- •18.3. Условный экстремум. Понятие о методе множителей Лагранжа
- •18.4. Использование экстремумов в экономических исследованиях
- •18.4.1. Максимизация прибыли от производства разных видов товаров
- •18.4.2. Задача ценовой дискриминации
- •18.4.3. Оптимизация распределения ресурсов
- •18.4.4. Максимизация прибыли производства продукции
- •18.4.5. Оптимизация спроса
- •18.4.6. Оптимизация портфеля ценных бумаг
- •Задания для решения на практическом занятии
- •Задания для самостоятельной работы
- •Тема 19. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •19.1. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •19.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Задания для решения на практическом занятии
- •Задания для самостоятельной работы
- •Тема 20. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •Задания для решения на практическом занятии
Алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значений функции на ограниченном замкнутом множестве
1) Построить множество .
2) Найти точки локального экстремума функции , выбрать из них те, которые попадают внутрь множества , и вычислить значение функции в этих точках.
3) Последовательно подставляя в функцию уравнения линий , (или ), ограничивающих множество, найти наибольшие и наименьшие значения получающихся функций одной переменной (см. тему 12, п. 12.1) на границе множества и вычислить значения функции в этих точках.
4) Из найденных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее. Записать ответ.
Замечание. Множество может быть задано неравенствами.
Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на множестве
Решение. 1) Множество имеет вид прямоугольного треугольника, ограниченного прямыми , , (рис. 18.1).
2 ) Функция имеет стационарные точки и , принадлежащей области , (см. пример 1), вычислим значение функции в точке : .
3) Исследуем значения функции на границе множества .
Подставим уравнение прямой в функцию и уравнение границы . Получится функция , . Найдем ее наибольшее и наименьшее значения на отрезке : , тогда . Обозначим точку . Вычислим значение функции в этой точке: . При (точка ) значение функции . При (точка ); значение функции .
Подставим уравнение прямой в функцию и уравнение границы . Получится функция , . Найдем ее наибольшее и наименьшее значения на отрезке : , тогда , то есть получилась точка ; . При (точка ) значение функции: . При получается точка , .
Подставим уравнение прямой в функцию , тогда она примет вид , . Найдем ее наибольшее и наименьшее значения на отрезке . Уравнение вещественных корней не имеет. Следовательно, функция на отрезке не имеет стационарных точек. При получается точка , . При получается точка , .
4) Выпишем полученные значения функций: , , , , , . Следовательно, наибольшего значения функция достигает в точке , а наименьшего в точках и .
Определение 6. Множество пространства называют выпуклым, если для любых двух точек и , принадлежащих , отрезок, соединяющий эти точки, также целиком принадлежит множеству .
Замечание. Выпуклыми множествами являются, например, вся координатная плоскость, полуплоскость, круг, выпуклый многоугольник.
Определение 7. Функцию , заданную на выпуклом множестве , называют выпуклой вниз, если для любых двух точек и выполняется условие .
Определение 8. Функцию , заданную на выпуклом множестве , называют выпуклой вверх, если для любых двух точек и выполняется условие .
Замечание. Выпуклой вниз функцией является, например, функция . Для функции выполняется как условие определения 7, так и определения 8, поэтому ее иногда называют функцией нейтральной выпуклости.
Теорема 3. Для того, чтобы функция , выпуклая и дифференцируемая на множестве , имела экстремум в точке , принадлежащей множеству , необходимо и достаточно, чтобы значения ее частных производных в этой точке были равны нулю: .
Теорема 4. Экстремум выпуклой на множестве функции является глобальным, то есть наименьшим значением в случае функции, выпуклой вниз, и наибольшим значением в случае функции, выпуклой вверх.
18.3. Условный экстремум. Понятие о методе множителей Лагранжа
Рассмотрим задачу отыскания экстремума функции нескольких переменных на множестве, удовлетворяющем некоторому условию.
Пусть функция определена и дифференцируема на своей области определения. И пусть на ее аргументы наложено условие , называемое уравнением связи.
Определение 9. Точку называют точкой условного максимума (минимума) функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек из этой окрестности, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство ( ). Точки условного максимума и условного минимума называют точками условного экстремума.
Определение 10. Функцию называют функцией Лагранжа, а – множителем Лагранжа.
Теорема 5. Если точка является точкой условного экстремума функции при условии , то существует значение такое, что точка является точкой безусловного экстремума функции .
Замечание 1. Если функции и заданы на выпуклом множестве и являются выпуклыми (вверх или вниз), то для нахождения условного экстремума функции необходимо и достаточно найти стационарную точку функции .
Замечание 2. В точке условного экстремума линия уровня функции касается линии .
Алгоритм поиска условного экстремума функции
1) Найти область определения функций и , проверить, является ли их пересечение выпуклым множеством.
2) Проверить, являются ли функции и выпуклыми и какого характера (вверх ил вниз).
3) Составить функцию Лагранжа .
4) Найти стационарные точки функции Лагранжа. Возможны два случая:
а) в случае выпуклых функций и стационарная точка будет единственной; остается указать характер условного экстремума (максимум или минимум) на основании замечания 1 к теореме 5;
б) если не удалось установить характер выпуклости функций и , то стационарные точки функции Лагранжа являются только подозрительными на экстремум и требуют дополнительного исследования.
5) Вычислить значения функции в найденных точках. Записать ответ.
Пример 3. Найти точки условного экстремума функции при условии .
Решение. Заметим, что уравнение связи имеет вид , .
1) Функции и заданы на всей координатной плоскости , являющейся выпуклым множеством.
2) Проверим, является ли функция выпуклой, и установим характер выпуклости. Для любых двух точек и имеем:
,
то есть функция является выпуклой вниз.
Проверим, является ли функция выпуклой, и установим характер выпуклости. Для любых двух точек и имеем:
,
то есть условие выпуклости вниз для функции выполняется.
3) Составим функцию Лагранжа: .
4) Найдем стационарную точку функции Лагранжа как решение системы уравнений:
Таким образом, стационарная точка функции Лагранжа . Следовательно, точка является точкой условного экстремума функции при условии . В силу того, что функция является выпуклой вниз, полученная точка является точкой условного минимума.
5) Значение функции в точке : .
Ответ: точка является точкой условного минимума функции при , .
Замечание. Если число переменных больше двух, может рассматриваться несколько уравнений связи. В этом случае функция Лагранжа имеет вид
.