Учебное пособие 800360

Глава 17. ПРИЛОЖЕНИЯ ОБЩИХ ТЕОРЕМ МЕХАНИКИ К ТЕОРИИ УДАРА

17.1. Основное уравнение теории удара При движении тела под действием сил, рассматривавших-

ся выше, скорости точек тела изменяются непрерывно, т. е. любому бесконечно малому промежутку времени соответствует бесконечно малое приращение скорости. Действительно, если импульс некоторой силы Fk за промежуток времени

~ ~

представить в виде Fk , где Fk - средний вектор этой силы за время , то согласно теореме об изменении импульса точки, на которую действуют силы Fk ,

~ m(v1 v0 ) Fk .

Здесь v1 и v0 - скорости тела после и до удара.

~

Пусть v - средняя скорость точки за время удара. Если время удара стремится к нулю, то при обычных (конечных)

			~
силах и приращение скорости v	v1	v0	a будет тоже

стремиться к нулю.

Если среди действующих сил будут очень большие силы, имеющие порядок 1/ , то приращение скорости за малый промежуток времени станет конечным.

Явление, при котором скорости точек тела за очень малый промежуток времени изменяются на конечную величину, называется ударом.

Силы, под действием которых происходит удар, называются ударными силами Fu .

Малый промежуток времени , в течение которого происходит удар, называется временем удара.

Так как ударные силы очень велики и значительно изменяются за время удара, то в теории удара взаимодействие тел оценивают не ударными силами, а их импульсами, называемыми ударными импульсами.

260

Ударный импульс силы

~

pu Fudt Fu

0

является конечной величиной. Импульсы прочих сил за времяобычно очень малы и ими, обычно, пренебрегают.

Пусть v и u - скорости точки в начале и в конце удара. Тогда теорема об изменении импульса точки при ударе примет вид

m(u v ) puk ,

(17.1)

т. е. изменение импульса материальной точки за время удара равно сумме действующих на материальную точку ударных импульсов.

Уравнение (17.1) является основным уравнением теории удара. Его значение в теории удара так же велико, как велико значение основного закона динамики (второго закона Ньюто-

на) в изучении обычных движений.

~

Поскольку перемещение точки за время удара, равное v , является очень малым, им также можно пренебречь.

Из полученных результатов следует, что:

1)действием неударных сил, таких, например, как сила тяжести, трения и других за время удара можно пренебречь;

2)перемещениями точек тела за время удара можно пренебречь и считать тела во время удара неподвижными;

3)изменения скоростей точек тела за время удара определяются основным уравнением теории удара (17.1).

Поскольку при описании ударных явлений импульсы неударных сил не учитываются, далее импульсы ударных сил и

ударные силы обозначаются прежними символами p и F .

17.2. Общие теоремы теории удара Эти теоремы являются следствиями из общих теорем ди-

намики для удара в системе материальных точек.

261

17.2.1. Теорема об изменении импульса системы при ударе Полученное в гл. 14 уравнение (14.5)

L1 L0 Fkedt ,

0

применимо и для удара. Здесь L1 и L0 - суммарные импульсы

системы тел после и до удара; Fke - внешние для системы си-

лы. Так как импульсы обычных сил при ударе не учитывают,

то в правую часть включают только ударные импульсы – им-

пульсы ударных внешних сил Fke . Поэтому

L1 L0		Fkedt pke ,		(17.2)
		0

т. е. изменение импульса системы за время удара равно сумме всех внешних ударных импульсов pke сил, действующих на

системy.

В проекциях на ось х

L1x L0x pkxe .

(17.3)

Если сумма всех векторов внешних ударных импульсов равна нулю, то, как видно из (17.2), импульс системы за время удара не изменится.

Следовательно, внутренние ударные импульсы не могут изменить импульс всей системы.

17.2.2. Теорема об изменении главного момента импульса системы (теорема моментов) при ударе

Пусть система, состоит из n материальных точек, а pke и pki - равнодействующие внешних и внутренних ударных им-

пульсов, действующих на точку с массой mk . Тогда, согласно

(17.1), для этой точки

mk(uk vk ) pke pki

или

262

mkuk mkvk pke pki .

Входящие в это равенство векторы определены для точки, остающейся неподвижной за время удара. Тогда, моменты этих векторов относительно какого - либо центра О, по теореме Вариньона, верной для моментов любых векторов, будут равны

									).
m (m u		) m (m v ) m ( pe ) m ( pi
o	k k		o	k k	o	k	o	k

Складывая такие же равенства для всех точек системы,

получим

mo(mkuk ) mo(mkvk ) mo( pke ) mo( pki ).

Пусть K1 и K0 -суммы, стоящие слева, то есть главные

моменты импульса системы относительно центра О после и до удара. Стоящая справа сумма моментов ударных импульсов внутренних сил равна нулю. Поэтому

K		K				(17.4)
	1		o	m ( pe ),
				o	k

т. е. за время удара изменение главного момента импульса системы относительно какоголибо центра равно сумме моментов относительно того же центра всех действующих на систему внешних ударных импульсов.

