книги / Прикладные задачи теории массового обслуживания

-	PoP(ft’ ,l)____	V	j	P ( m -	j У ) +
Р ( О, Л ) Р (г а , у )		2 J	1	К	J '
		J= li+ 1
		т —п			+^ *>•
~\~пРо Г «РнХ, г>S						(7.2.9)
Проведем следующие преобразования:
2	x ) - - = ^ j p ( ' n - j ,			z)—2		x)=
j=h+1	;=0			У=0
л		h

= ^ [ m — { m — j ) ] p ( m - j , y j - ^ i m — i m — j ) ] P ( m ~ J , X)--=

У=0					;=0
	n		n						li
= m ^1 P ( m — j t					j ) P ( m ~ j , * ) — m ' V P { m — j , x ) +
	y=o		y=o						y=o
	Л				m			m—л—1
Jr ' 2 l ( m - j ) P { i n — j \ y . ) = m					2 p 0 ’, X ) -			2
	7 = 0				1_7 = 0			7 = 0
	m	m — n— 1				Г m			m — h— 1
- 2	/ p 0 ’ x ) +		2 y p ( y ’ ' A ~ m						2	p ( / . x ) +
y=o			m—h—1			7 = 0			7 = 0
	+ 2 y P (; ’ 7^ — 2 y P 0>					=		—Л— 1, x ) ~
	y=o			y=o
— R ( m — n — 1, X)] —x [				— Л —2, ■i)—R ( m —n —2, x)].							(7.2.10)
Далее
/77 —лг				/л—(/7+1)
2	Я ( / и — (я + r),		х ) —	2	p ^r ’	Х) =	Я ( ' « — ( « +			1). х )	(7 . 2 . 1 1 )
Г=1				г =О
С учетом выражений				(7.2.10)	п (7.2.11)		среднее число обслужи­
ваемых ТУ будет равно
* =	^	‘В ( т ’	р ю ) + л <<Г»)р Д				,				X ) -
	х = 0
— R ( m		— я — 1,	х)] — х [ Я ( /и — А — 2, y ) - R { m						- n	— 2,	х )]} +
		^	D J	M '; ~	■Г ^ (/Д -(Д +			1),	X).		(7.2.12)
			Р(0,	h)P(m,	у)

291

Среднее число ТУ, ожидающих очереди на обслуживание, можно найти из выражения

	т — п		Р,Р (Л, Л)— —
	г =	Г Р п + Г -			гР(т -(п-\-г), х) =
	г=1	Я (О, Л) Р (т,		х) г=1
	^0Р(Л, ft)		[(т—п) —(т — п — г)]Р(т —п —г, yj —
	Р (О, А) Я (я, X)
		Г = 1
	=Яо	я (Л, Л)	(« —я)		P(m —n — r,	X ) -
		Я (О, А) Я (я,
			X)	Г=1
	— (т —п —г)Р(т —п —г, х)				PiP (h, h)		X
					Я (О, А) Я (я,	х)
	г=1
	X	К«г —n)R{m —п — 1,		х) —уЯ(т —п — 2, х)].			(7.2.13)
	Тогда среднее число простаивающих технических устройств
	будет		l — s-\-r.
							(7.2.14)
	Вероятность того, что ТУ будет работать, равна
			& = 1 ----- --				(7.2.15)
				т
	Среднее время простоя ТУ будет
			7fn = 7*р	1 ,			(7.2.16)

где /р = - ----- среднее время работы ТУ.

к

Плотность распределения времени ожидания в очереди най­

дем	из выражения,	аналогичного выражению				(7.1.24):
	/ h	п—1	\	т—п—1
/ о ч ( 0	= 8 ( 0 ( 5 ] л +	j = h +1	Р) | т	2	^ p ^ e - " » ‘Pn+r( t > 0).
	\ 1 = 0		/	г=0	’	(7.2. 17)

Используя тот же прием, который был применен в предыду­ щем параграфе при непосредственном определении среднего вре­ мени нахождения в очереди, из формулы

*ич = j * / о ч ( * ) Л

292

получим такое выражение [см. (7.1.25), (7.1.26) и (7.2.4)]:

т«’“Т 7 ^ й 17 г Т р(",- ('г+г^-»'(^ г)- (7'2И8)

г=0

Сумму, входящую в это выражение, можно вычислить по

формуле	(7.1.26). Следует обратить внимание, что при вычисле­
нии правой части выражения (7.1.26) нужно пользоваться фор­
мулами §	7.1 для вычисления величины р0 [см. (7.1.9)] и величи­
ны £ [см.	(7.1.13) — (7.1.16)].

