492_Nosov_V._I.__Metody_povyshenija_pomekhoustojchivosti_sistem_radiosvjazi_..

сигнала i j и помех. Поэтому после попериодного усреднения произведений

быстроменяющихся функций под знаком интеграла в (6.60), при условии полного разделения лучей, получим

N	1		NT tn	n' 1 M 1	cjq				1	NT tn
mci				ci t dt						t z1 t ti dt . (6.68)
		NT							NE
						B
			tn	j 1 q 1					i	tn
Здесь B FT			– база сигнала ( F – ширина полосы частот сигнала, T – сим-

вольная длительность элемента сигнала). В (6.68) пренебрегли изменением ci на интервале T у боковых лепестков корреляционной функции сигнала вследствие медленных изменений параметров канала.

Аналогично из (6.56) и (6.59) найдем

	E	(N 1)T tn	n 1 M 1	cjq				1	(N 1)T tn
X1i	i		ci t dt				Ej			t z1 t ti dt. (6.69)
	T							NE
					B
		NT tn	j 1 q 1					i	NT tn

Согласно (6.68) и (6.69) элементы ковариационной матрицы (6.62) в услови-

ях полной разделимости лучей (пренебрегая слагаемыми вида ciq cjp ) определя-

s s

ются как

2E

n' 1 M 1 h2j

1

N 2

mci

i

hi2r1i

,

2

B

s

j 1 q 1

N

2E

i

n' 1M 1

h2j

X12i

hi2r2i

1 ,

2

B

j 1 q 1

2E

N

h2r

m

X

i

.

2

ci

1i

i 3i

(6.70)

(6.71)

(6.72)

271

В выражениях (6.70) (6.72)

		2 2	Ei					Ei
	h2					2 2
	i	i		2		ci			2
						s

–среднестатистическое значение отношения энергии принятого сигнала

вi-м луче к спектральной плотности мощности шума;

1

NT

tn

r1i

Ri t1,t2 dt1dt2;

(NT)

2

tn

1

(N 1)T

tn

r2i

Ri t1,t2 dt1dt2;

(6.73)

2

T

NT t

n

1

NT tn

(N 1)T tn

r3i

Ri t1,t2 dt1dt2;

2

NT

tn

NT

tn

где

R	t ,t	2		ci(t1) ci(t2)		si(t1) si (t2)	,	(6.74)
i	1			2		2
				i		i

– корреляционная функция измеряемых параметров сигнала. Возможна экспоненциальная и гауссовская аппроксимации Ri t1,t2 [63].

При экспоненциальной аппроксимации корреляционной функции

R

t ,t

exp

t1

t2

1

t1 t2

, t

t

t

NT t

n

i

1 2

k

k

1

2

n

(6.75)

выражения (6.73) примут вид

r	1	NT	;	r	1	T	;	r	1	(N 1)T	.
1i		3 k		2i		3 k		3i		2 k
					272

Здесь k – интервал корреляции изменений параметров сигнала.

Вбольшинстве случаев на линиях связи корреляционная функция близка

кгауссовской кривой

t

t

2

2

t

t

2

2

R

t ,t

2

exp

1

1

1

.

(6.76)

i

1

2 2

2 2

k

k

При этом из (6.73) и (6.76) следует

r

1

NT 2

;

r

1

T2

;

r

1

T2

(2N2 3N 2).

1i

12 k2

2i

12 k2

3i

12 k2

Гауссовская аппроксимация приводит к меньшим ошибкам, чем экспоненциальная.

Для определения собственных чисел матрицы [Ki Ji] подставим (6.70) (6.72) в (6.75), получим

2E

n 1 M 1

h2j

1

n 1 M 1

h2j

2

2

i

2

r2i

1,2i

hi

r3i

hi r1i

hi

1

. (6.77)

2

B

B

j 1 q 1

N

j 1 q 1

После подстановки i

1i

и i 2i

из (6.75) в (6.77), получим выраже-

ние для вероятности ошибки [63]

cn

n

h2

r

pî ø

2n 1

i

3i

1

.

