
2) Найдем интервал сходимости ряда . Так как , то по теореме 2 имеем , или , или . Ряд абсолютно сходится в интервале .
3) Исследуем ряд на сходимость в точках и .
При ряд принимает вид . Ряд является числовым знакочередующимся. Исследуем его на абсолютную сходимость. Соответствующий ряд из абсолютных членов: . Проверим необходимое условие сходимости: , следовательно, необходимое условие сходимости выполняется. Сравним ряд с гармоническим рядом . В силу второй теоремы сравнения получаем , следовательно, ряд расходится, а ряд расходится абсолютно. Но так как , и с увеличением номера убывает, то ряд является рядом типа Лейбница. Следовательно, он сходится. Точку можно включить в промежуток сходимости.
При ряд принимает вид . Это числовой положительный ряд. Необходимое условие сходимости для этого ряда выполняется ( ). Но, сравнивая этот ряд с гармоническим рядом , в силу второй теоремы сравнения получаем , следовательно, ряд расходится. Точка не входит в промежуток сходимости.
Таким образом, промежутком сходимости является полуинтервал .
Теорема 5. Если радиус сходимости степенного ряда не равен нулю, то сумма этого степенного ряда является непрерывной функцией на любом отрезке .