Для нахождения среднего времени обслуживания	одного ТУ
можно воспользоваться равенством
^П^ОЧ+ ^О с,	(7.2.19)
откуда
^обс = ^п ^оч*

Ввиду небольшого числа формул не будем приводить сводки основных расчетных формул.

З а д а ч и и у п р а ж н е н и я

7.2.1. Рассматривается работа аэродрома, к которому припи­ сано 20 самолетов. На аэродроме имеется 4 ангара для ремонта и профилактического осмотра самолетов. (Число каналов обслу­ живания /г = 4). Оборудование ангаров допускает «взаимопо­ мощь» при ремонте самолетов только между двумя ремонтными группами (1=2). Каждый самолет в среднем через 5 суток дол­

жен либо ремонтироваться, либо проходить профилактический

осмотр: (х = — — -— )

Ремонт или профилактика осуществ-

\5 сутки)

ляется в среднем в течение суток [ц = 1------

Определить па-

\ сутки;

раметры работы аэродрома с точки зрения ремонта и проведения профилактического осмотра самолетов.

Р е ш е н и е

Работу аэродрома можно рассматривать как работу замкну­ той системы массового обслуживания с параметрами:

я = 4 ; т — 20;	/= 2 ;	h= \ ~	1 = 2;		Х = 0 ,2 — — ;
		[ I	\		сутки
ц = 1 —	; х =	—20;		« ,= - ^ = 0 ,1 ;
сутки		к			1\L
PiD	0,1	0,091;		^(0	0,909.
	1+ 0,1

293

По формуле (7.2.8) можно найти вероятность того, что все са­ молеты будут находиться в эксплуатации.

Предварительно определим значение следующих функций:

——————^^ = 3,90; P(ft, А )= 0,271;

Р ( 0, Л)=0,135; Р{т, *)=0,0888;

R{m —h — 1, х) —0,270.

Следовательно:

/V R ( m , h , p ([))

------------- u _

am 4(1)

1

= 0,100.

Р (h, h) R ( m — h — 1, у)

+ ------------------------------

P ( 0, h ) P ( m , y.)

Среднее число обслуживаемых самолетов [см. (7.2.12)] равно

7 = 2,80.

Среднее число самолетов, ожидающих обслуживания [см. (7.2.13)]:

г = 0,937.

Среднее число обслуживаемых и ожидающих обслуживания са­ молетов (т. е. самолетов, которые не находятся в эксплуатации)

7 = 7 + 7 = 3 ,7 4 .

Вероятность того, что отдельно взятый самолет будет нахо­

диться в эксплуатации:	_
5 = 1 ------ =0,813,
	т
т. е. около 81% самолетов	будет эксплуатироваться, а 19% —

ожидать ремонта или находиться в ремонте. Среднее время простоя самолета

t = t	- — -	1,15 суток.
П	£

Среднее время ожидания ремонта найдем по формуле (7.2.18):

^оч ~~9,36 суток,

откуда среднее время ремонта самолета будет

to6c= t n —t04 = 0,79 суток.

294

7.2.2. Условия задачи такие же, как и предыдущей. Требуется определить, насколько взаимопомощь увеличивает эффективность обслуживания.

Р е ш е н и е

Для решения задачи найдем сначала характеристики обслу­ живания без взаимопомощи, для чего применим формулы § 7.1.

