книги / Прикладные задачи теории массового обслуживания

1. Система ПВО с отказами и упорядоченным обслуживанием *

В § 6.1 была рассмотрена система массового обслуживания с отказами и «нетерпеливыми» заявками, когда канал мгновенно освобождается, либо при обслуживании заявки (поражение са­ молета), либо при уходе заявки из системы (непоражение само­ лета). Другими словами, в этом параграфе был рассмотрен случай, когда величина р* = |1+ т], т. е. когда среднее время пере­

дачи информации о поражении самолета tu мало. Если время

передачи информации велико, то обстрел цели будет длиться практически в течение всего времени нахождения самолета в зоне обстрела, тогда ^* = 14. В этом случае среднее число занятых

каналов будет определяться по формуле

л ( п - 1 , —
и_ k \	т<	(6.6.15)

Вероятность поражения цели (относительная пропускная спо­ собность) нужно находить по формуле

(6.6.16)

где

(6.6.17)

Абсолютная пропускная способность Ко определяется по фор­

муле

>.0=ХЯо6с.	(6.6.18)
Все остальные параметры определяются через k так же, как
в случае |л*= (,1+т|.	_
Если среднее время передачи информации сравнимо с вели­
чиной 1/ц, а среднее время обстрела	t0e< — , то среднее число
	Т1

занятых каналов будет определяться по формуле (6.1.7), с той разницей, что параметр ц* определяется по формуле (6.6.11). Вероятность поражения самолета Р0бс в этом случае нужно на­ ходить по формуле (6.6.16), где Рi уже подсчитывается по фор­

муле (6.6.3) или (6.6.4).

* Упорядоченное обслуживание состоит в том, что заявки (цели) строго распределяются по свободным каналам (нет случайного распределения заявок и нет взаимопомощи).

251

Таким образом, в этом случае характеристики системы ПВО будут вычисляться по следующим формулам:

R ( n — 1, а * ) .

k =

У? (Л, а*)

(JL*

Y>

1 + (7-УИ

R ( n — \, а*) .

-Pi R (71, а*) ’

P x = \ - e -■’•'об.

XQ=: X/"*06c

Все остальные параметры системы подсчитываются так же, как и в случае, когда р,*= |л+т], и время обстрела ограничивает­ ся лишь пребыванием самолета в зоне обстрела. В дальнейшем ограничимся лишь случаем, когда время передачи информации мало и параметр освобождения канала определяется по формуле

^ = [ 1 + 1].

(6 .6 .19)

Среднее время пребывания заявки в системе (связи самолета (^системой ПВО) для любого времени прохождения информации

tn определяется по формуле

	1=	4-	(6.6.20)
		к
Ввиду небольшого объема этого параграфа мы не будем при­
водить список основных расчетных формул.
	З а д а ч и и у п р а ж н е н и я
6.6.1.	Радиолокационный	канал наведения	может наводить

ракеты, пущенные с одной установки или с двух установок. Всего имеется 2g установок, эффективная скорострельность каждой из

них р. Требуется определить, при каком способе организации си­ стемы ПВО с отказами и упорядоченным обслуживанием она будет более эффективной:

а) если каждому каналу наведения будет придана одна уста­ новка (всего будет n = 2g каналов с эффективной скорострель­

ностью каждого канала р); б) если каждому каналу наведения будут приданы две уста­

новки (всего будет n = g каналов с эффективной скорострельно­

стью каждого канала 2р).

252

Ре ш е н и е

Вслучае а имеем [см. (6.1.8)]

		X
Робе1 -	х_______I* + Т] J
	И+ 'Ч
	\	h + V )

Аналогичные вычисления проводим и для случая б:

2ц

P S&= 2(Х+ К)

2{* + Ч )

Можно показать, что для любых конечных значений \ху т|, Я и

положительном g Яобс <		Я ^с, т. е. всегда выгоднее объеди­
нять каналы. Так, если —		= р,= т] и g = 3 , получим
р ( " ) __		1	R ( 5 , 3 )			О 4 7 4 *
“	о ос				—
		2	Ж	6 ,	3 )
Я	( А*	2	Я	( 2 .	2 )	П Ч О Я
					—
*	о б е ----	3	Ж			u , o z o ,
				3 ,	2 )

т. е. эффективность увеличивается приблизительно на 11%. Слу­ чай б по существу эквивалентен наличию взаимопомощи, поэто­

му он эффективнее.

