VII. Расчет переходного процесса с помощью решателей системы matlab

Для получения переходного процесса необходимо численно решать уравнение системы с применением функции-решателей системы MATLAB. Основой этих функций являются вычислительные формулы Рунге-Кутта 3 – 5 порядка точности. К таким функциям относятся ode23, ode45, ode113, ode15b и др.

Предположим, что требуется решить задачу Коши в виде (32). Для

решения необходимо составить файл-функцию для вычисления правых частей

(32). С этой целью в главном меню системы МАТLAB выбирается команда

В результате откроется окно редактора m-файлов. В это окно необходимо ввести файл-функцию. Для

рассматриваемой задачи (32) текст файл-функции будет таким:

function CMO = vdp(t,y)

a0=268400;a1=808008,3;a2=22410101;a3=2,7*10^6;b3=a3;

dy1 = y(2);

dy2 = y(3);

dy3 = b3/a0*g-a1/a0*y(3)-a2/a0*y(2)-a3/a0*y(1);

CMO = [dy1; dy2; dy3];

В тексте файл-функции a0,a1,a2,a3,b3 численные значения для коэффициентов

уравнения САР.

Для получения решения в интервале времени [0, t0] в командном окне

размещается обращение к функции ode23:

[t,y] = ode23('vdp',[0,30],[0,0,0]); (33)

Далее на панели инструментов нажимается клавиша Enter. В этом же командном окне печатаются результаты решения. Если необходим график

зависимости у(t), тогда в конце обращения к функции ode23 ставится точка с

запятой и на следующей строке формируется следующая команда

[t,y] = plot(0, 30) и опять нажимается клавиша Enter. В обращении (33) в круглых скобках указываются имя функции в апострофах, в первых квадратных скобках временной интервал интегрирования, в других таких же скобках начальные значения переменных у1, у2 и у3. В данном обращении эти значения равны нулю.

VIII. Автоматизация расчета рабочей области

Для расчета и построения графиков границ рабочей области используются

выражения (27), но при этом в них знак неравенства должен быть заменен на знак

равенства. После такой замены выражения (27) становятся уравнениями границ

рабочей области.

Расчеты рабочей области можно выполнять вручную и на компьютере.

Исходными данными для ручного расчета являются численные значения для

коэффициентов K₁ ÷ K₅, которые рассчитываются по формулам (25) с учетом

данных своего варианта.

При расчете по каждому уравнению рассчитываются значения коэффициента усиления k_ЭУ при пошаговом изменении в некотором диапазоне

постоянной времени Т_ОС. При этом значения коэффициента усиления,

рассчитанные по первому уравнению обозначаются символом k_ЭУ1, по второму

уравнению – символом k_ЭУ2 и т. д. После окончания расчета в системе координат

k_ЭУ, Т_ОС строятся кривые границ. Далее требуется их совместить на одном графике и выделить рабочую область.

Объем работы существенно сокращается, если все сделать с помощью ПК и

системы MATLAB.

Программа сдержит 55 строк. Ниже представлен текст программы. Первые

шесть строк содержат сведения о коэффициентах:

01: km = 100

02: k1 = 8000

03: k2 = 2000 * (1 + km)

04: k3 = 8000 * (1 + km)

05: k4 = 1 + km

06: k5 = 2.7 * 10^-4 * km

07: % 1 граница

08: t1 = 0.2:.01:9;

09: ke1 = (6*(t1+k3).^2-k1*k4*t1-k2*k4)./(t1.*(k1*k5*t1+k2*k5));

10: % 2 граница

11: t2 = 0.2:.01:9;

12: ke2 = (t2+k3).^3./((k1*t2+k2).^2*k5);

13: % 3 граница

14: t3 = 0.2:.01:9;

15: ke3 = 0.5*k4*(t3+k3)./(k5*(t3*k1+k2-0.5*t3.^2-0.5*t3*k3));

16: % 4 граница

17: t4 = 0.2:.01:9;

18: b = k5*(12*k4*t4-t4-k3);

19: c = 6*k4^2;

20: a = 6*t4.^2*k5^2;

21: ke4 = (-b+sqrt(b.^2-4*a*c))./(2*a);

22: % разделительная линия

23: t0 = 0.2:.01:9;

24: a0 = 0.75*t0.^2*k5^2;

25: b0 = 1.5*k4*k5*t0-k5.*(t0+k3)*0.75;

26: c0 = 0.75*k4^2;

27: ke0 = (-b0+sqrt(b0.^2-4*c0*a0))./(2*a0); (34)

28: % линия tп=tзад

29: tzad=25;

30: ke5 = -1*10.^8:1*10.^6:4*10.^8;

31: t5 = (tzad-(3*k4./(k5*ke5)))./3;

32: % вывод графиков

33: plot(t1,ke1,t2,ke2,t3,ke3,t4,ke4,t0,ke0,t5,ke5);

34: % координаты надписей над кривыми

35: text(0.42, 1.8*10^9, 'ke1');

36: text(0.55, 0.5*10^9, 'ke2');

37: text(0.22, -0.1*10^9, 'ke3');

38: text(0.01, 0.15*10^9, 'ke4');

39: text(0.42, 0.28*10^9, 'p=1');

40: text(1.5, 0.15*10^9, 'work areas');

41: text(7.5, 0.15*10^9, 'tp=tzad');

42: % контроль принадлежности к рабочей области

43: toc = 8.3

44: ke = 1*10^7;

45: a0 = k1*toc+k2;

46: a1 = toc+k3;

47: a2 = k4+toc*ke*k5;

48: a3 = k5*ke;

49: raz1 = a0*a2-6*a1^2

50: raz2 = a0^2*a3-a1^3

51: raz3 = a0*a3-0.5*a1*a2

52: raz4 = a1*a3-6*a2^2

53: % вычисление po, tp

54: po = (a3*a1)/(0.75*a2^2)

55: tp = 3*a2/a3

Численные данные присутствующие в записи (34) получены в результате

расчета параметров элементов САР и логических упрощений. Коэффициент передачи магнитного усилителя k_МУ (km) в данном случае равен 100. Однако, при необходимости можно назначать и другие значения для этого коэффициента. Например, строить рабочие области при k_МУ = 10, 50 и т.д. и выбирать из них наиболее подходящую.

