Враховуючи (3.3) отримуємо:

X − X

S

=

Z − ZS

x

t

=

Z − ZS

×

x − yκ + fα

,

f

f

xα + yω − f

(3.10)

Z − ZS

Z − ZS

xκ + y + fω

Y − Y =

y

t

=

×

.

S

f

f

xα + yω − f

Звідси знайдемо залежності між координатами трансформованого і планового знімків:

xt

yt

= − f x − yκ + fα , xα + yω − f

	(3.11)
= − f	xκ + y + fω	.
	xα + yω − f

Перетворимо ці вирази:

					x		y	−1
x		= − f (x − yκ + fα)(xα + yω − f )−1	= (x − yκ + fα) 1	−		α −		ω .
t					f		f
	Враховуючи, відому з		курсу математики				залежність

(1−ε)−1 =1+ε +ε2 +L, отримуємо:

x

y

x2

xy

x

= (x + fα − yκ) 1

+

α +

ω

= x + f +

α +

ω − yκ.

t

f

f

f

f

Аналогічно:

xy

y

2

yt = y +

α + f

+

ω + xκ.

f

f

3.5. Масштаб аерознімків

(3.12)

(3.13)

Як уже з’ясовано, масштаб аерознімків не є сталою величиною. Тому, у фотограмметрії прийнято розглядати декілька масштабів, а саме – масштаб трансформованого знімка і наближеного до нього планового знімка, а також масштаб перспективних знімків. Безумовно простіше визначити масштаб планового знімка. З метою визначення цього масштабу як функції від заданих елементів орієнтування, якими є фактична віддаль камери – f та істинна висота фотографування, позначимо її літерами Н, скористаємось рисунком 3.4.

64

S

o a

O A

Рис. 3.4.

У цьому випадку маємо систему координат трансформованого знімка (оХУ)р з центром проекції в точці S. Точка а – довільна точка знімка. Виходячи із загального визначення масштабу, можна записати:

1	=	oa	.	(3.14)
m
		OA

Далі розглянемо трикутники Soa і SOA. По-перше, ці трикутники прямокутні, по-друге, вони мають спільний кут з вершиною S. У такому разі, ці трикутники подібні. Якщо це так, тоді правдива рівність:

oa	=	S0	.	(3.15)
OA
		SO

Але So = f, а SO = Ht. Таким чином, масштаб трансформованого і планового знімків визначає залежність:

1	=	f	,	(3.16)
m		H t

або

(3.17)

mf = H t .

Так як ми взяли довільну точку знімка, то отримані формули стосуються будь-яких інших точок знімка, що мають істинну висоту.

Тобто можна рахувати, що для рівнинної місцевості знімок має постійний масштаб.

Більш складніше визначити масштаб перспективного знімка. Для початку розглянемо масштаб перспективного знімка по його горизонталі (рис. 3.5).

65

		S
υ y	φ	ε
	α	g x
	o	n
		τ

G

A

Ax

Ay

o

N

V

G

Рис. 3.5.

За визначенням:

	1	=	aa y	=	SaY	.
	mG		AAY		SAY

З прямокутного трикутника Soay маємо:

Sa— = cosS0 γ = cosf γ ,

а з прямокутного трикутника SAAy знайдемо:

SA

=

SN

=

H

.

—

cos(ε + ϕ)

cos(ε + ϕ)

Враховуючи отримані вирази маємо:

1

=

f cos(ε + ϕ)

=

f

cos εcos ϕ − sin εsin ϕ

=

mG

H cos γ

H

cos ϕ

66

(3.18)

(3.19)

(3.20)

Hf (cos ε − tgϕsin ε).

Але, на підставі прямокутного трикутника Soay, легко

визначити, що

oa y

y

(3.21)

tgϕ = f

= f .

Тоді остаточна формула визначення масштабу перспективного

знімка по горизонталі буде мати вигляд:

1

f

y

(3.22)

=

cosε −

sinε

.

m

H

f

G

Виконаємо аналіз отриманого виразу. Відзначимо те, що масштаб залежить від ординати точки. Іншими словами, якщо ми зафіксуємо ординати для деяких точок, то їх масштаб не буде змінюватись. Постає питання, а які точки мають сталу ординату. Це ті точки, які належать лінії, що паралельна до головної горизонталі знімка (gg). З цього можна зробити перший висновок.

Масштаб будь-якої горизонталі знімка є величина постійна, тому горизонталі називають лініями неспотвореного масштабу.

Знайдемо масштаб головної горизонталі.

Для цього випадку

у = 0, тоді:

1

=

f

cos ε.

(3.23)

mg

H

Визначимо масштаб горизонталі, яка проходить крізь точку

нульових спотворень. Враховуючи, що yc – = − ftg ε

,

отримаємо:

2

1

=

f

(cos ε + f

1 − cos ε

sin ε

) =

f

(cos ε +1 − cos ε) =

f

.

(3.24)

mc

H

sin ε

f

H

H

Ми отримали важливу залежність.

Масштаб горизонталі, що проходить крізь точку нульових спотворень, дорівнює масштабу планового знімка, що має ту саму висоту фотографування.

Тому, цей масштаб називають головним масштабом знімка, а горизонталь, що проходить крізь точку нульових спотворень називають лінією головного масштабу.

Визначимо тепер масштаб лінії, що проходить крізь точку надиру – масштаб надирної горизонталі. Для точки надиру маємо

Yn = − ftgε, тоді:

67

1	=	f	(cosε +tgεsinε)=	f		cos2 ε +sin2 ε	=	f	.	(3.25)
mn		H		H		cosε		H cosε

Знайдемо, в якій точці головної вертикалі масштаб нахиленого знімка буде дорівнювати масштабу трансформованого знімка. Як відомо, масштаб трансформованого знімка дорівнює:

m1 = Hf t .

Звідси, масштаб нахиленого знімка в точці головної вертикалі буде дорівнювати масштабу трансформованого знімка виконуючи умову:

	y	2
			=1.	(3.26)
cosε −	f	sinε

Отже, визначимо ординату цієї точки:

y = f	cosε −1		= − ftg	ε
				2 .	(3.2)
	sinε
Величина – f tg ε/2, як відомо,			є ординатою точки нульових

спотворень. Звідси можна стверджувати, що масштаби в точці

нульових спотворень, як за напрямом по горизонталі, так і за напрямом по вертикалі рівні між собою і дорівнюють масштабу трансформованого знімка.

3.6. Лінійні спотворення точок знімка, що викликає рельєф місцевості

Розглянемо, які помилки положення точок знімка виникають внаслідок відхилення рельєфу місцевості відносно до середньої площини.

S

а ао o b	bo
-δh	+δh

А

O

В0

А0

Рис.3.6.

В

68