6.6.2. Система ПВО с отказами и упорядоченным обслужива­ нием характеризуется следующими данными:

— скорострельность каждой пусковой установки

-	1	1
|i==	-----------3	мин

— вероятность поражения цели одной ракетой р= 0,570;

—станция наведения обеспечивается двумя пусковыми уста­ новками (g= 2);

— длина полосы обстрела а = 35 км;

—скорость налетающих самолетов

^= 1300 км1ч,ас\

— средний линейный интервал между самолетами 1 = 7 км\

— общее число каналов наведения п = 2.

Определить вероятность поражения цели и другие характе­ ристики системы ПВО.

2 5 3

Р е ш е н и е Рассчитаем параметры работы системы:

Iх=gV-P = °.380	1
	мин

1J = — = 0,620 — —

амин

1

!X* = [A -f Т ) = 1

мин

1

— = 2

мин

а* = ——= 2 .

(X*

Вероятность поражения любой отдельной цели

Р о6с= J i- R(n~ 1’ °*>= 0,225.

и* Л(и, «*)

Среднее число занятых каналов

f*

Вероятность того, что канал занят:

^з . к=— = 0,59.

п

Среднее время занятости канала

/З.к = — = 1 мин.

[JL*

Среднее время простоя канала

t„.,;= /3,к -1 ~~Яз-к = 0,695 мин.

Л'З.к

6.6.3. Определить, насколько увеличится эффективность си­ стемы ПВО, рассмотренной в задаче 6.6.2, если увеличить длину зоны обстрела и взять ее равной не 35 км, а довести ее до 72 км.

Все остальные характеристики системы ПВО остаются теми же, как и в задаче 6.6.2.

Р е ш е н и е Рассчитаем параметры системы

(ir=g-(j.p = 0,380 — — ;

мин

254

TJ= — -=0,302 — ;

мин

Н-* = р. -f т] = 0,682-

мин

Х= — = 2 —-—

/мин

а*= — ^ .3 .

Вероятность поражения отдельной цели (самолета) будет равна

п	_ И-	R ( r i — 1, а * )	=0,262.
j	о -----------------' с	R ( n t а*)
Среднее число	занятых	каналов

Я о б с = 1 ,3 8 .

Iм

Сравнивая полученный результат с тем, который был получен в примере 6.2.2, видим, что значительное увеличение зоны обстре­ ла (почти в два раза) не приводит к существенному увеличению эффективности системы ПВО: вероятность поражения цели уве­ личивается всего на 14%.

6.6.4. Определить эффективность системы ПВО, рассмотрен­

ной в примере 6.6.2, при условии, что			число каналов системы
ПВО увеличится в два	раза и станет равным 4.
Р е ш е н и е
R (п — 1, а*)		0,380	R ( 3 , 2 ) =	0 3 i i
R(n, а*)		1	R (4, 2)
Заметим, что при неограниченном увеличении числа каналов
(п— *-оо) получим
lim Робе (я) =	Ит	R (n — 1,	а*)	= 0 , 3 8 0 .
			—
л —»-оо	п-*-0°	R(ll, а*)

Если в условиях примера 6.6.3 (когда мы увеличили зону обстрела почти в два раза) взять очень большое число каналов (п— уоо), то получим

	НтЯобс (я)--=-^7	0,380	0,557.
		0,682I X *
	П - + • ° о

Таким образом, увеличение числа каналов приводит к замет­ ному росту эффективности системы ПВО. Однако даже неограни­ ченное число каналов в системе ПВО без взаимопомощи не мо­ жет обеспечить поражения самолета с большой вероятностью.