Теорема (17.4) может быть получена на основе доказанной выше теоремы 15.2 об изменении главного момента импульса для системы

	dK		e
		mo	( Fk	),
	dt

где K и mo( Fke ) - главный суммарные момент импульса сис-

темы и момент силы Fke относительно неподвижной точки О.

Интегрируя это выражение в течение времени удара , и учитывая, что плечи сил за время удара не изменяются, поскольку точки и тела системы за время удара не перемещаются, получим

				e			e	dt )
K1 K0 mo				(Fk	)dt mo	( Fk
		0				0

263

							e
	~e			~e
mo	(Fk	) mo		(Fk	) mo		(pk ).

Проецируя (20.4) на ось х получаем

K	1x	K	ox	m	( pe ).	(17.5)
				x	k

Из этих соотношений следует, что если сумма моментов внешних ударных импульсов относительно какого - либо центра (или оси) равна, нулю, то главный момент импульса системы относительно этого центра (или оси) за время удара не изменяется.

Следовательно, внутренние ударные импульсы не могут изменить главный момент импульса системы.

Теорема об изменении кинетической энергии для решения основной задачи динамики в теории удара не применяется, так как точки тел за время удара считаются неподвижными и поэтому работы всех приложенных к системе сил равны нулю;

вместо самих ударных сил рассматриваются их ударные импульсы.

Поскольку ударные силы велики, а перемещения за время удара очень малы, определить работу ударных сил непосредственно по силе и перемещению нельзя. Работу этих сил оценивают только по изменению кинетической энергии системы тел за время удара.

17.3. Коэффициент восстановления при ударе Величина ударного импульса, возникающего при соуда-

рении двух тел, зависит не только от их импульсов до удара, но и от свойств соударяющихся тел, в основном от их упругости. Проявление этих свойств при ударе характеризуются коэффициентом восстановления.

Рассмотрим прямой удар вертикально поступательно падающего шара о неподвижную, горизонтальную жесткую плиту (рис. 17.1). При таком ударе можно различить две стадии. На первой стадии скорости частиц шара, равные в начале удара v , убывают до нуля. Шар при этом деформируется и вся его

начальная кинетическая энергия, равная 0,5Mv2 , переходит в его внутреннюю потенциальную энергию деформирования. На

264

Рис. 17.2

Рис. 17.1

второй стадии удара шар и плита под действием внутренних сил упругости, возникающих в них, восстанавливает свою форму. При этом внутренняя потенциальная энергия деформирования шара переходит в кинетическую энергию движения его частиц, если не учитывать перемещение плиты. В конце удара скорости частиц будут равны u, а кинетическая энергия шара -

0,5Mu2 . Однако, часть механической энергии шара тратится на нагревание шара и плиты и сообщение им остаточных деформаций. Поэтому скорость u будет меньше v .

Величина k, равная отношению модуля скорости тела в конце прямого удара тела о неподвижную преграду к модулю скорости

тела в начале удара, называется коэффициентом восстановления при ударе

k u / v.

(17.6)

Величины коэффициента восстановления для разных тел определяется опытным путем. По данным экспериментов при изменении скорости v не в очень больших пределах, величина k зависит только от материалов соударяющихся тел.

В качестве предельных случаев рассматривают абсолютно упругий удар (k =1), при котором механическая энергия тела после удара полностью сохраняется, и абсолютно неупругий удар (k = 0), когда удар заканчивается на первой стадии и вся механическая энергия тела затрачива-

ется на его деформирование и нагревание.

Экспериментально величину k можно найти, если рассмотреть шар, свободно падающий на плиту с известной высоты Н, и определить с помощью линейки (рис. 17.2) высоту его подъема h после удара. При этом не учитывается сопротивления воздуха, уменьшающее расчетную величину k. Для этого по известным формулам определяются скорости шара перед

265

ударом v

2gH и после удара u 2gh. Тогда коэффици-

ент восстановления

ku / v h/ H 1.

Втаблице 1 приведены значения коэффициента восстановления для некоторых материалов, при скоростях соударения около 3 м/c.

	Таблица 1
Материалы соударяющихся тел		k
Дерево о дерево		1/2
Сталь о сталь		5/9
Слоновая кость о слоновую		8/9
кость
Стекло о стекло		15/16

Как видно из таблицы, чем выше твердость соударяющихся тел, тем выше и ближе к 1 коэффициент восстановления при ударе.

17.4. Удар тела о неподвижную преграду Пусть тело (шар) массы М, ударяется о неподвижную плиту.

