2.7. Центр удара

Е сли по твердому телу, которое может вращаться вокруг неподвижной оси, произвести удар, приложив ударный импульс , то при выполнении некоторых условий не возникнет ударных реакций в подшипниках оси вращения. Получим эти условия.

П

Рис. 27

усть твердое тело с неподвижной осью , по которой направлена координатная ось , имеет до удара угловую скорость (рис. 27). К телу приложен ударный импульс ; угловая скорость изменяется и становится равной . Освободив тело от связей и заменив их импульсами реакций и , применим к явлению удара теоремы об изменении количества движения и кинетического момента. Имеем

, (132)

где , – количество движения и кинетический момент после удара, а – соответственно те же величины перед ударом. Скорости точек при вращении тела вычисляем по формуле Эйлера:

.

Следовательно, количество движения

где – масса тела; – радиус-вектор центра масс. Так как и направлены по оси вращения, то

. (133)

Проекции кинетического момента на оси координат можно определить по формулам для тела, имеющего одну закрепленную точку, но при условии, что и . Имеем:

,

,

.

Используя эти формулы, получим:

,

, (134)

.

Проецируя (132) на оси координат и учитывая (133) и (134) получаем:

. (135)

Из системы уравнений (135) определяем импульсы реакций и изменение угловой скорости при ударе для заданного тела и внешнего ударного импульса .

Определим условия, при которых удар по телу не вызывает ударных реакций в подшипниках, т.е. когда . Из системы уравнений (135) в этом случае получаем:

. (136)

Из соотношений (136) следует: так как , то ударный импульс находится в плоскости, параллельной . Выберем начало координат на оси вращения так, чтобы импульс лежал в плоскости , а координатную ось направим параллельно . Тогда ударный импульс пересечет ось в точке . При таком выборе начала координатой осей , , , , так как параллелен и пересекает .

Учитывая это, из условий (136) получаем из второго уравнения , из четвертого , из пятого , т.е. центр масс находится в плоскости и ось вращения является главной осью инерции для точки . Так как ударный импульс параллелен оси , то, следовательно, он перпендикулярен плоскости , проходящей через ось вращения и центр масс.

Если ввести длину , то при направлении в положительную сторону оси . С учетом этого, исключая из первого и шестого уравнений (136), получаем

. (137)

При сделанном выборе осей координат – расстояние от оси вращения до центра масс. Если его обозначить , то .

Получена формула, по которой вычисляется приведенная длина физического маятника.

Точка пересечения линии действия ударного импульса с плоскостью, проходящей через ось вращения и центр масс при отсутствии ударных реакций в подшипниках, называется центром удара. Любой по числовой величине ударный импульс , линия действия которого проходит через точку перпендикулярно плоскости, содержащей ось вращения и центр масс, не вызывает ударных реакций в подшипниках; если ось вращения является главной осью инерции для точки – точки пересечения оси вращения с перпендикулярной плоскостью, содержащей ударный импульс ; если расстояние от оси вращения до линии действия ударного импульса равно приведенной длине физического маятника; если центр удара и центр масс лежит по одну сторону от оси вращения.

Если центр масс находится на оси вращения, то и расстояние от оси вращения до центра удара равно бесконечности. В этом случае центра удара не существует.

Так как для_ центра масс, находящегося на оси вращения, , то и из первого уравнения (132) получаем

,

откуда

,

т.е. ударный импульс, приложенный к телу, целиком передается на подшипники.