Вопросы для повторения.

1. Система линейных уравнений. Матричная форма записи системы линейных уравнений.

2. Решения системы. Совместная, несовместная, определенная, неопределенная системы линейных уравнений.

3. Расширенная матрица системы линейных уравнений. Необходимое и достаточное условие совместности системы линейных уравнений (теорема Кронекера-Капелли).

4. Метод обратной матрицы. Метод Крамера. Формулы Крамера.

5. Метод Гаусса. Прямой и обратный ход. Недостатки метода Гаусса. Вычисление определителя с помощью метода Гаусса.

6. Алгоритм метода полного исключения. Вычисление обратной матрицы и ранга матрицы методом полного исключения.

7. Метод Гаусса с выбором главного элемента: схемы с выбором по строкам, по столбцам и по всей матрице.

8. Метод итераций решения систем линейных уравнений. Нулевое приближение. Условие сходимости итерационного процесса.

9. Условие диагонального преобладания. Коэффициент обусловленности системы.

10. Квадратичная форма. Матрица квадратичной формы. Матричная запись квадратичной формы. Ранг квадратичной формы.

11. Канонический вид квадратичной формы.

12. Собственные значения и собственные векторы матрицы. Характеристическое уравнение матрицы. Получение ортогональной матрицы. Геометрический смысл собственных значений и собственных векторов.

13. Ортогональное преобразование квадратичной формы.

14. Классификация квадратичных форм. Знакоопределённые квадратичные формы. Угловые миноры матрицы. Критерий Сильвестра.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Методом обратной матрицы решить систему линейных уравнений: .

2. Решить систему линейных уравнений в предыдущей задаче методом Крамера.

3. Методом Гаусса решить системы линейных уравнений:

4. Решить систему линейных уравнений в задаче 1 методами Гаусса и полного исключения.

5. Используя схемы с выбором главного элемента по строкам, столбцам и по всей матрице, решить систему линейных уравнений: .

6. Решить систему линейных уравнений в задаче 1, используя схемы с выбором главного элемента по строкам, столбцам и по всей матрице.

7. Вычислить определитель, используя метод Гаусса:

8. Показать, что матрица A невырожденная. Найти обратную матрицу A^-1, используя метод полного исключения, и проверить, что АА^-1 = А^-1A = I: .

9. Вычислить ранг матрицы A с помощью метода полного исключения:

10. Найти ортогональное преобразование, приводящее к каноническому виду квадратичную форму ; записать соответствующий канонический вид квадратичной формы.

11. Исследовать на знакоопределённость квадратичные формы: a) ; б) .

12. При каких значениях k квадратичная форма Q(x₁,x₂,x₃) является положительно определённой:

14) ;

15) .

Глава 4. Векторная алгебра

Вектор – направленный отрезок (см. рис. 9.). Будем обозначать вектор с началом в точке A и концом в B так: , , или .

Рис.9. Вектор

Модуль вектора - длина этого вектора. - нулевой вектор – вектор , у которого начало и конец совпадают. Единичный вектор – вектор , такой, что

Коллинеарные векторы – векторы, лежащие на параллельных прямых (или на одной прямой).

Компланарные векторы – векторы, лежащие в параллельных плоскостях (или в одной плоскости).

Равные векторы - коллинеарные векторы, имеющие одинаковые направления и равные длины.

Противоположные векторы и ( ) - векторы, противоположно направленные и имеющие одинаковые длины.

Линейные операции над векторами.

1. Сложение векторов. Сумма векторов + = .

а) Правила треугольника и параллелограмма для двух векторов (см. рис. 10.).

Рис. 10. Сложение векторов

б) Правило многоугольника для нескольких векторов, лежащих в одной плоскости (см. рис.11.).

Рис.11. Правило многоугольника

в) Правило параллелепипеда для трёх векторов, не лежащих в одной плоскости (см. рис. 12.).

Рис. 12. Сложение трёх некомпланарных векторов

Свойства сложения векторов.

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

2. Вычитание векторов. Разность векторов и – это вектор такой, что , то есть (см. рис.13.).

Рис.13. Вычитание векторов

3. Умножение вектора на число .

Произведение вектора на число это вектор такой, что 1)

2)

, если или .

Свойства умножения вектора на число.

1. ;

2. ;

3. .

Операция нахождения числа из векторного уравнения называется делением вектора на вектор ( и должны быть коллинеарными).

Проекция вектора на ось (направление) l.

а) Геометрическая проекция - вектор

Рис.14. Геометрическая проекция

Свойства геометрической проекции.

1. ;

2. .

б) Алгебраическая проекция – длина геометрической проекции.

Рис.15. Алгебраическая проекция

, где – угол между и .

Векторы в декартовой системе координат.

Трёхмерный ортонормированный базис – система единичных векторов (ортов), расположенных на осях Ox, Oy, Oz и выходящих из начала координат: , , , .

Рис.16. Орты

Векторы образуют правую тройку векторов, т.е. если смотреть с конца вектора на плоскость, определяемую векторами и , то кратчайший поворот от вектора к вектору совершается против часовой стрелки. Если этот поворот совершается по часовой стрелке, то такая тройка векторов называется левой.

Координаты вектора – алгебраические проекции на оси координат: , , . То есть имеем

разложение вектора по ортам.

Углы между вектором и осями координат.

- направляющие косинусы вектора .

Скалярное произведение векторов.

Рис. 17. Скалярное произведение

Для векторов определим скалярное произведение (число) по формуле (см. рис. 17.)

Свойства скалярного произведения.

1. 

2. ;

3. 

4. называется скалярным квадратом .

5. Если то

6. тогда и только тогда, когда вектор перпендикулярен или один из этих векторов равен .