Действующей на тело ударной силой будет реакция плиты. Пусть импульс этой силы за время удара равен S, а нормаль к поверхности тела в точке его касания с плитой проходит через центр масс тела. Для шара это условие будет выполняться всегда. Такой удар тела называется центральным. Если скорость v центра масс тела в начале удара направлена вдоль нормали n к плите, то удар будет прямым. В противном случае удар называется косым.

17.4.1. Прямой удар Составляя в этом случае уравнение (17.3) в проекциях на

нормаль n (см. рис. 17.1) с учетом того, что p0 Mv , а p1 Mu , получим

p1n p0n Mun Mvn M(un vn ) pn .

266

При прямом ударе un u , vn v , pn p. Следователь-

но, M(u v) p.

Второе уравнение, необходимое для решения задачи u kv , дает равенство (17.6).

Из полученных уравнений, зная М, v, k, найдем неизвестные величины u и p. При этом p M(k 1)v.

Как видно, ударный импульс будет тем больше, чем больше коэффициент восстановления k. На эту зависимость p от k и было указано в 17.3.

Для определения средней величины ударной силы (реакции) необходимо дополнительно знать время удара , которое надежно можно найти только экспериментально.

	Пример. При падении стального шара массой М= 1 кг с
высоты Н=				З м на стальную плиту (k= 5/9) получим
v					7,7 м/с u kv 4,3 м/с.
		2gH		2 9,81 3
	Ударный импульс будет равен
				p Mv(1 k ) 1,2 кг*м/с.
	Если время удара = 0,0005 с, то средняя величина удар-

~

ной реакции N p / 1,2 / 0,0005 2400 Н.

17.4.2. Косой удар Косой удар происходит если нор-

маль к поверхности ударяющегося тела

вточке начального касания не проходит через центр масс этого тела. Пусть в этом случае скорость v центра масс тела

вначале удара образует с нормалью к плите угол , а скорость u после удара - угол (рис. 17.3). Тогда уравнения

Рис. 17.3	(17.2) в проекциях на касательную и
	нормаль n примут вид
M(u	v ) 0 , M(un vn ) p.

267

Рис. 17.4

Так как в данном случае влияние трения не учитывается, ударные силы направлены вдоль нормали к поверхности и, коэффициент восстановления равен отношению модулей проекций скоростей после и до удара vn и un . Тогда с учетом зна-

ков проекций получим un kvn . В итоге получается

u v , un kvn , p M vn(1 k ).

Из полученных уравнений можно найти модуль и направление скорости в конце удара и ударный импульс, если известны величины М, v, k и . Поскольку v vn tg , а

u un tg , из первого равенства получаем

un tg vn tg ,

откуда

k un tg . vn tg

Следовательно, при косом ударе отношение тангенса угла падения к тангенсу угла отражения равно коэффициенту восстановления. Так как k 1, то , т. е. угол падения всегда меньше угла отражения .

17.5. Прямой центральный удар двух тел (удар шаров) При соударении двух тел

удар называется прямым и центральным, когда общая нормаль к поверхностям тел в точке касания проходит через их центры масс и когда скорости центров масс в начале удара направлены по этой общей нормали. Таким, в частности, будет удар двух однородных

шаров, центры которых до удара движутся вдоль одной и той же прямой.

268

Пусть массы соударяющихся тел равны M1, и M2 , а ско-

рости их центров масс в начале удара v1 и v2 , а в конце удара u1 и u2 , Пусть координатная ось С1х проходит через центры масс С1, С2 и направлена всегда от С1 к С2 (рис. 17.4). Удар может произойти только при v1x v2x , иначе первое тело не догонит второе. Кроме того, должно выполняться неравенство u1x u2x , так как ударившее тело не может опередить ударяе-

мое.

Считая шары системой, а M1 , M2 , v1x , v2x и k известными, для определения u1x и u2x используем теорему об из-

менении импульса для соударяющихся тел. Тогда ударные силы, действующие между телами, станут внутренними, и

pke 0 .

Уравнение (17.3) дает Q1x Q0x	или
M1u1x M2u2x M1v1x	M2v2x .	(17.7)

Второе уравнение получим из выражения для коэффициента восстановления. При соударении двух тел интенсивность удара (ударный импульс) зависит не от абсолютного значения скорости каждого из тел, а от того, насколько скорость ударяющего тела превышает скорость ударяемого, т. е. от разно-

	сти v1x v2x . Поскольку всегда v1x							v2x , а		u1x u2x , при
	ударе двух тел получается
		u1x	u2x				u1x	u2x
	k									(17.8)
		v1x	v2x				v1x	v2x
	или
	u1x u2x k(v1x v2x ).									(17.9)

Система уравнений (17.7) и (17.8) позволяет решить задачу об ударе двух тел. Ударный импульс, действующий на соударяющиеся тела, найдем, из уравнения (17.3), составленного для какого - либо из тел, например для первого. Тогда

p1x M1(u1x v1x ), p2x p1x. (17.10)

269