492_Nosov_V._I.__Metody_povyshenija_pomekhoustojchivosti_sistem_radiosvjazi_..
._.pdfПринимая во внимание, что мощности излучаемые со всех четырех антенн одинаковы, коэффициент корреляции между другими векторами (2,3) и (1,4) обозначим как rSTBC4 (корреляция между двумя неортогональными векторами сигнала, кодированного квазиортогональным кодом Q-STBC).
Тогда матрица корреляции RSTBC4 для кода 4 4 выглядит следующим образом
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
rSTBC4 |
|
||||
|
|
|
0 |
1 |
r |
0 |
|
|
R |
|
|
|
|
STBC4 |
|
. |
(5.18) |
|
0 |
r |
1 |
0 |
||||
|
STBC4 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
STBC4 |
|
|
|
|
|
|
r |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
STBC4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.2.3 Коэффициент корреляции сигналов для восьмиантенной системы
В случае передачи сигнала по 8-ми передающим антеннам, матрица комплексных значений сигнала будет выглядеть следующим образом (таблица 5.3) [36].
Векторы (A1,A2), (A1,A3), (A1,A5), (A1,A8), (A2,A4), (A2,A6), (A2,A7), (A3,A4), (A3,A6), (A3,A7), (A4,A5), (A4,A8), (A5,A6), (A5,A7), (A6,A8), (A7,A8) попарно ортого-
нальны, т.к. их скалярное произведение равно нулю.
Векторы (A1,A4), (A1,A6), (A1,A7), (A2,A3), (A2,A5), (A2,A8), (A3,A5), (A3,A8), (A4,A6), (A4,A7), (A5,A8), (A6,A7) попарно не ортогональны, следовательно, коэффициент их корреляции не равен нулю.
Табл. 5.3. Кодирующая и передаваемая последовательности для схемы восьмиканальной разнесенной передачи
|
А1 |
А2 |
|
А3 |
|
А4 |
А5 |
|
А6 |
|
|
|
А7 |
|
|
А8 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
t |
S1 |
S2 |
|
S3 |
|
S4 |
S5 |
|
S6 |
|
|
|
S7 |
|
|
S8 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
t + T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
S2 |
|
S1 |
|
|
|
S4 |
|
|
S3 |
|
|
|
S6 |
|
|
S5 |
S8 |
|
S7 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
t + 2T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
S3 |
|
|
|
S4 |
|
|
S1 |
|
S2 |
|
|
S7 |
|
|
|
|
S8 |
|
|
S5 |
S6 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
t + 3T |
S4 |
-S3 |
|
-S2 |
|
S1 |
S8 |
|
-S7 |
|
|
|
-S6 |
|
|
S5 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
t + 4T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
S |
5 |
|
|
|
S |
6 |
|
|
|
|
S |
7 |
|
|
|
|
S |
8 |
|
|
|
S |
|
S |
2 |
|
S |
3 |
S |
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
t + 5T |
S6 |
-S5 |
|
S8 |
|
-S7 |
-S2 |
|
S1 |
|
|
|
-S4 |
|
|
S3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
t + 6T |
S7 |
S8 |
|
-S5 |
|
-S6 |
-S3 |
|
-S4 |
|
|
|
S1 |
|
|
S2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
t + 7T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
S8 |
|
|
S7 |
S6 |
|
|
S5 |
|
S4 |
|
|
S3 |
|
|
|
|
|
S2 |
|
|
S1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
231 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Обозначим коэффициент корреляции между неортогональными векторами
rSTBC8. Тогда матрица корреляции RSTBC8 для кода 8 8 выглядит следующим образом
|
|
|
1 |
0 |
0 |
rSTBC8 |
0 |
rSTBC8 |
rSTBC8 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
0 |
1 |
r |
0 |
r |
0 |
0 |
r |
|
|
|
|
|
|
|
STBC8 |
|
STBC8 |
|
|
STBC8 |
|
|
|
|
|
0 |
r |
1 |
0 |
r |
0 |
0 |
r |
|
|
|
|
|
|
STBC8 |
|
|
STBC8 |
|
|
STBC8 |
|
|
R |
|
r |
0 |
0 |
1 |
0 |
r |
r |
0 |
|
(5.19) |
|
|
|
STBC8 |
r |
r |
0 |
1 |
STBC8 |
STBC8 |
r |
. |
||
|
STBC8 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
STBC8 |
STBC8 |
|
|
|
|
STBC8 |
|
|
|
|
r |
0 |
0 |
r |
0 |
1 |
r |
0 |
|
|
|
|
|
|
STBC8 |
|
|
STBC8 |
|
|
STBC8 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
rSTBC8 |
0 |
rSTBC8 |
1 |
0 |
|
|
|
|
rSTBC8 |
|
|
||||||||
|
|
|
0 |
rSTBC8 |
rSTBC8 |
0 |
rSTBC8 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
По горизонтали и вертикали столбцы и строки матрицы соответствуют номерам передающих антенн, соответственно. В случае, если вектора излучаемых сигналов ортогональны, значение коэффициента корреляции равно нулю, если нет, то значение равно rSTBC8.
