Учебное пособие 800360

Рассмотрим два предельных случая.

а) Абсолютно неупругий удар (k= 0). В этом случае из

(17.6) и (17.5) следует

u1x u2x (M1v1x M2v2x )/(M1 M2 ), (17.11)

то есть, оба тела после абсолютно неупругого удара движутся с одной и той же скоростью.

Действующий на тела ударный импульс равен p2x p1x M1 M2(v1x v2x )/(M1 M2 ).

б) Абсолютно упругий удар (k=1). В этом случае из уравнений (17.7) и (17.8) получается

u1x v1x 2M2(v1x v2x )/(M1 M2 ), (17.12) u2x v2x 2M1(v1x v2x )/(M1 M2 ).

Действующий на тела ударный импульс равен p2x p1x 2M1 M2(v1x v2x )/(M1 M2 ).

Как видно, при абсолютно упругом ударе ударный импульс вдвое больше, чем при абсолютно неупругом.

В частном случае, когда М1= М2 получаем из уравнений

(17.12) u1x v2x и u2x v1x . Таким образом, два тела одинаковой массы при абсолютно упругом ударе обмениваются скоростями.

Задача 17.1. Два шара масс М1 и М2, подвешены согласно рис. 17.5. Первый шар отклоняют на угол и отпускают без начальной скорости. После удара второй шар отклоняется

на угол . Найти коэффициент вос-

Рис. 17.5

становления для шаров при ударе. Решение. По данным задачи можно определить скорость

v1 , центра первого шара в начале удара и скорость u2 центра второго шара после удара. Из теоремы об изменении кинети-

270

ческой энергии на перемещении В0В1, для первого шара находим

0,5M1v12 M1gh M1gl(1 cos ),

где l - расстояние центра первого шара от точки подвеса. Отсюда

v1 2gl(1 cos ) 2gl sin0,5 .

Аналогично определяется

u2 2gl(1 cos ) 2gl sin0,5 .

Так как в данном случае v2 = 0, уравнения (17.7) и (17.8) дают

M1u1x M2u2x M1v1x , u2x u1x kv1x .

Исключая из этих уравнений u1x , с учетом очевидных равенств v1x v1 и u2x u2, получаем

M1v1(1 k ) (M1 M2 )u2.

Отсюда следует

k	(M1 M2 )u2	1	(M1 M2 )sin0,5	1.
	M1v1
			M1 sin0,5

17.6. Потери кинетической энергии при неупругом ударе двух тел. Теорема Карно

Из изложенного в 17.3, следует, что при неупругом ударе происходит уменьшение кинетической энергии соударяющихся тел. Наибольшее количество энергии теряется при абсолютно неупругом ударе.

Пусть соударяющиеся тела движутся поступательно, а их общая скорость после абсолютно неупругого удара равна u. Кинетические энергии системы в начале и в конце удара равны

T	0,5(M	v2	M	2	v	2	), T 0,5(M	1	M	2	)u	2 .	(17.13)
0		1 1x				2x	1					x

Потерянная при ударе кинетическая энергия равна разно-

сти

T0 — Т1 = Т0 — 2Т1+ Т1.

(17.14)

Из формулы (17.11) следует, что

271

(M1 M2 )ux M1v1x M2v2x .

Тогда

2T

(M

1

M

2

)u2

(M

1

v

M

2

v

2x

)u

x

.

(17.15)

1

x

1x

Подставляя в правую часть (17.14) Т0

и Т1, из (17.13), а

вместо 2Т1 - правую часть (17.15), получим

T

T

0,5(M

v2

M

2

v

2

2M

v

u

x

0

1

1 1x

2x

1 1x

2M

2

v

2x

u

x

M u

2

M

2

u2

),

или

1

x

x

T

T

0,5M

1

(v

u

x

)2 0,5M

2

(v

2x

u

x

)2 .