255

Это объясняется тем, что даже при условии обстрела каждой налетающей цели одним каналом, она не будет поражаться с большой вероятностью, так как за время пребывания цели в зоне обстрела по ней делается мало выстрелов. Дальнейшее увеличе­ ние эффективности рассматриваемой системы ПВО без взаимо­

помощи	каналов может		быть обеспечено				путем	увеличения
эффективной		скорострельности		каждого		канала.
6.6.5.	Рассмотрим систему ПВО, которая отличается от систе­
мы ПВО, исследованной в задаче					6.6.2, лишь тем,			что скоро­
стрельность каждого канала увеличена примерно в 4 раза и до­
ведена	до	LI= 1,21—-— .	Определить,			насколько		увеличится
		мин		по	сравнению		с системой, разо­
эффективность такой системы
бранной в задаче 6.6.2.
Р е ш е н и е

Рассчитаем параметры новой системы ПВО:

1А==£'!АР — 1>38— —

мин

т\ = — = 0 ,6 2 0 — — ;

амин

Р*= Р -И = 2-

мин

п = 2.

Вероятность поражения отдельной цели

R ( n — 1, а*)

0,550.

ft(n, а)

Таким образом, при увеличении скорострельности каждого канала примерно в 4 раза эффективность системы ПВО увели­ чивается почти в 2,5 раза. Надо отметить, что вообще значитель­ ное увеличение эффективности системы ПВО достигается в ос­ новном при увеличении эффективной скорострельности каждого канала системы ПВО.

6.6.6. Предлагается рассмотреть систему ПВО с отказами и нарушенным управлением: каждая появляющаяся в зоне обстре­ ла цель передается на обстрел в любой из п каналов, (занятый или свободный) с равной вероятностью \/п. Другими словами,

система ПВО работает так же, как и система массового обслу256

живания с отказами и случайным распределением заявок по всем каналам (см. § 4.5) с той лишь разницей, что заявка (цель) находится под обслуживанием (обстрелом) ограниченное время: интенсивность потока освобождений равна р* = [х4-т].

Р е ш е н и е

Не повторяя подробно всех выкладок, приведенных в § 4.5, запишем сразу результат.

Вероятность того, что в системе ПВО занято ровно к каналов (обстреливается к самолетов, каждый самолет обстреливается

одним каналом):

	Pk	(**)*с*		(А=0, 1, 2,..., л),
		(1	+ 7*)П

где

П [ Х *

1

| А * = | 1 4 - Т ] .

Среднее число занятых каналов к равно

т ПУ- к-

1 + **

Вероятность поражения самолета (обслуживания заявки)

Р о б с = ^ -* = -4 -	1 + х*

Вероятность того, что канал будет занят:

1 + х*

Среднее время простоя канала

т- _	1	1— Яз.к	1
*П.К--	*	Я3.к	X
	[X'

Среднее время занятости канала

tз.к—

Среднее время пребывания заявки в системе

-	J _	1
X —	(X**	1 + X*
		х*

257

2. Система ПВО с ожиданием и упорядоченным обслуживанием

Рассмотрим случай, когда самолет, влетевший в зону обстре­ ла и заставший все каналы занятыми, не получает отказа и в дальнейшем может быть еще обстрелян.

За самолетом, влетевшим в зону обстрела и заставшим все каналы занятыми, осуществляется слежение с помощью спе­ циальных станций. Если освобождается канал, то эта станция передает самолет на обстрел при условии, что самолет -еще на­ ходится в зоне обстрела. Эта система ПВО аналогична системе массового обслуживания с ожиданием, с ограниченным числом заявок в очереди и с ограниченным временем пребывания заявки

всистеме, рассмотренной в § 6.2.

Вобщем случае время нахождения самолета в зоне обстрела может зависеть от того, обстреливается самолет или нет. При обстреле самолета может быть включен форсаж и т. п. Поэтому параметр, характеризующий время пребывания самолета в зоне обстрела при условии, что он не обстреливается, обозначим бук­ вой v. Величина v обратно пропорциональна среднему времени пребывания в зоне обстрела. Параметр v подсчитывается по фор­ муле

v = - ^ - ,	(6.6.21)
а
где у„.о— скорость полета самолета	при условии, что его не
обстреливают;

а— глубина зоны обстрела.

