6. Пример разработки математической модели методом пфэ по результатам экспериментального обследования объекта химической технологии.

Исследовался предел прочности при сжатии образцов цементов фосфатного твердения, выбранный выходным параметром (, МН/м²).

Факторами являлись: Z₁– температура термообработки, С;Z₂– время термообработки, ч;Z₃– количество связки, %.

Необходимо получить математическое описание процесса по ПФЭ вида

и оценить адекватность полученной модели.

Исходные данные: Z₁₀=500;Z₂₀=3;Z₃₀=25;Z₁=200;Z₂=2;Z₃=8.

Матрица планирования:

№ оп	X0	Х1	Х2	Х3	Х1Х2	Х1Х3	Х2Х3	Х1Х2Х3	Y1	Y2
1	+1	–1	+1	+1	–1	–1	+1	–1	79.30	75.35
2	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	85.10	83.35
3	+1	+1	–1	+1	–1	+1	–1	–1	59.40	60.33
4	+1	+1	+1	–1	+1	–1	–1	–1	72.50	77.79
5	+1	–1	–1	+1	+1	–1	–1	+1	42.30	45.70
6	+1	–1	–1	–1	+1	+1	+1	–1	48.70	42.56
7	+1	–1	+1	–1	–1	+1	–1	+1	62.50	63.46
8	+1	+1	–1	–1	–1	–1	+1	+1	51.40	59.79

1. Расчет средних значений по формуле (11),

2. Определение построчной дисперсии по формуле (12):

3. Проверка однородности построчных дисперсий по критерию Кохрена – формула (13):

,,

Полученное значение сравнивается с табличным ,. Так как, дисперсии однородны.

4. Определение ошибки опыта или дисперсии воспроизводимости – (14):

5. Вычисление коэффициентов уравнения регрессии – (15):

6.  Вычисление дисперсии коэффициентов уравнения регрессии и расчетных значений критерия Стьюдента, (16)–(17)

;

;

;

;

;

7.  Проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии:

Следовательно, принимаем , так как они незначимы.

6. Полученное уравнение регрессии имеет вид:

Определим расчетные значения выходного параметра для каждого опыта по уравнению регрессии:

7. Расчет дисперсии адекватности по формуле (18):

8. Определение расчетного значения критерия Фишера – (19):

9. Проверка адекватности полученного уравнения по критерию Фишера: ,. Следовательно, полученная модель адекватно описывает процесс сжатия образцов цементов фосфатного твердения.

10. Раскодировка уравнения регрессии

В результате обработки результатов ПФЭ получено уравнение регрессии:

Факторы входят в него в кодированном виде. Чтобы получить уравнение в натуральном масштабе, необходимо воспользоваться формулами (4):

После подстановки получим

Окончательно уравнение регрессии в реальном масштабе имеет следующий вид:

.

Программа обработки результатов эксперимента ПФЭ 1 порядка

PRINT SPC(10); "ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ"

INPUT "ЧИСЛО ОСНОВНЫХ ОПЫТОВ N"; N

INPUT "ЧИСЛО ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОПЫТОВ M"; M

INPUT "ТАБЛИЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ КРИТЕРИЯ КОХРЕНА GR"; GR

INPUT "ТАБЛИЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ КРИТЕРИЯ СТЬЮДЕНТА STT"; STT

INPUT "ЧИСЛО СТОЛБЦОВ МАТРИЦЫ ПЛАНИРОВАНИЯ NN"; NN

PRINT "ЧИСЛО ОСНОВНЫХ ОПЫТОВ N "; N

PRINT "ЧИСЛО ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОПЫТОВ M "; M

PRINT "ТАБЛИЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ КРИТЕРИЯ КОХРЕНА GR "; GR

PRINT "ТАБЛИЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ КРИТЕРИЯ СТЬЮДЕНТА STT"; STT

PRINT "ЧИСЛО СТОЛБЦОВ МАТРИЦЫ ПЛАНИРОВАНИЯ NN "; NN

DIM X(N, NN),Y(N, M),YSR(N),WD(N),B(N),STR(N),YR(N)