(6.78)

2n

n 1 h2jq

n 1 M 1 h2jq

i 1

1

2

2

hi

r1i B

N

hi

r2i B

1

j 1

j 1 q 1

В (6.78) введен коэффициент , учитывающий неидеальность корреляционной функции псевдослучайных последовательностей шумоподобных сигналов. При 1 , имеют место интерференционные помехи традиционной CDMA.

273

При 0, интерференционные помехи отсутствуют у сигналов с нулевой зоной корреляции, т.е. с зоной, свободной от интерференций (LAS-CDMA). Реально 0 1, поскольку теоретический предел 0 не всегда достижим на практике.

Из (6.78) видно, что вероятность ошибки зависит от отношения энергии

элемента сигнала к спектральной плотности мощности шума hi2 , от размера обучающей выборки N , от базы сигнала B, а также от коэффициентов, характеризующих скорость изменения параметров сигнала r1i, r2i, r3i и параметра , характеризующего влияние интерференционных помех.

В качестве иллюстрации на рис. 6.6 приведены зависимости вероятности ошибки p от hi2 h2j h2 (одинаковая интенсивность лучей) при разном числе обрабатываемых лучей n, при обучении на одном интервале ( N 1).

Рис. 6.6. Зависимость вероятности ошибки от отношения сигнал шум при разном числе обрабатываемых лучей

274

Сплошными линиями показаны зависимости, рассчитанные по формуле (6.64) для технологии LAS-CDMA ( 0) при гауссовской аппроксимации R t1,t2

при T k 10 2 , при демультиплексировании потока данных на четыре подпотока

(M 4), в условиях действия четырех лучей (n 4), при приеме сигналов с базой

B 100.

Штриховыми линиями показаны зависимости вероятности ошибки для традиционной технологии CDMA ( 1), т.е. с интерференционными помехами.

Штрихпунктирными кривыми показаны зависимости вероятности ошибки при 0,1, когда из-за ограниченности нулевой зоны корреляции интерференционные помехи оказывают частичное мешающее действие на сигнал, ухудшая помехоустойчивость приема, но в меньшей степени, чем при 1.

Из приведенных зависимостей видно, что из-за влияния многолучевости и мешающих сигналов при 1, уменьшение вероятности ошибки при увеличении

h2 замедляется и при определенных значениях h2 перестает влиять на вероятность ошибки. При выделении одного луча это происходит при различных значе-

ниях h2 соизмеримых с базой сигнала. Использование нескольких лучей существенно повышает помехоустойчивость системы, но и в этом случае указанная закономерность наблюдается. Поэтому необходимо адаптивное регулирование излучаемой мощности передатчиков в ансамбле пользователей.

Увеличение объема обучающей выборки N повышает помехоустойчивость приема при медленных изменениях параметров канала (T k 10 3 ) для техноло-

гии LAS-CDMA (α = 0), а при 1, при плотности мощности шума hi2 существенно меньших базы сигнала B, когда влияние интерференционных помех не сказывается. В пределе, при N 1 выигрыш по вероятности ошибки равен 2n , реально он меньше.

В каналах с относительно быстрыми изменениями параметров (T k 10 2 ) увеличение объема обучающей выборки ( N 1) приводит к декорреляции сигнала и, следовательно, не дает уменьшения вероятности ошибки, а поэтому нецелесообразно.

Приведенные на рисунке кривые иллюстрируют помехоустойчивость приема при релеевских замираниях сигнала, из которых видно, что прием по трем замирающим лучам эквивалентен одиночному приему незамирающих сигналов

при вероятности ошибки p 10 1 10 4. При вероятности ошибки p 10 5 10 6 такая эквивалентность будет при обработке четырех лучей.