(17.16)

0

1

1x

Разности v1x ux v1 u и v2x ux v2 u определяют уменьшение скорости каждого из соударяющихся тел за счет удара и называются потерянными при ударе скоростями. Тогда из формулы (17.16) вытекает следующая терема Л. Карно: кинетическая энергия, потерянная системой тел при абсолютно неупругом ударе, равна той кинетической энергии, которую имела бы система, если бы ее тела двигались с потерянными скоростями.

Если удар не является абсолютно неупругим, то k 0 и u1x u2x . Аналогичными преобразованиями можно устано-

вить, что кинетическая энергия, потерянная при не абсолютно неупругом ударе двух тел, равна

T0 T1		1	k	0,5 M1(v1x	u1x )2	M2(v2x	u2x )2 . (17.17)
		1	k

Рассмотрим частный случай абсолютно неупругого удара по первоначально неподвижному телу. В этом случае v2 = 0 и

T0 0,5M1v12 , u M1v1 /(M1 M2 ).

Тогда T1 0,5(M1 M2 )u2 0,5M12v12 /(M1

	M	1		M v2
M2 )				1	1	,
	M1 M2		2

или

272

T1 M1T0 /(M1 M2 ).

(17.18)

Формула (17.14) показывает, какая часть начальной энергии системы остается у системы после удара.

Рассмотрим два предельных случая.

а) Масса ударяющего тела много больше массы ударяемого M1 M2. В этом случае можно считать M1 M2 M1 и

из (20.18) следует T1 T0 . Следовательно, не смотря на абсо-

лютно неупругий удар, кинетическая энергия при ударе почти не теряется и система после удара имеет почти ту же кинетическую энергию, которую она имела до удара.

На практике такой результат нужно, очевидно, получать при забивании гвоздей, свай и т. п. Следовательно, в этом случае нужно, чтобы масса молотка была намного больше массы гвоздя

(рис. 17.6, а).

б) Масса ударяемого тела много больше массы ударяющего

Рис. 17.6	(M1 M2 ). В этом случае мож-
	но считать

M1 /(M1 M2 ) 0 ,

и формула (17.18) дает Т1= 0. В данном случае при ударе почти вся кинетическая энергия расходуется на деформации соударяющихся тел и по окончании удара тела можно считать неподвижными.

Такой результат надо, очевидно, получать при ковке, клепке и т. п. Для достижения наибольшего эффекта, в этих случаях нужно, чтобы масса поковки вместе с наковальней (или масса заклепки вместе с поддержкой) была много больше массы молота (рис. 17.6, б).

17.7. Удар по вращающемуся телу Рассмотрим тело, имеющее неподвижную ось вращения z

273

Рис. 17.8

(рис. 17.7). Пусть в некоторый момент времени к телу при-

	ложен ударный импульс S. Тогда из
	уравнения (17.5) следует
	K1z Koz mz( p),
	так как моменты относительно оси z
	импульсных реакций RA и RB , воз-
	никающих в подшипниках, будут
	равны нулю. Если в начале удара
Рис. 17.7	тело имело угловую скорость 0 , а
	в конце удара его угловая скорость

стала равна 1 , то K0z Jz 0 , K1z Jz 1,
Jz( 1 o ) mz( p)	(17.19)
или
1 o mz( p )/ Jz .	(17.20)

Эта формула определяет изменение угловой скорости тела при ударе. Из нее следует, что угловая скорость тела за время удара изменяется на величину, равную отношению момента ударного импульса к моменту инерции тела относительно оси вращения.

17.7.1. Импульсные реакции

Пусть оси системы координат Axyz таковы, что скорость центра масс С параллельна оси Ах (рис. 17.8, а). Тогда центр масс С тела расположится в плоскости Ayz. Разложим искомые импульсные реакции RA и RB на составляющие вдоль этих осей.