PRINT

FOR I = 1 TO N

FOR J = 1 TO NN

READ X(I, J): NEXT J: NEXT I

DATA 1,–1,1,1,–1,–1,1,–1

DATA 1,1,1,1,1,1,1,1

DATA 1,1,–1,1,–1,1,–1,–1

DATA 1,1,1,–1,1,–1,–1,–1

DATA 1,–1,–1,1,1,–1,–1,1

DATA 1,–1,–1,–1,1,1,1,–1

DATA 1,–1,1,–1,–1,1,–1,1

DATA 1,1,–1,–1,–1,–1,1,1

FOR I = 1 TO N

FOR K = 1 TO M

READ Y(I, K): NEXT K: NEXT I

DATA 79.3,75.35

DATA 85.1,83.35

DATA 59.4,60.33

DATA 72.5,77.79

DATA 42.3,45.7

DATA 48.7,42.56

DATA 62.5,63.46

DATA 51.4,59.79

FOR I = 1 TO N

FOR J = 1 TO NN

PRINT USING "+# "; X(I, J); : NEXT J

FOR K = 1 TO M: PRINT USING "####.### ";Y(I, K);:NEXT K

PRINT : NEXT I: PRINT

PRINT SPC(10); "РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА"

REM РАСЧЕТ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ Y

FOR I = 1 TO N: YSR(I) = 0

FOR J = 1 TO M: YSR(I) = YSR(I) + Y(I, J): NEXT J

YSR(I) = YSR(I) / M: NEXT I

REM РАСЧЕТ ВЫБОРОЧНОЙ ДИСПЕРСИИ

FOR I = 1 TO N: WD(I) = 0

FOR J = 1 TO M: WD(I) = WD(I)+(Y(I, J)–YSR(I))^2:NEXT J

WD(I) = WD(I) / (M – 1): NEXT I

REM РАСЧЕТ КРИТЕРИЯ КОХРЕНА

SUMWD = 0: FOR I = 1 TO N: SUMWD = SUMWD + WD(I):NEXT I

WDMAX = 0: FOR I = 1 TO N

IF WD(I) > WDMAX THEN WDMAX = WD(I)

NEXT I

KR = WDMAX / SUMWD

IF KR > GR THEN

PRINT

PRINT " средние выборочная"

PRINT " знач.Y дисперсия"

PRINT

FOR I = 1 TO N

PRINT USING " ####.### "; YSR(I);

PRINT USING " ##.###^^^^ "; WD(I)

NEXT I

PRINT

PRINT "ДИСПЕРСИИ НЕОДНОРОДНЫ"

END

END IF

SO2 = SUMWD / N

REM РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ РЕГРЕССИИ

FOR J = 1 TO NN: B1(J) = 0

FOR I = 1 TO N: B1(J) = B1(J) + X(I, J) * YSR(I):NEXT I

B1(J) = B1(J) / N: NEXT J

REM ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧИМОСТИ КОЗФФИЦИЕНТОВ

SB = SQR(SO2 / (N * M))

FOR J = 1 TO NN: STR(J) = ABS(B1(J)) / SB: NEXT J

FOR J = 1 TO NN: B(J) = B1(J)

IF STR(J) < STT THEN B(J) = 0

NEXT J

REM ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА ЗНАЧИМЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ

L = 0

FOR J = 1 TO NN: IF B(J) <> 0 THEN L = L + 1

NEXT J

REM ОПРЕДЕЛЕНИЕ YR

FOR I = 1 TO N: YR(I) = 0

FOR J = 1 TO NN: YR(I) = YR(I) + B(J) * X(I, J): NEXT J

NEXT I

PRINT

PRINT " средние расчетные выборочная коэфф. ";

PRINT "расчетн. значим."

PRINT " знач.Y знач. Y дисперсия уравн. ";

PRINT "критерий коэф."

PRINT " регрес. ";

PRINT "Стьюдента уравн."