275

Полученные зависимости являются верхней оценкой помехоустойчивости. В действительности при раздельном приеме лучей имеет место значительная регулярная (незамирающая) составляющая сигнала (замирания Релея-Райса), что существенно повышает достоверность приема.

Формулу (6.78) можно использовать и для оценки помехоустойчивости приема по параллельным каналам. В частности, при разнесенном приеме по частоте или в пространстве (на разнесенные антенны), в формулу (6.78) надо подставлять n L K , где L – число обрабатываемых лучей, K – кратность разнесения.

Для примера на рис. 6.7 приведены зависимости вероятности ошибки от h2 , при приёме на две разнесённые антенны (Q = 2) при обработке одного (L = 1), двух (L = 2) и трёх (L = 3) лучей, рассчитанные по формуле (6.78) при тех же условиях, что и графики рис. 6.6.

Рис. 6.7. Зависимость вероятности ошибки от отношения сигнал шум при разном числе обрабатываемых лучей при приеме на две разные антенны

276

Из сравнения приведённых на рис. 6.6 и 6.7 зависимостей видно, что обработка одного луча при приёме на две разнесённые антенны обеспечивает такую же достоверность приема, как и обработка двух лучей при приёме на одну антенну, а обработка двух лучей при приёме на две антенны эквивалентна приёму четырёх лучей на одну антенну. Обработка трёх лучей при приёме на две антенны эквивалентна шестикратному разнесённому приёму.

Выше была рассмотрена двухпозиционная модуляция. В m-позиционной системе увеличение битовой скорости при заданной символьной скорости сопровождается эквивалентным энергетическим проигрышем в log2 m раз. Однако сле-

дует иметь в виду, что увеличением h2 компенсировать проигрыш по вероятности ошибки возможно только при отсутствии интерференционных помех, т.е. при использовании LAS-CDMA.

После мультиплексирования всех M подпотоков данных в один поток, средняя вероятность ошибки остается такой же, как в каждом подпотоке, т.к. они обрабатываются в одинаковых условиях.

6.7	Анализ помехоустойчивости	разнесенного приема сигналов
OFDM
6.7.1	Разработка алгоритма приема

В случае использования технологии OFDM, принятая смесь сигнала с помехами в q-ой ( q 1,2,...,Q) ветви разнесения на одной поднесущей имеет вид

z' (t)

cq

z

(t)

sq

z

(t)

q

(t),

MT t (M 1)T,

(6.79)

q

r

r

где Q – число ветвей разнесения; cq

и sq – ортогональные составляющие

коэффициентов

передачи

канала для

сигнала zr t ; zr t и zr t

– функция,

определяющая переданный сигнал на одной поднесущей и сопряжённая ей по Гильберту; q t – реализация флуктуационной помехи, аппроксимируемой белым

гауссовским шумом с нулевым средним и спектральной плотностью мощности 2 ; T – длительность OFDM символа; r 1,2,...,m – алфавит сигнала [66].

Адаптивный алгоритм приёма с обучением определяется отношением правдоподобия, в котором неизвестные априорные распределения параметров заменены апостериорными, сформированными при помощи обучающей выборки. В соответствии с критерием максимального правдоподобия для априорно

277

равновероятных передаваемых сигналов адаптивный алгоритм определяется неравенством

Q
ln rlq 0,	r l,	(6.80)

q 1

где

W( cq, sq /Z'q )F(Z'q /Zrq, cq, sq )d cqd sq

(q)rl			G c , s		,	(6.81)
			W( cq, sq /Zq' )F(Zq'
				/Z q, cq, sq )d cqd sq

G c , s

– отношение правдоподобия для r -го сигнала относительно l -го в q -ой ветви разнесения.