274

Пусть АВ= b, а расстояние точки С от оси Az равно а. Составим уравнения (17.3) в проекциях на все оси, а уравнения (17.5) в проекциях на оси Ах и Ау (уравнение в проекциях на ось Аz уже использовано при получении равенства (17.19)). Поскольку тело за время удара не перемещается, векторы vC и

uC будут параллельны оси Ах. Следовательно,

L0x MvC Ma 0 , L1x MuC Ma 1, Ly Lz 0.

Используя одновременно при составлении уравнений (17.5) формулы Kx Jxz и Ky Jyz , получим

Ma( 1 0 ) RAx RBx px ,

0 RAy RBy py ,
0 RAz RBz,	(17.21)

Jxz( 1 0 ) RByb mx( p),

Jyz( 1 0 ) RBxb my( p).

Эти уравнения применяются для определения неизвестных импульсных реакций RAx , RAy RAz, RBx и RBy. Входя-

щая в (17.21) разность угловых скоростей 1 0 , определя-

ется из (17.19).

17.7.2. Центр удара Появление при ударе импульсных реакций в некоторых

случаях нежелательно. Во многих случаях импульсные реакции желательно максимально уменьшить. Можно ли точку приложения и направление ударного импульса подобрать так, чтобы импульсные реакции не возникли? Для этого положим в уравнениях (17.21) RA RB 0. При этом 2- 3 уравнения сис-

темы (17.21) дадут py pz 0, то есть направление ударного

импульса должно быть перпендикулярно плоскости Аyz, проходящей через ось вращения и центр масс тела. Пусть импульс p имеет такое направление (рис. 17.8, б).

275

Поскольку при RA RB 0 вид системы (17.21) не зависит от выбора на оси Az начала координат, то есть не зависит от a и b, для упрощения дальнейших действий расположим плоскость Оху так, чтобы вектор ударного импульса p лежал

в этой плоскости. Тогда mx( p) my( p) 0 и последние два

уравнения системы (17.21) дадут Jxz Jyz 0 . Это означает,

что плоскость Оху, в которой лежит импульс p, должна проходить через такую точку О, для которой ось z является главной осью инерции тела.

В частности,	как показано в 12.5, условия Jxz	Jyz 0
	будут выполняться, если плос-
	кость Оху будет для тела плос-
	костью симметрии.
	Поскольку RA RB 0 и
	px p (см. рис. 17.8, б), пер-
	вое из уравнений (17.21) при-
	нимает вид
Рис. 17.9	Ma( 1 0 ) p .	(а)
Так как в данном случае mz( p) ph, из уравнения
(17.19) следует,	Jz( 1 o ) ph.	(б)
Исключая из соотношений (а) и (б) разность 1		o , на-
ходим	h Jz / Ma.
		(17.22)

По этой формуле определяется расстояние h от оси вращения z, на котором должен быть приложен ударный импульс.

Следовательно, для того чтобы при ударе по телу, закрепленному на оси z, в точках закрепления этой оси не возникло импульсных реакций, необходимо чтобы:

1) ударный импульс был расположен в плоскости Оху, перпендикулярной к оси вращения z и проходящей через такую точку О тела, для которой ось z является главной осью

276

инерции (в частности, плоскость Оху может быть плоскостью симметрии тела);

2) удар был направлен перпендикулярно к плоскости, проходящей через ось вращения и центр масс С тела;

3) ударный импульс был приложен на расстоянии h Jz / Ma от оси z по ту сторону от оси, где находится центр масс.

Точка К, через которую должен при этих условиях проходить ударный импульс, не вызывающий ударных реакций в точках закрепления оси, называется центром удара.

По теореме Гюйгенса Jz JC Ma2 . Следовательно, h a JC / Ma a и расстояние от оси вращения до центра

удара больше, чем до центра масс.

Если ось вращения проходит через центр масс тела, то а = О, и h . В этом случае центра удара на конечном расстоянии не существует, и любой удар по телу будет передаваться на ось.

Важность полученных результатов видна из следующих примеров:

1.При конструировании вращающегося курка (см. задачу

1)или маятникового копра - прибора в виде маятника, применяемого для испытания материалов на удар, и т. п. надо ось вращения располагать так, чтобы точка тела, производящая удар, была по отношению к этой оси центром удара.

