5. Интегрирование рациональных функций

Важный класс функций, интегралы от которых всегда выражаются через элементарные функции, образуют рациональные функции, т.е. функции, которые можно представить в виде дроби где и многочлены.

Если степень многочлена в числителе равна или больше степени многочлена в знаменателе, то, выполнив деление, получим

(2.3)

где W(x) – некоторый многочлен, а многочлен степени ниже, чем

Примеры. 1.

2.

В п. 1.5 доказывается, что каждый многочлен может быть представлен в виде произведения где А – коэффициент при старшей степени многочлена Q(x), a  корни уравнения Q(х) = 0. Множители называются элементарными множителями. Если среди них имеются совпадающие, то, группируя, получаем представление

(2.4)

где r, s,… t – целые числа, которые называются соответственно кратностями корней причем степень многочлена

Среди корней представления (2.4) могут быть и комплексные. В п.1.5 доказывается, что если -кратный комплексный корень многочлена с действительными коэффициентами, то этот многочлен имеет также сопряженный с r-кратный корень Другими словами, если в представление (2.4) входит множитель где то оно содержит также и множитель . Перемножив эти два множителя, получим

где p и q – действительные числа.

Поступая аналогично с остальными комплексными корнями, запишем представление (2.4) в виде

, (2.5)

где действительные числа.

В высшей алгебре доказывается следующая теорема.

Теорема 4. Если рациональная функция имеет степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, а многочлен Q(x) представлен в виде (2.5), то эту функцию можно единственным образом представить в виде

(2.6)

где  некоторые действительные числа.

Выражение (2.6) называется разложением рациональной функции на элементарные дроби. Оно имеет место для всех х, не являющихся действительными корнями многочлена Q(x).

Чтобы определить числа

умножим обе части разложения (2.6) с неизвестными пока на Q(x). Поскольку равенство между многочленом R(x) и многочленом, который получится в правой части, должно быть справедливо для всех х, то коэффициенты, стоящие при равных степенях х, должны быть равны между собой. Приравнивая их, получаем систему уравнений первой степени, из которой найдем неизвестные числа Такой метод отыскания коэффициентов разложения рациональной функции называется методом неопределенных коэффициентов.

Пример 1. Разложить рациональную функцию на элементарные дроби.

Решение. Так как то по формуле (2.6) имеем

Умножая обе части равенства на получаем

или

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, относительно А и В получаем систему уравнений первой степени откуда А = 5, В = 3. Таким образом,

Пример 2. Найти разложение рациональной функции на элементарные дроби.

Решение. Квадратный трехчлен имеет комплексные корни, поэтому по формуле (2.6) имеем

Умножая обе части равенства на получаем

или

Приравнивая коэффициенты при придем к системе уравнений

решая которую, найдем A= 1, B = 1, C = 0, D = 2, E = 0 и поэтому искомое разложение примет вид

Из изложенного следует, что задача интегрирования рациональной функции (2.3) сводится к интегрированию многочлена интеграл от которого является табличным и интегрированию рациональной функции что приводит к нахождению интегралов следующих четырех типов:

I.

II.

III.

IV.

При этом многочлен не имеет действительных корней, так что

Вычислим интеграл III типа, который часто встречается на практике. Выделим из трехчлена в знаменателе полный квадрат

Это представление «подсказывает» подстановку

, откуда , . Положим далее и перейдем к переменной t. В результате интеграл преобразуется к виду

Первый интеграл в правой части берется непосредственно

Второй интеграл вычисляется по формуле XIII таблицы основных интегралов. Что касается интеграла IV типа, то в рамках нашей программы нет надобности рассматривать такого вида интегралы.

Итак, установлено, что интегрирование любой рациональной функции сводится к интегрированию многочлена и конечного числа элементарных дробей, интегралы от которых выражаются через рациональные функции, логарифмы и арктангенсы. Иными словами, любая рациональная функция интегрируется в элементарных функциях.

Пример 3. Вычислить .

Решение. Выделим в знаменателе полный квадрат: . Сделаем подстановку , откуда поэтому

Возвращаясь к переменной , получаем

Пример 4. Вычислить .

Решение. Разложим подынтегральную дробь на простейшие дроби вида I и II

.

Приводя к общему знаменателю и приравнивая числители, получим:

Приравнивая коэффициенты при (свободный член), получим систему уравнений для определения коэффициентов:

Решая эту систему, найдем:

Таким образом,

Пример 5. Вычислить .

Решение. Разложим подынтегральную дробь на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами

.

Следовательно,

.

Полагая, , получим:

, получим: ,

Приравнивая коэффициенты при , получим , откуда Таким образом,