5.2.4 Методика расчета обобщенной корреляционной модели для N-антенных систем
В общем виде матрица корреляции квазиортогонального кода STBC может быть записана следующим образом [42, 43]
RSTBC = rSTBC·ISTBC , |
(5.20) |
где rSTBC – коэффициент взаимной корреляции двух неортогональных векторов в квазиортогональном коде STBC. ISTBC – единичная матрица, получаемая по рекурсивному правилу построения комплексного кода Уолша-Адамара
|
|
ISTBC |
ISTBC |
|
|
ISTBC |
|
N/2 |
N/2 |
|
|
|
|
ISTBC |
|
(5.21) |
|
N |
ISTBC |
, |
|||
|
|
N/2 |
N/2 |
|
|
|
|
|
|
||
232
где N = 2n – количество передающих антенн (n – целое положительное число), – математический оператор отрицания (not) в двоичной системе.
Для нахождения матрицы корреляции RSTBC4 кода 4 4 по формуле (5.20) необходимо вычислить значение ISTBC
4
|
|
ISTBC2 |
ISTBC2 |
|
|
ISTBC |
|
|
|
||
|
|
ISTBC |
|
(5.22) |
|
4 |
ISTBC |
. |
|||
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Известно, что единичная матрица размера 2 2 равна
ISTBC |
1 |
0 |
(5.23) |
|
|
|
. |
||
2 |
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
Следовательно
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
I |
|
0 |
0 |
(5.24) |
||
STBC |
|
|
|
. |
||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
4 |
0 |
0 |
|
||
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По формуле (5.20) имеем
RSTBC4 = rSTBC4·ISTBC4,
|
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
R |
|
r |
0 |
0 |
, |
||
STBC4 |
|
|
|
|
|||
|
STBC4 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
||
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
233
|
|
|
1 |
0 |
0 |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
STBC4 |
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
r |
0 |
|
|
|
R |
|
|
|
|
STBC4 |
|
|
, |
(5.25) |
|
0 |
r |
1 |
0 |
|||||
|
STBC4 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
STBC4 |
|
|
|
|
|
|
|
r |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
STBC4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где rSTBC4 – коэффициент корреляции векторов сигналов для случая с 4-мя передающими антеннами.
Выражение (5.25) полученное аналитическим путем совпадает с ранее приведенным выражением (5.18), полученным с помощью вычисления ортогональности векторов сигналов, излучаемых с разных антенн.
Следует отметить, что диагональ матрицы RSTBC всегда равна 1, поскольку корреляция вектора с собой всегда равна 1.
5.2.5 Методика расчета коэффициента взаимной корреляции двух векторов сигнала в квазиортогональном коде
Для нахождения значения коэффициента корреляции между двумя неортогональными векторами rSTBC необходимо вычислить его через свертку соответствующих векторов.
Для четырехантенной системы, коэффициент взаимной корреляции определяется по формуле [42, 43]
r |
|
A2 |
A3 |
|
|
A1 |
A4 |
. |
(5.26) |
||
STBC4 |
|
A |
|
A |
|
|
A |
|
A |
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
1 |
|
4 |
|
|
Свертка векторов A2 и A3 определяется выражением
A2 A3 s2 |
s3 |
s1 s4 |
s4 s1 s3 |
s2. |
(5.27) |
В реальных системах с каждой передающей антенны излучается равная мощность. Значит модуль комплексного числа sn одинаковый, независимо от номера передающей антенны. Тогда, по формуле Эйлера
234
A A |
|
|
s |
|
(ei 2 e i 3 e i 1ei 4 e i 4 ei 1 ei 3e i 2 ) |
|||||
|
|
|||||||||
2 |
3 |
|
|
|
|
n |
|
|
||
A A |
|
|
s |
|
|
|
(ei( 2 3) ei( 4 1) ei( 1 4 ) ei( 3 2 )), (5.28) |
|||
|
|
|
||||||||
2 3 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
где n – угол между векторами соответствующих сигналов.