По формуле (7.1.9) найдем вероятность того, что все само­ леты будут эксплуатироваться, имея в виду, что при отсутствии взаимопомощи параметры системы следующие:

//2= 20; п = 2; |х=1 — !— ;

сутки

Х =0,2 — -— ;

сутки

а

0,2

Р— ' 1 +0. 2 = 0,167;

q ==-0,833;

Z= 20.

Отсюда [см. (7.1.9)]

/?0 = 0,0205.

Среднее число обслуживаемых самолетов [см. (7.1.13)]

£ = 7 = 3 ,1 3 .

Среднее число самолетов, ожидающих обслуживания, найдем по формуле (7.1.14)

г = 1,01.

Среднее число обслуживаемых и ожидающих обслуживания самолетов

l ^ k A - r = A,\A.

Вероятность того, что самолет будет находиться в эксплуа­ тации:

; = 1 - — —0,793.

т

Сравнивая системы со взаимопомощью (задача 7.2.1) и без взаимопомощи, видим, что в данном случае взаимопомощь не приводит к серьезному увеличению эффективности обслуживания.

295

§7.3. ЗАМКНУТАЯ СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

СПОЛНОЙ ВЗАИМОПОМОЩЬЮ МЕЖДУ КАНАЛАМИ

П о с т а н о в к а з а д а ч и . В отличие от системы, рассмот­ ренной в § 7.2, где техническое устройство (ТУ) могло обслужи­ ваться несколькими, но не всеми каналами одновременно, в этом параграфе будет рассмотрена система, в которой возможна вза­ имопомощь между всеми п каналами. Например, если имеется

две бригады, обслуживающие самолеты, то один отказавший са­ молет будут обслуживать сразу две бригады, два самолета бу­ дут обслуживать тоже две бригады: каждая бригада будет об­ служивать по одному самолету. При этом предполагается, что

т \	(т-к+1)\	(т -к )\	{т-п+1)Х	(т - п ) \
n\i	n\i	яр.	n\i	пу.
	[т-п-г+1)\	( т - п - п \
	*v-	пр	nfj.
		Рис. 7.3.1
если одно ТУ обслуживается сразу h			каналами, то	производи­

тельность увеличивается ровно в h раз. Занятые каналы обслу­

живания могут распределяться произвольным образом между обслуживаемыми ТУ, лишь бы все они участвовали в обслужива­ нии. Таким образом, если отказало хотя бы одно ТУ, то все п ка­

налов заняты обслуживанием. В остальном рассматриваемая си­ стема работает так же, как и система, исследованная в §7.1 и 7.2.

При анализе такой системы массового обслуживания введем

следующие состояния:
х0 — все ТУ работают; каналы обслуживания свободны;
хк — отказало ровно k технических устройств				(k = 1, 2, ..., /г),
	все эти k технических устройств обслуживаются /г ка­
	налами, которые распределяются приблизительно рав­
	номерно между каналами;
хп+г — отказало ровно		/г + r технических устройств (r = 0,			1,
	2, ..., (т — п))\	из этого числа	ТУ п обслуживается		п
	каналами и г ожидает в очереди на обслуживание.
Граф	состояний рассматриваемой		системы	показан	на
рис. 7.3.1.
Этот	граф состояний	с точностью до	обозначений совпадает

с графом состояний системы, рассмотренной в § 7.1 и изобра­ женной на рис. 7.1.3. Следовательно, при определении вероятно­ стей состояний этой системы можно воспользоваться формулой (7.1.29):

296

	(7.3.1)
pn+r=-P£ m (n + r)''/-) (r=0, 1, 2,.	m - n ) , (7.3.2)
Л(«. x)
г д е
/2JJL	(7.3.3)
X = —r~
Среднее число простаивающих ТУ будет	равно [см. (7.1.30)]

