25. Гармонический осциллятор. Уравнение динамики гармонических колебаний. Примеры гармонических осцилляторов: пружинный, физический и математический маятники.

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описываемые уравнением вида:

Пружинный маятник — это груз массой т, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F = –kx, где k — жесткость пружины. Уравнение движения маятника

Из выражений и следует, что пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону х=А соs (w0t + j) с циклической частотой

и периодом

Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука (см. (21.3)), т. е. когда масса пружины мала по сравнению с массой тела. Потенциальная энергия пружинного маятника, равна

Физический маятник — это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С тела.

Если маятник отклонен из положения равновесия на некоторый угол a, то в соответствии с уравнением динамики вращательного движения твердого тела момент M возвращающей силы можно записать в виде

Идентично:

Период:

Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой т, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести. Хорошим приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити. Момент инерции математического маятника

где l — длина маятника.

Так как математический маятник можно представить как частный случай физического маятника, предположив, что вся его масса сосредоточена в одной точке — центре масс, то, подставив выражение в формулу, получим выражение для периода малых колебаний математического маятника

Уравнение динамики гармонических колебаний.

Квазиупругая сила

где k – коэффициент квазиупругой силы.

Сравнивая видим, что

В случае прямолинейных колебаний вдоль оси х, проекция ускорения на эту ось.

Подставив выражения для a(x) и F(x) во второй закон Ньютона, получим основное уравнение динамики гармонических колебаний, вызываемых упругими или квазиупругими силами:

или ; тогда .

Решением этого уравнения всегда будет выражение вида

,

т.е. смещение груза под действием упругой или квазиупругой силы является гармоническим колебанием, происходящим по синусоидальному закону.

26. Затухающие колебания. Коэффициент затухания, время релаксации. Логарифмический декремент затухания.

Затухающие колебания — колебания, энергия которых уменьшается с течением времени.

Коэффициентом затухания называют физическую величину, обратно пропорциональную времени релаксации: s = 1/τ или s =b/2m.

Временем релаксации называют промежуток времени, за который амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз (е - основание натуральных логарифмов).

Логарифмическим декрементом затухания называют натуральный логарифм отношения амплитуды в данный момент времени к амплитуде колебания спустя период.

Действительно,

Логарифмический декремент затухания прямо пропорционален произведению коэффициента затухания и периоду затухающих колебаний.

27. Вынужденные колебания. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Резонанс. Резонансные характеристики осциллятора (добротность,избирательность).

Вынужденные колебания — колебания, происходящие под воздействием внешних сил, меняющихся во времени.

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы (частоты вынуждающего переменного напряжения) к частоте, равной или близкой собственной частоте колебательной системы, называется резонансом (соответственно механическим или электрическим).

Физическую величину, характеризующую потери энергии при затухающих колебаниях, называют добротностью.

Добротность Q физической системы можно найти по формуле

28. Классическое волновое уравнение. Бегущие волны. Гармоническая бегущая волна, ее характеристики (длина волны, частота и др.).

Классическое волновое уравнение.

Бегущая волна — волновое движение, при котором поверхность равных фаз (фазовые волновые фронты) перемещается с конечной скоростью (постоянной для однородной среды). С бегущей волной, групповая скорость которой отлична от нуля, связан перенос энергии, импульса или других характеристик процесса.

Бегущая волна - волна, которая при распространении в среде переносит энергию (в отличие от стоячей волны). Примеры: упругая волна в стержне, столбе газа, жидкости, электромагнитная волна вдоль длинной линии, в волноводе.

Длиной волны называется наименьшее расстояние между двумя точками среды, совершающими колебания в фазе (т.е. разность их фаз равна ).

Фазовая скорость - это скорость распространения данной фазы колебаний, т.е. скорость волны. Фазовая скорость различна для разных сред.

Геометрическое место точек, колеблющихся в фазе, называется волновой поверхностью.

Волновой фронт – частный случай волновой поверхности. Волновой фронт все время перемещается. Волновые поверхности остаются неподвижными. Они проходят через положения равновесия частиц среды, которые колеблются в одинаковой фазе.