В строках 8–9, 11–12, 14–15, 17–21 размещены формулы для расчета

коэффициентов усиления k_ЭУ1, k_ЭУ2, k_ЭУ3, k_ЭУ4 при пошаговом изменении

постоянной времени корректирующего элемента T_ОС. При этом, параметр T_ОС в

программе обозначен символом «t» c индексом, совпадающим с номером

рассматриваемого уравнения. Так, в строках 8–9 применено обозначение t1, в

строках 11–12 – обозначение t2 и т. д. Коэффициенты усиления в программе

имеют обозначения ke1, kе2, kе3, kе4. В строках 18, 19, 20 определяются

промежуточные коэффициенты «а, b, с» для расчета k_ЭУ4. В строках 23–27

рассчитывается кривая, разделяющая рабочую область на подобласти колебательных и апериодических процессов. Для расчетов применена известная

формула [1], которая для уравнения (19) принимает вид (29). Далее, если в формуле (29) принять ρ = 1 и записать полученное равенство относительно коэффициента усиления k_ЭУ, то полученное выражение будет являться уравнением искомой разделительной кривой. Данное уравнение имеет вид

Если принять обозначения

то решение уравнения запишется в виде

В программе постоянная времени T_ОС и коэффициент усиления k_ЭУ,

соответствующий разделительной кривой ρ = 1, обозначены символами t0 и ке0

соответственно.

Таким образом, в первых 27 строках программы выполняются следующие

две операции:

1. Рассчитываются численные значения для коэффициентов К1 ÷ К5;

2. Для каждого из четырех уравнений границ рабочей области определяются

массивы чисел необходимые для построения графиков:

ke0 = f(t0);

ke1 = f1(t1);

ke2 = f2(t2); (35)

ke3 = f3(t3);

ke4 = f4(t4);

При получении массивов значение для постоянная времени T_ОС изменялось с шагом 0,01 с от 0,2 с до 9 с. Уже понятно, что приведенные в (35) обозначения коэффициентов отличаются друг от друга только из-за принадлежности к разным графикам. Фактически все они представляют собой один и тот же коэффициент усиления САР. Так же и обозначения t0, t1, t2, t3 и t4 соответствуют только постоянной времени T_ОС.

Строка 33 организует вывод всех пяти графиков (34) в одном окне. Строки

35–41 организуют надписи над кривыми. Например, чтобы сделать надпись над

кривой ke1 надо указать координаты расположения надписи. В строке 35 такими

координатами являются

Строки 43-52 организуют проверку существования рабочей области. Для

этого используются неравенства (22), которые в программе записаны в виде

четырех разностей raz1 ÷ raz4. Разности записаны в строках 49-52. В строках

45-48 размещены формулы для расчета коэффициентов уравнения САР. Эти

коэффициенты в программе обозначены прописными буквами a0, a1, a2 и a3. В строках 43 и 44 задаются координаты точки, проверяемой на принадлежность к

рабочей области. В строке 54 для этой точки рассчитывается значение для

показателя p, а в строке 55 – время переходного процесса.

Необходимо обратить внимание, что ряд строк-команд в программе

завершаются точкой с запятой. Это предотвращает вывод в командное окно

результатов действия этих команд при выполнении программы. Если же

необходимо организовать вывод результатов, то после строк-команд точка с

запятой не должна ставиться.

Рассмотренная файл-программа относится к самому простому типу m-

файлов, так как состоит только из последовательности команд, образующих

вычислительные операции и не имеют входных и выходных аргументов. Файл-

программы применяются для автоматизации выполнения большого набора

расчетных задач.

Для ввода операторов необходимо в главном меню МАТLAB выбрать

команду в результате чего раскроется окно редактора m-файлов. В это окно вводится необходимая для

решения задачи система операторов. Каждый оператор удобнее записывать в

отдельной строке. Для перехода к следующей строке нужно нажать клавишу

«Enter». Длинное выражение можно расположить в двух строках. Для разделения

выражения применяется многоточие. Если в конце строки с длинной формулой

поставить многоточие и нажать «Enter»,то ввод формулы можно будет продолжить в новой строке. При необходимости отдельные части программы дополняются комментариями. В рассматриваемой программе комментарии располагаются в строках 7, 10, 13, 16 и т. д.

После ввода файл-программы, необходимо сохранить ее в текущем рабочем

каталоге MATLAB. Для этого в окне редактора m-файлов необходимо выбрать

команду В появившемся диалоговом окне «Save file as» раскроется подкаталог work основного каталога MATLAB. В поле File name (Имя файла) необходимо ввести имя файл-программы вместо предложенного имени Untitled.

Для выполнения файл – программы необходимо в редакторе m-файлов

выбрать команду , щелкнуть на кнопке Run панели инструментов либо нажать клавишу «F5».