Учебное пособие 800360

правой и левой частях этого равенства. Приравнивая коэффициенты при dx, dy, dz в обеих частях равенства, находим

F

U

,

F

U

,

F

U

.

(16.25)

x

x

y

y

z

z

Следовательно, в потенциальном силовом поле проекции силы на оси координат равны частным производным от силовой функции по этим координатам. Вектор, проекции которого определяются равенствами вида (16.25), называют

градиентом скалярной функции U(x, у, z). Тогда F = gradU. Из равенств (16.25) следует

F		2U		Fy		2U
x			,				и т. д.
				x
y		y x				x y

Следовательно, если для данного поля существует силовая функция, то проекции силы на оси координат удовлетворяют соотношениям

F		Fy		Fy		F		F		F
x			,			z	,	z		x	. (19.26)
		x		z
y						y		x		z

Можно показать, что верно и обратное утверждение: если выполнены равенства (16.26), то для поля существует силовая функция U. Следовательно, условия (16.26) являются необходимыми и достаточными условиями потенциальности силового поля. Таким образом, если силовое поле задано уравнениями (16.18), то по (16.26) можно проверить потенциально ли оно. Если поле потенциально, то выражение (16.21) определяет его силовую функцию, а формула (16.14) - работу сил поля. Наоборот, если силовая функция известна, то по формулам (16.25) можно определить характеристики этого поля.

250

Рис. 16.13

Выражение U(x,y,z) C, где С - некоторая постоянная, определяет в пространстве уравнение поверхности, во всех точках которой функция U = С. Такие поверхности называют поверхностями уровня или поверхностями равного потенциала. Поскольку силовая функция является однозначной функцией координат, поверхности уровня для различных величин энергии не могут пересекаться и касаться друг друга. Поэтому через каждую точку поля проходит только одна поверхность уровня. При любом перемещении M1M2 вдоль поверхно-

сти уровня U1 U2 C, и работа сил поля, согласно (16.20), равна нулю. Поскольку сила при этом не равна нулю, то в любой точке потенциального силового поля сила направлена по нормали к поверхности уровня, проходящей через эту точку.

Если силы, образующие силовое поле параллельны некоторой плоскости, то силовое поле называется плоским. Для такого силового поля удобно вместо поверхностей уровня рассматривать линии уровня. Изложенное верно и для линий уровня.

На рис. 16.13 показаны две поверхности уровня U(x,y,z C1 и U(x,y,z C2 , пересекающиеся с плоскостью, проходящей через нормальn . Если сила направлена в сторону, показанную на рисунке, то ее работа на пeремещении ВВ' положительна. Согласно (16.20), эта работа равна C2 C1. Следовательно, сила в потенциальном поле направлена в сторону возрастания силовой функции. По определению, работа силы

F1, на перемещении ВВ' и работа силы F2 , на перемещении

DD' одинаковы, так как равны C2 C1. Если DD' ВВ', то

F1 F2 . Следовательно, величина силы в потенциальном поле

251

больше там, где поверхности уровня проходят ближе друг к другу (гуще). Отмеченные свойства поверхностей или линий уровня позволяют наглядно представить картину распределения сил в потенциальном силовом поле с помощью поверхностей или линий уровня. Кроме того, как видно из (16.20), работа потенциальной силы зависит только от того, с какой поверхности (или линии) уровня и на какую перемещается точка.

Изложенное поясняется примерами. 1) Для однородного поля сил тяжести, как видно из формулы (16.22), U const , если z= const. Следовательно, поверхностями уровня являются

горизонтальные плоскости. Сила тяжести		G направлена по
нормали к этим плоскостям в сторону возрастания U и во всех
точках поля постоянна.
2) Для	поля сил тяготения, согласно	формуле (16.24),
r const .	Следовательно, поверхностями	уровня являются

концентрические сферы, центр которых совпадает с центром притягивающего тела. Сила в каждой точке поля направлена по нормали к соответствующей сфере в сторону возрастания U (убывания r), т. е. к центру сферы.

Если в потенциальном силовом поле движется система ма-

териальных	точек, то для каждой точки с координатами
xk , yk , zk ,	можно определить свою силовую функцию

Uk( xk , yk , zk ), позволяющую определить элементарную рабо-

ту силы, действующей на эту точку. Тогда функция координат всех точек системы

U( x1, y1,z1, ,xn , yn ,zn ) Uk( xk , yk ,zk )

будет силовой функцией для рассматриваемой механической системы.

При этом dU dUk и, согласно равенству 16.19), при-

менимому к каждой точки системы,
dU dAk ,	(16.27)

т. е. дифференциал силовой функции системы равен сумме элементарных работ всех действующих на систему сил.