2.При работе ручным молотом его надо брать за рукоятку в таком месте, чтобы точка, которой производится удар, была относительно руки центром удара. В противном случае рука будет получать быстрый и сильный удар от рукоятки.

3.При ударе палкой, чтобы не получить сильный удар по руке (рис. 17.9), надо ударять тем местом, которое по отношению к месту удержания палки рукой будет центром удара. Если палку считать однородным стержнем длины l, а ось враще-

ния совпадающей с его концом, то тогда a l / 2. Jz Ml2 / 3

и h Jz / Ma 2l / 3.

277

Рис. 17.10

Следовательно, в случае, изображенном на рис. 17.9, удар надо производить тем местом стержня, которое находится на расстоянии 2l / 3 от руки или на расстоянии l / 3 от другого конца стержня.

Задача 17.1. Вращающийся курок AD в момент начала удара по ударнику В (рис. 17.10) имеет угловую скорость 0 .

Определить скорость ударника в конце удара и импульсное давление на ось А. Массы М и m курка и ударника, момент инерций JA курка относительно оси А и расстояния a и b известны. Центр масс курка находится в точке С.

Решение. Обозначим ударные импульсы, действующие на курок и ударник при ударе через S1 и S2.

Тогда, учитывая, что S1 S2 S , а vB 0, из уравнения (17.15) для курка и из уравнения (17.3) для ударника, получим

JA( 1 0 ) Sb , muB S . (а)

Момент Sbвзят со знаком минус потому, что этот момент направлен противоположно направлению вращения курка. Пусть vD и uD - скорости точки D до и после удара. Очевидно, что vD 0b и uD 1b. По формуле (17.8), определяющей коэф-

фициентвосстановленияпри прямом ударе двухтел,определяем uD uB k(vD vB ) или 1b uB k 0b.

Подставляя сюда 1 и S из уравнений (а), найдем скорость ударника в конце удара

uB JA(1 k ) 0 /( JA mb2 ).

Для определения импульсной реакции RA оси на курок, составляем уравнение (17.2) в проекциях на оси Ах и Ау. Учитывая, что

278

L0x MvCx M 0a L1x MuCx M 1a

получим	RAy 0.
Ma( 1 0 ) S RAx ,		(б)
Из уравнений (а) получаем

S muB , 1 0 mbuB / JA.

Подставляя эти величины в равенство (б), получим

RAx ( JA Mab)mb(1 k ) 0 /( JA mb2 ).

Отсюда видно, что если b JA / Ma, то точка D является центром удара и величина RAx =О. При Mab JA RAx 0, т. е.

импульсное давление на курок направлено влево, а давление на ось - вправо. При Mab JA давление на ось направлено влево.

17.8.Задачи для самостоятельного решения

17.8.1.Мяч массой m отпустили на высоте H над полом. Какую часть энергии потерял мяч при ударе, если между первым и вторым ударами прошло время t ?

17.8.2.По рельсам катится массивная тележка с постоян-

ной скоростью v0 . Летящий вслед за тележкой горизонтально

со скоростью v мяч массой m упруго ударяется о тележку. Найти скорость мяча после удара.

17.8.3.Шарик, падающий вертикально со скоростью v= 4 м/с, ударяется о горизонтальную платформу, движущуюся горизонтально со скоростью u= 3 м/с. Определить скорость движения шарика после удара и её направление относительно платформы. Удар абсолютно упругий.

17.8.4.Два тела с одинаковыми массами m движутся навстречу друг другу во взаимно перпендикулярных направлениях со ско-

ростями v1 и v2 . В результате соударения тела слипаются. Определитьпотеримеханическойэнергиисистемызавремяудара.

17.8.5. Свинцовый шар массой m1 = 500 г, движущийся со скоростью v= 10 м/с, соударяется с подвижным шаром из вос-

279