- •Кафедра физики и высшей математики
- •Часть I
- •Лекция 1. Определители и матрицы
- •1.1. Матрицы: основные сведения
- •1.2. Определители: их вычисление и свойства
- •Определители второго порядка вычисляют по формуле
- •1.3. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы
- •1.4. Системы линейных уравнений
- •1.4.1. Метод Крамера
- •1.4.2. Метод обратной матрицы
- •1.4.3. Метод Гаусса
- •Лекция 2. Векторы
- •2.1. Геометрические векторы
- •2.2. Линейные операции над векторами
- •2.3. Проекция вектора на ось
- •2.4. Разложение вектора по осям координат
- •2.5. Линейные операции над векторами, заданными в координатной форме
- •2.6. Скалярное произведение двух векторов
- •2.8. Алгебраический подход к понятию n-мерного вектора
- •2.9. Линейная зависимость векторов
- •Лекция 3. Плоскость и прямая
- •3.1. Плоскость в пространстве
- •3.2. Взаимное расположение двух плоскостей
- •3.3. Прямая в пространстве r3
- •3.4. Две важные задачи аналитической геометрии
- •3.5. Прямая на плоскости
- •Если а 0, в 0, с 0, то прямая (3.11) пересекает обе координатные оси.
- •Раскрывая скобки в уравнении (3.15), получим
- •3.6. Угол между двумя прямыми на плоскости
- •3.7. Площадь треугольника
- •Лекция 4. Введение в анализ
- •4.1. Функция
- •4.2. Предел
- •4.3. Предел переменной величины
- •4.4. Предел функции
- •4.5. Бесконечно малые и их основные свойства
- •4.6. Основные теоремы о действиях с пределами
- •4.7. Сравнение бесконечно малых
- •4.8. Два замечательных предела
- •4.9. Непрерывность функции
- •4.9.1. Приращение аргумента и приращение функции
- •4.9.2. Непрерывность функции в точке
- •4.9.3. Свойств непрерывной на отрезке функции
- •4.10. Некоторые приемы раскрытия неопределенностей вида или при вычислении пределов функции
- •Лекция 5. Дифференциальное исчисление
- •5.1. Производная
- •5.2. Механический смысл производной
- •5.3. Геометрический смысл производной
- •5.4. Дифференцируемость и непрерывность функции
- •5.5. Схема нахождения производной
- •5.6. Таблица производных основных элементарных функций
- •5.7. Правила дифференцирования элементарных функций
- •5.8. Производная сложной функции
- •5.9. Производная параметрически заданной функции
- •5.10. Неявная функция и ее дифференцирование
- •5.11. Дифференциал
- •5.12. Производные и дифференциалы высших порядков
- •5.13. Частные производные
- •5.14. Полный дифференциал
- •Лекция 6. Приложения производной к исследованию функций
- •6.1. Правило Лопиталя
- •6.2. Экстремум функции
- •6.2.1. Возрастание и убывание функции, его аналитические признаки
- •6.2.2. Точка максимума и минимума
- •6.2.3. Необходимое условие экстремума
- •6.2.4. Достаточные признаки существования экстремума
- •6.3. Признаки выпуклости и вогнутости графика функции. Точки перегиба
- •6.3.1. Необходимые и достаточные признаки выпуклости и вогнутости графика
- •6.4. Второй достаточный признак экстремума
- •6.5. Асимптоты
- •6.6. Схема общего исследования функции и построения ее графика
- •Лекции для студентов высших учебных заведений, обучающихся заочно по экономическим специальностям. Часть I
4.4. Предел функции
Рассмотрим некоторые случаи изменения функции при стремлении аргумента х как переменной величины к некоторому пределу а или к бесконечности.
Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки а, кроме, быть может, самой точки а. Функция у = f(х) стремится к пределу при х, стремящемся к , если для каждого сколь угодно малого положительного числа можно указать такое положительное число , что для всех х, отличных от а и удовлетворяющих неравенству , будет выполняться неравенство .
Е сли b есть предел функции f(x) при , то это обозначают так или при .
Геометрическая иллюстрация последнего определения представлена на рис. 4.1. Видно, что для всех х, отстоящих от а не более, чем на , соответствующая точка М графика функции лежит внутри полосы шириною 2.
Если f(x) стремится к пределу b1 при х, стремящемся к некоторому числу а так, что х: принимает только значения меньшие а, то пишут , и называют b1 пределом функции f(x) в точке а слева.
Если х принимает только значения большие, чем а, то пишут и называют b2 пределом функции f(x)в точке а справа. Это односторонние пределы функции.
Если f(x) стремится к бесконечности при (или ) и при этом принимает только положительные или только отрицательные значения, то пишут или . В этих случаях f(x) называется бесконечно большой величиной. Бесконечно большая величина предела не имеет.
Функция y = f(x) называется ограниченной в данной области изменения аргумента, если существует такое положительное число М, что для всех значений х из данной области выполняется неравенство .
4.5. Бесконечно малые и их основные свойства
Функция а = а(х) называется бесконечно малой при (или ), если ее предел при этих условиях равен нулю. Например, ; .
Сформулируем важные для дальнейшего теоремы о бесконечно малых.
Теорема 1. Если функцию y = f(x) можно представить в виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой а, то есть у = b+а, то число b является пределом этой функции: .
Теорема 2. Если , то можно написать у = b+ а, где а – бесконечно малая.
Теорема 3. Если а = а(х) стремится к нулю при (или ), и не обращается в нуль, то обратная ей функция стремится к бесконечности. И обратно, если , то .
Теорема 4. Сумма конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.
Теорема 5. Произведение бесконечно малой функции а = а(х) на функцию ограниченную z = z(x) при есть функция бесконечно малая.
Если , - бесконечно малые, то их произведение тоже бесконечно малая (для любого конечного числа сомножителей).
Если а – бесконечно малая, а , то есть постоянная, то С - бесконечно малая.
4.6. Основные теоремы о действиях с пределами
Будем рассматривать функции u1, u2, …, которые зависят от одного и того же аргумента x, при этом аргумент или . Это общее условие позволит нам сократить записи без ущерба для содержания.
Теорема 1. Предел постоянной равен этой же постоянной , где .
Теорема 2. Предел алгебраической суммы конечного числа переменных равен алгебраической сумме пределов этих переменных .
Доказательство. Проведем доказательство для двух слагаемых, так как для любого числа слагаемых оно проводится так же.
Пусть , . Тогда на основании теоремы 1 предыдущего параграфа можем записать
,
где , – бесконечно малые, следовательно
.
Так как - постоянная, а - бесконечно малая, то по теореме 2 или .
Следующие теоремы 3 и 4 доказываются аналогично.
Теорема 3. Предел произведения конечного числа переменных равен произведению пределов сомножителей .
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела
Пример 4.1. .
Теорема 4. Предел частного двух переменных равен частному пределов этих переменных, если предел знаменателя не равен нулю
Пример 4.2. .
Если же предел знаменателя равен нулю или пределы числителя и знаменателя оба равны нулю, то применять теорему 4 нельзя. О том как быть в этих случаях речь пойдет ниже.
Теорема 5. Если - функции, имеющие пределы, причем , и если , то и .
В теории пределов приходится решать две самостоятельные задачи:
вычислять предел;
доказывать, что предел переменной существует и устанавливать границы, внутри которых предел находится. Иногда эта вторая задача решается с помощью следующей важной теоремы.
Теорема 6. Если переменная величина v возрастающая, то есть каждое ее последующее значение больше предыдущего, и если она ограничена, то есть , то эта переменная величина имеет предел , причем .