252

16.6. Потенциальная энергия Потенциальное поле сил можно охарактеризовать потен-

циальной энергией, как величиной, характеризующей запас энергии, которую имеет система при расположении ее материальных точек в данных точках силового поля - в данной конфигурации. Чтобы сравнивать между собою эти запасы энергии нужно выбрать нулевую конфигурацию О, в которой запас энергии удобно считать равным нулю. Нулевую конфигурацию, как и всякое начало отсчета, можно выбирать произвольно. Потенциальной энергией системы при расположении материальных точек системы в данной конфигурации М называется скалярная величина П равная работе, которую совершат силы. поля при перемещении материальных точек системы из их положений в конфигурации М в их положения в нулевой конфигурации

A( MO ) .

Из определения следует, что потенциальная энергия П зависит от координат х, у, z точки М, т. е., что П = П (х, у, z).

Будем в дальнейшем считать нулевые конфигурации для функций П(х, у, z) и U(x, у, z) совпадающими. Тогда U0 0 и

по формуле (16.20) A( MO ) U0 U U , где U - значение силовой функции в конфигурации М поля. Отсюда

(x, y, z) U(x, y, z),

т. е. потенциальная энергия в любой конфигурации системы равна величине силовой функции в этой конфигурацию, взятой с обратным знаком.

Отсюда видно, что при рассмотрении всех свойств потенциального силового поля вместо силовой функции можно пользоваться потенциальной энергией. В частности, при определении работы потенциальной силы вместо равенства (16.20)

можно использовать формулу
A( M1M2 ) 1 2 .	(16.28)

253

Следовательно, работа потенциальной силы равна разности значений потенциальной энергии системы в начальном и конечном ее положениях (конфигурациях).

Выражения потенциальной энергии для рассмотренных потенциальных сил можно получить из равенств (16.22) - (16.24), учитывая, что U . Так, для силы тяжести

Gz .

16.7. Закон сохранения механической энергии Пусть все действующие на систему внешние и внутренние

силы потенциальны. Тогда для каждой из точек системы работа этих сил равна Ak k0 k1.

Следовательно, для всех внешних и внутренних сил

Ak k0 k1 0 1,

где k - потенциальная энергия всей системы.

Подставляя это выражение работы в (16.13), получим

T1 T0 0 1 или T1 1 T0 0 const .

Следовательно, при движении точек системы под действием потенциальных сил сумма кинетической и потенциальной энергий системы в каждой ее конфигурации остается постоянной. В этом и состоит закон сохранения механической энергии, являющийся частным случаем общего физического закона сохранения энергии. Величина Т+П называется полной механической энергией системы.

Если среди действующих сил имеются непотенциальные силы, например силы трения, то полная механическая энергия системы во время движения будет убывать, преобразуясь в другие виды энергии, например в тепловую. Значение закона сохранения механической энергии особенно велико при использовании его совместно с общим физическим законом сохранения энергии. При решении же чисто механических задач можно во всех случаях непосредственно пользоваться теоремой об изменении кинетической энергии системы.

254

Рис. 16.15

Пример. Пусть маятник (рис. 16.14) отклонен от вертикали

на угол 0 и отпущен без начальной скорости. Тогда в на-

чальном положении 0 Gz0 и T0 0, где G - сила тяжести

маятника, z - координата его центра тяжести. При отсутствии всех сил сопротивления в любом другом положении будет

T 0 , или Gz 0,5JA 2 Gz0 .

Таким образом, выше положения z0 , центр тяжести маят-

ника подняться не может. При опускании маятника его потенциальная энергия убывает, а кинетическая растет, при подъеме все происходит наоборот.

Из полученного выражения следует, что

2 2G(z0 z)/ JA.

Таким образом, угловая скорость маятника в любой момент времени зависит только от положения его центра тяжести. Такие зависимости характерны только

Рис. 16.14 при движении под действием потенциальных сил.

За счет действия не потенциальных сил трения в оси и сопротивления воздуха полученные выше зависимости не будут выполняться и полная механическая энергия маятника будет постепенно убывать, а его колебания

затухать.

16.8. Задачи для самостоятельного решения

16.8.1. Определить кинетическую энергию механизма эллипсографа, состоящего из кривошипа ОС

массы M , вращающегося вокруг неподвижной оси О с угловой скоростью и приводящего в движение линейку АВ с ползунами А и В, при условии, что OC AC CB l , масса

255

линейки 2M , а массы ползунов А и В равны m1 m2 m

(рис. 16.15).

		16.8.2. Планетарный механизм
		приводится в движение кривоши-
		пом ОА, соединяющим оси трех
		зубчатых колес 1,2 и 3. Колесо 1,
		радиус которого равен r1 , непод-
	Рис. 16.16	вижно; кривошип вращается вокруг
		неподвижной оси О с угловой ско-
		ростью . Массы каждого из колес
		2 и 3 равны M радиус каждого из
		них r , масса кривошипа равна m.
		Вычислить кинетическую энергию
		механизма, считая колеса однород-
		ными дисками, а кривошип - одно-
	Рис. 16.17	родным тонким стержнем, если
		r1 2r (рис. 16.16).