PRINT

FOR I = 1 TO N

PRINT USING " ####.### "; YSR(I); YR(I);

PRINT USING " ##.###^^^^ "; WD(I); B1(I); STR(I); B(I)

NEXT I

PRINT

PRINT "СУММА ПОСТРОЧНЫХ ДИСПЕРСИЙ SUMWD="; SUMWD

PRINT "МАКСИМАЛЬНАЯ ПОСТРОЧНАЯ ДИСПЕРСИЯ WDMAX="; WDMAX

PRINT "РАСЧЕТНОЕ ЗНАЧЕНИЕ КРИТЕРИЯ КОХРЕНА KR="; KR

PRINT "ОШИБКА ОПЫТА SO2="; SO2

PRINT "СРЕДНЕКВАДРАТ. ОТКЛОНЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА SB="; SB

REM РАСЧЕТ КРИТЕРИЯ ФИШЕРА

Z = 0: FOR I = 1 TO N: Z = Z+(YSR(I)–YR(I))^2:NEXT I

IF L = N THEN

D = 0

DO WHILE I <= N

D = D + ((YSR(I) – YR(I)) / YSR(I)) ^ 2

LOOP

DEL = SQR(D / N) * 100

PRINT "ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ DEL="; DEL; "%"

ELSE

DAD = M * Z / (N – L): FR = DAD / SO2

PRINT "ДИСПЕРСИЯ АДЕКВАТНОСТИ DAD="; DAD

PRINT "РАСЧЕТНОЕ ЗНАЧЕНИЕ КРИТЕРИЯ ФИШЕРА FR="; FR

END IF

END

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

ЧИСЛО ОСНОВНЫХ ОПЫТОВ N 8

ЧИСЛО ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОПЫТОВ M 2

ТАБЛИЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ КРИТЕРИЯ КОХРЕНА GR .6798

ТАБЛИЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ КРИТЕРИЯ СТЬЮДЕНТА STT 2.31

ЧИСЛО СТОЛБЦОВ МАТРИЦЫ ПЛАНИРОВАНИЯ NN 8

+1 –1 +1 +1 –1 –1 +1 –1 79.300 75.350

+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 85.100 83.350

+1 +1 –1 +1 –1 +1 –1 –1 59.400 60.330

+1 +1 +1 –1 +1 –1 –1 –1 72.500 77.790

+1 –1 –1 +1 +1 –1 –1 +1 42.300 45.700

+1 –1 –1 –1 +1 +1 +1 –1 48.700 42.560

+1 –1 +1 –1 –1 +1 –1 +1 62.500 63.460

+1 +1 –1 –1 –1 –1 +1 +1 51.400 59.790

РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА

средние расчетные выборочная коэфф. расчетн. значим.

знач.Y знач. Y дисперсия уравн. критерий коэф.

регрес. Стьюдента уравн.

77.325 75.163 7.801E+00 6.310E+01 7.787E+01 6.310E+01

84.225 86.387 1.531E+00 5.612E+00 6.926E+00 5.612E+00

59.865 57.544 4.325E–01 1.182E+01 1.459E+01 1.182E+01

75.145 74.674 1.399E+01 3.258E+00 4.021E+00 3.258E+00

44.000 46.321 5.780E+00 –8.456E–01 1.044E+00 0.000E+00

45.630 45.001 1.885E+01 7.937E–02 9.796E–02 0.000E+00

62.980 63.451 4.608E–01 2.598E+00 3.206E+00 2.598E+00

55.595 56.224 3.520E+01 –1.396E+00 1.722E+00 0.000E+00

СУММА ПОСТРОЧНЫХ ДИСПЕРСИЙ SUMWD= 84.04367

МАКСИМАЛЬНАЯ ПОСТРОЧНАЯ ДИСПЕРСИЯ WDMAX= 35.19604

РАСЧЕТНОЕ ЗНАЧЕНИЕ КРИТЕРИЯ КОХРЕНА KR= .4187828

ОШИБКА ОПЫТА SO2= 10.50546

СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА SB= .8103032

ДИСПЕРСИЯ АДЕКВАТНОСТИ DAD= 14.23548

РАСЧЕТНОЕ ЗНАЧЕНИЕ КРИТЕРИЯ ФИШЕРА FR= 1.355055