Определим нормы векторов А2 и A3.
Векторы А2 и A3 (в общем случае Аn) являются многомерными комплексными векторами. Соответственно, данные вектора находятся в Гильбертовом пространстве, и подчиняются соответствующим свойствам [59].
В Гильбертовом пространстве действуют Гёльдеровы нормы [60, 61] для n-мерных векторов
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
||
x |
|
|
|
|
x |
p |
|
|
|
|
|
p |
|
i |
|
, |
(5.29) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где p 1 (обычно подразумевается, что это натуральное число), i=1,…,n.
В частности, евклидова норма
x |
|
|
1 |
|
|
xi |
|
|
|
|
(5.30) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
|
|
|
2 |
|
|
|
xi |
|
2 . |
(5.31) |
||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
||||
В соответствии с (5.30) модули векторов А2 и А3 определяются выражениями
A2 
s2 2 s1 2 s4 2 s3 2
A |
|
|
|
s |
|
2 |
|
s |
|
2 |
|
s |
|
2 |
|
s |
|
2 . |
(5.32) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
235
Поскольку мощность излучаемых векторов сигналов одинаковая
s1 |
|
|
|
s2 |
|
|
|
s3 |
|
|
|
s4 |
|
. |
(5.33) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
Соответственно, произведение модулей векторов A2 и A3 будет равно
A2 |
|
|
|
A3 |
|
4 |
|
sn |
|
. |
(5.34) |
|
|
|
|
|
Таким образом, коэффициент кодовой корреляции в общем виде для произвольной четырехантенной системы определяется выражением
r |
|
|
|
|
sn |
|
(ei( 2 3 ) ei( 4 1) ei( 1 4 ) ei( 3 2 ) ) |
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
STBC4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
sn |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
rSTBC4 |
|
(ei( 2 3 ) ei( 4 1 ) ei( 1 4 ) ei( 3 2 ) ) |
. |
(5.35) |
||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||
В случае, если в канале используется модуляция BPSK, разница фаз сигналов принимает следующие значения
( 2 3 ) 0,
( 4 1) 0, .
Тогда, оценивая все возможные комбинации, средний коэффициент кодовой корреляции для четырехантенной системы с модуляцией BPSK будет равен
rSTBC4 BPSK 0,5.
236
Табл. 5.4. Значения коэффициента |
кодовой корреляции в зависимости |
|||
от типа модуляции для четырехантенной системы |
||||
|
|
|
|
|
|
Тип модуляции |
|
rSTBC4 |
|
|
BPSK |
|
0,5 |
|
|
QPSK |
|
0,375 |
|
|
8-PSK |
|
0,396 |
|
Аналогично рассчитаем коэффициент кодовой корреляции для 8-ми антенной системы.
Свертка векторов (A2,A3) определяется выражением
A2 A3 s2 s3 s1 s4 s4 s1 s3 s2 s6 s7 s5 s8 s8 s5 s7 s6.(5.37)
Аналогично, как и для четырехантенной системы, представим выражение по формуле Эйлера
A2 A3 sn (ei( 2 3) ei( 4 1) ei( 1 4 ) ei( 3 2 )
ei( 1 6) ei( 5 8 ) ei( 8 5) ei( 6 7 )).
(5.38)
Исходя из (5.33) и применяя формулу (5.32), произведение модулей векторов А2 и А3 будет равно
A2 |
|
|
|
A3 |
|
8 |
|
sn |
|
. |
(5.39) |
|
|
|
|
|
Таким образом, коэффициент кодовой корреляции восьмиантенной системы (таблица 5.5) в общем виде определяется выражением
rSTBC8 (ei( 2 3) ei( 4 1) ei( 1 4 ) ei( 3 2)
8
(5.40)
ei( 7 6) ei( 5 8) ei( 8 5) ei( 6 7 ) ).
8
238
Табл. 5.5. Значения коэффициента кодовой корреляции в зависимости от типа модуляции для восьмиантенной системы
Тип модуляции |
rSTBC8 |
BPSK |
0,375 |
QPSK |
0,273 |
8-PSK |
0,284 |
239