16.8.3. Груз А массой m подвешен к однородному нерастяжимому канату длиной L и погонной массой q. Канат переброшен через блок В, вращающийся вокруг оси О, перпендикулярной к плоскости рисунка. Второй конец

		каната прикреплен к оси катка С, катящегося
		без скольжения по неподвижной горизон-
		тальной плоскости. Блок В и каток С - одно-
		родные	круглые цилиндры радиусом	r	и
		массами	M каждый. Коэффициент трения
		качения катка С о горизонтальную плоскость
		равен f . В начальный момент, когда система
	Рис. 16.18	находилась в покое, с блока В свешивалась
		часть каната длиной l. Определить скорость
	груза А в зависимости от его вертикального перемещения				h
	(рис. 16.17).
	16.8.4. Прямоугольная пластинка ABCD со сторонами a,
	b и массой m вращается вокруг вертикальной оси z			с на-

256

Рис. 16.20

Рис. 16.19

чальной угловой скоростью 0 . Каждый элемент пластинки

испытывает при этом сопротивление воздуха, направление которого перпендикулярно к плоскости пластинки, а величина прямо пропорциональна площади элемента и квадрату его скорости v; коэффициент пропорциональности равен . На какой угол повернется пластинка до того момента, когда ее угловая скорость станет вдвое меньше начальной (рис. 16.18)?

16.8.5. Прямоугольная пластинка со сторонами a и b может вращаться без трения вокруг вертикальной оси АВ, проходящей через ее середину и параллельной стороне b . На конце оси надет шкив С радиусом r , на который намотана гибкая нерастяжимая нить; другой конец нити перекинут через блок D, и к нему привязан груз массой m, приводящий во вращение пластинку. Пренебрегая массами шкива и блока, найти ускорение груза, если масса пластинки равна M и никаких сопротивлений движению нет (рис. 16.19).

16.8.6. На ступенчатый шкив массой M , вращающийся вокруг неподвижной оси О, навернуты канаты, к концам которых подвешены грузы А и В массами m1 и m2 . Предполагая, что на эту систему действуют только силы тяжести, и пренебрегая сопротивлениями, найти ускорения грузов и реакцию в точке О. Радиусы R и r и радиус инерции шкива отно-

сительно оси О известны (рис. 16.20). 16.8.7. Доска массой M , лежит на

двух цилиндрических катках радиусом r и массой m каждый. Вся система движется под действием заданной горизонтальной силы F , приложенной к доске; при этом пред-

полагается, что катки катятся без скольжения и что скорость доски равна скорости катка в точке А. Найти ускорение доски

257

иобщую силу трения в точках А и В (рис. 16.21).

16.8.8.Чтобы затащить от подножия на горку санки массой m= 5 кг, прикладывая силу

		вдоль поверхности горки, необ-
	Рис. 16.21	ходимо совершить работу не ни
		же A= 480 Дж. С какой скоро-

стью достигнет подножия горки груз на санках, если он съедет с горки без начальной скорости по кратчайшему пути? Угол наклона поверхности горки к горизонту arctg0,2. Коэффициент трения скольжения санок о горку 0,1.

16.8.9. Тело массой m = 200 г вращается в горизонтальной плоскости по окружности радиуса r = 0,5 м с частотой1 3обс. Какую работу нужно совершить, чтобы увеличить частоту вращения до 2 5обс.

16.8.10.Тело массы m двигалось по горизонтальной прямой со скоростью v . После действия некоторой силы оно стало двигаться со скоростью -2v . Найти модуль, направление и работу этой силы, если время ее действия равно t.

16.8.11.Тело массой m движется по горизонтальной прямой со скоростью v . После действия некоторой силы оно стало двигаться под прямым углом к начальной траектории с той же по модулю скоростью. Найти модуль этой силы и совер-

		шенную силой работу, если время
		действия силы равно t.
		16.8.12.	Небольшая шайба А
		скользит без начальной скорости с
		вершины гладкой горки высотой Н,
		имеющий горизонтальный трамплин
	Рис. 16.22	(рис. 16.22). При какой высоте трам-
		плина h0	шайба пролетит наиболь-
	шее расстояние x? Чему оно равно?

16.8.13. Шар радиусом R= 0.9 м покоится на поверхности земли. С верхней точки шара скользит из состояния покоя те-

258

Рис. 16.24

Рис. 16.23

ло, размеры которого много меньше размеров шара. На какой высоте над поверхностью земли тело отделиться от шара (рис. 16.23)?

16.8.14. Небольшое тело соскальзывает по наклонной плоскости переходящей в «мертвую петлю», с высоты H0 2R, где R - радиус петли. На ка-

кой высоте h тело оторвется от поверхности петли? С какой высоты H должно скатываться тело, для того, чтобы отрыва не произошло (рис. 16.24)?

16.8.15. Шарику, подвешенному на нити длиной l= 1 м, сообщили скорость v0 = 6 м/с. На какой высоте нить ослабнет,

и шарик перестанет двигаться по окружности? Какую скорость будет иметь шарик в этот момент?

16.16. Самолёт массой m = 5 т двигался горизонтально со скоростью v1= 360 км/час. Затем он увеличил высоту наh = 2 км, а его скорость стала v2 = 200 км/час. Найти работу, затраченную мотором на подъём самолёта.

259