Здесь W( cq, sq /Z'q) – апостериорное распределение параметров сигнала,

сформированное по обучающей выборке опорного сигнала; G c , s – область интегрирования, определяемая пределами изменения параметров сигнала;

F(Zq'	W(Zq' / Zrq , cq		, sq )
	/ Zrq , cq , sq )			(6.82)
		W(Zq' /0)

– функционал отношения правдоподобия принятой смеси сигнала с помехой при передаче сигнала Zr(t) в q -ой ветви разнесения. В этом выражении

		1 M 1 T
W(Zq'	/Zrq, cq, sq ) const exp				q2	t dt ,	(6.83)
			2
				MT

где согласно (6.79)

'	(t) cq zr	~	(t) .	(6.84)
q (t) zq		(t) sq zr
	278

При медленных изменениях параметров сигнала cq и sq их можно изме-

рять (оценивать) при помощи обучающей выборки опорного (пилотного) сигнала

S1q (t),S2q (t),...,Skq(t),...,SMq(t) (6.85)

где

(k)	(k)~	(6.86)
sqk (t) cq	uq(t) sq uq(t) q (t).

Здесь cq(k) и sq(k) – ортогональные составляющие коэффициентов передачи канала для опорных сигналов uq t . При медленных общих замираниях группы

поднесущих частот ресурсного блока, содержащего опорные сигналы, между cq

и cq(k) ( sqи sq(k) ) будет сильная корреляция. Например, в LTE опорные сигналы

передаются через каждые шесть поднесущих частот, расположенных с интервалом 15 кГц, т.е. на расстоянии 90 кГц, а общие замирания в диапазонах функционирования систем WiMAX, Wi-Fi, LTE наблюдаются в полосе частот от нескольких сот килогерц до нескольких мегагерц.

Следуя процедуре вывода, указанной в [38, 66, 67], получим апостериорное распределение параметров опорного сигнала в виде

W mcqk ,msqk / u1'q uMq'

(6.87)

2

2

1

1

exp

m(k) m M

m(k) m M

.

2

2

cq

cq

sq

sq

2sMq

2sMq

Здесь при медленных замираниях

1

M

1

M

mcq(M )

mˆcq(k);

msq(M )

mˆsq(k);

(6.88)

M k 1

M k 1

где

279

(k)

1

kT

(k)

(k)

1

kT

(k)

mˆcq

sq

(t)uq(t)dt

mˆsq

sq

(t)uq(t)dt

(6.89)

E

E

(k 1)T

(k 1)T

– максимально правдоподобные оценки параметров канала на k-м этапе наблюдения опорных сигналов в q-ой ветви разнесения. На этапе синтеза алго-

ритмов полагаем mcq mcq(k),msq msq(k) .

После подстановки в (6.81) выражений (6.82) (6.84), (6.87) и соответствующих преобразований получим адаптивный алгоритм разнесённого приёма одной поднесущей ресурсного блока для сигналов с одинаковыми энергиями в виде

Q	Q
mcq(M ) Xrq	msq(M )Yrq mcq(M ) Xlq msq(M )Ylq ,r l.	(6.90)
q 1	q 1

Здесь

(M 1)T

'

t Z

t dt,

(M 1)T

'

t Z

t dt,

X

rq

Z

r

Y

Z

r

(6.91)

q

rq

q

MT

MT

– корреляционные интегралы, вычисленные на интервале MT…(M+1)T

после формирования оценок mcq(M) и msq(M) по формулам (6.88), (6.89) на интервале

0…MT при помощи обучающей выборки (6.85) специальных опорных сигналов. В (6.89), предполагая одинаковую энергию переданных информационных и опорных сигналов во всех ветвях разнесения, имеем

E uq2 t dt uq2 t dt zr2 t dt zr2 t dt.

T T T T

Решающее правило (6.90) является алгоритмом квадратурной корреляционной обработки сигналов одной поднесущей ресурсного блока, в котором оценки параметров канала сформированы при помощи обучающей выборки опорных сигналов. Результаты обработки по алгоритму (6.90) мультиплексируются в один поток данных ресурсного блока.

280