Вчастном случае, если все параметры полета не зависят от того, обстреливается самолет или нет, параметр v=r| [см. (6.6.9)].

	З а д а ч и и у п р а ж н е н и я
6.6.7.	Определить, насколько увеличится вероятность пора­

жения цели системой ПВО, рассмотренной в задаче 6.6.2, если в нее ввести две специальные станции, следящие за целью ( т = 2).

Определить различные характеристики такой системы ПВО при

условии, что необстреливаемый самолет имеет скорость ун.0= = 840 км/час.

Р е ш е н и е Помимо тех параметров системы, которые были подсчитаны

при решении задачи 6.6.2, нужно рассчитать еще следующие

параметры:

v = - ^ = 0 , 4 ——

амин

258

В нашем случае б целое число, поэтому можно воспользовать­ ся формулой (6.2.22) для подсчета вероятности поражения само­

лета данной системой ПВО:

	a*R (п — 1, а*) + пР (П,		а*) R (от + о , j) — R (5, If)
	Р о6с= -^-		Р (S. 7)	=0 ,2 8 5 .
		, г>,	Л(от + 8 , 7 ) — Л( 8, 7 )
	,4 ,
	R(n,	а* ) + Р(п , а*)	----------------------------Р ( 6 . 7)

Следовательно, введение двух специальных станций, следя­ щих за целями, увеличивает вероятность поражения цели на ве­ личину

Д = 0 ,2 8 5 — 0 ,2 2 5 = 0 ,0 6 0 ,

что составляет около — 2 1%.

Если неограниченно увеличивать число специальных станций, следящих за целями, то вероятность обслуживания в нашем слу­ чае будет равна

limPo6c(/«)=0,295,

т-> -<■

т. е. увеличится всего на 3,5%. Следовательно, дальнейшее уве­ личение числа специальных станций, следящих за целями, не приводит к заметному увеличению эффективности системы ПВО.

Найдем другие характеристики системы: Среднее число занятых каналов

£ = — Яобс = 1 ,5 0 .

JJL

При неограниченном увеличении т получим

Игл k (т)= 1,55.

Среднее число занятых станций подслеживания (среднее 4исло заявок в очереди)

rw (Л(Я (от+ 8», 7))— /?(6,R 8, 7) , Г Р (от+ 8, 7 ) 1

г =	—	Рл л(5г>. 7)—	p « ; ; r J = 0 ,5 1 5 .
	R (п,	R (от +	6, 7) — R (о, 7)
		а*) + Р (п, а*)

Я (6, 7)

Среднее число занятых станций при т—>-оо равно

Игл г (/»)— 1,07.

259

Вероятность того, что будет занята хотя бы одна специальная станция (вероятность наличия очереди) равна

Рн.о— Рп R (т 4- о,	т) 0,364.
р (о, 7)

При неограниченном увеличении числа специальных станций получим

lim /?н.о(//г) = 0,466.

се

Среднее время наличия очереди

tн.о	^ ( „	+	8,	Т) - / ? ( » ,	Т) =	0>717 миНт
	I.		Р	(5, f)
	Нш/„.о(/л)=1,13				мин.
	т-+^
Вероятность того, что канал занят:
	^З.к = — =0,750;
				П
	lim TC3.K(/ra)=0,775.
	/ « - ►	о с
Среднее время занятости канала стрельбой
Г3.к = — +/>„.0)'н.о=1,27 мин;					lim t3,к (т) = 1,53 мин.
(J-*
Среднее время простоя канала
	^п.к=^з.к		1~	Яз-к = 0 ,4 2 4		мин;
			ЛЗ.К

lim /„.к(т)= 0,444 лши.

/« -► С О

6.6.8. Рассматривается работа четырехканальной системы

ПВО с двумя специальными станциями, следящими за целями с такими же параметрами, как и в задаче 6.6.7. Определить, на­ сколько увеличится эффективность такой системы ПВО по срав­ нению с рассмотренной в задаче 6.6.7.

Р е ш е н и е

Вероятность поражения самолета определяется по формуле (6.2.22):

Л>бс=0*390.

Эффективность увеличилась на Д = 0,390—0,285=0,105, что составляет около 27%.

260