ЛТ П — ' П

/==2	+	(/г+ г) /7'>+'= "г- х 0 - А > ) -	(7.3.4)
*=0		r=1

Среднее число обслуживаемых ТУ можно найти по формуле

5 = £ ^+ й S3/ W =			-----Ж*. г)	\ШY I ‘kP (т —k,	X) f
	&=0ft	г=1		L*=o
	т—п
+	/t	P ( m - ( n + r ) ,	x)	{/71 [/? (///,	X) —
			Я(«, у.)
- R	( m	- n - 1, x ) ] - x [ ^ ( / « - b x ) - R ( m - n - 2 ,			x)] +
		4-nR(in —n — 1,		x)K	(7.3.5)
Для нахождения среднего числа ТУ, ожидающих в очереди г,
можно воспользоваться равенством
		I— s-j-r,
откуда
		1 = 1 - 1 .			(7.3.6)

Вероятность того, что ТУ будет работать, найдем по формуле

5 = 1 - —	= — (1 -Р о)-	(7.3.7)
т	т

Среднее время простоя будет [см. (7.1.34)]

	1	1 - „ (1 - л )
1 = 1	1	ТП	. (7.3.8)
l n l p £			пр. 1 — />о

ТП	о)

297

Плотность распределения времени ожидания в очереди най­ дем по формуле, аналогичной формуле (7.2.17):

/ о,М = 8 (0 5 ] л +	£	(7.3.9)
k = 0	r = О

Среднее время ожидания в очереди

	~	m—i.—1
	<01= ^ / о ч (* )< « =	Рп+r ^ - Л|- ^ )Г er”*dt =
		г = О	О
	т —п —1	г-т—п		т—п—
=	Б	Y i r p n+r- i m - n , ) p m+		£ рп+г
	г=0	Lг=0		г=о
	1	тп—<	Р( т — (п + г); х)
		г = 0	(«. X)
	Т—(т — п — 1)рт4 R(m—n, х)			(7.3.10)
			Л(«. X)

Среднее время обслуживания одного ТУ можно найти по фор­ муле

*обс= *„ —*оч-

(7.3.11)

Ввиду небольшого объема этого параграфа не будем приво­ дить сводку основных расчетных формул.

З а д а ч и и у п р а ж н е н и я

7.3.1. Рассмотрим те же условия, что и в задаче 7.1.2, но при этом допустим наличие взаимопомощи между всеми каналами. Параметры системы остаются теми же. Найти те же характери­ стики системы, что и в задаче 7.1.2.

Р е ш е н и е

По формуле (7.3.1) найдем вероятность ро того, что ни один

самолет не будет нуждаться в проведении ремонтных работ:

	Ро	Р (т, х)		0,152.
		'<(т,	х)

По формуле (7.3.5) находим среднее число ремонтируемых самолетов

s = 2,18.

298

Далее, по формуле (7.3.4) найдем общее число простаиваю» Щих самолетов l= s + r:

1 = 4,00.

Следовательно, среднее число самолетов, ожидающих ремон­ та, будет равно

7 = 1 -7 = 1 ,8 2 .

Вероятность того, что отдельный самолет не будет нуждаться в ремонте, равна

Е =1-------

=0,867.

т

Среднее время проведения ремонтных работ и ожидания ре­ монта

7П= - — - — 1,53 суток.

^5

Среднее время ожидания в очереди будет равно

А)ч=^п—Т>бс=0,53 суток =12,7 часа,

т. е. снизилось приблизительно на 30% по сравнению со случа­ ем, когда взаимопомощи между каналами нет (см. задачу 7.1.2).

Приложение

Т а б л и ц ы р а с п р е д е л е н и я П у а с с о н а

В приложении приведены таблицы * значений функции

R (/7Z, a ) = \ — R{m,	а ) ,
где
R{m, а) = k —О k\	е~а
— распределение Пуассона.
Вероятность

Р { т , а ) = е ~ а

т\

определяется по табличным значениям следующим образом:

Р(т , a)= R {m , a) —R(tn— \, a) = R(m — 1, a) — R (m , а).

При а> 20 вычисление можно проводить по приближенной формуле

R(m, а) ж Ф*	т + 0,5 — а
			V *
где		X	_
Ф*(д:) = —?—		\	е 2 dt
V	t o	l

нормальная функция распределения, таблицы которой приведе­ ны в [2].

Таблица была специально рассчитана на ЭЦВМ В. К. Томшиным.