книги / Прикладные задачи теории массового обслуживания

При неограниченном увеличении числа специальных станций, следящих за целями т-+оо, получим

Hm P 0rJC(m) = 0,446.

/71—►эо

Сравнивая результаты решения этой задачи с результатом, по­ лученным в задаче 6.6.4, убеждаемся в том, что введение двух специальных станций, следящих за целями, в четырехканальной системе ПВО приводит к большему повышению эффективности по сравнению со случаем неограниченного увеличения числа ка­ налов: 0,390>0,380.

3. Система ПВО с ожиданием и взаимопомощью между каналами

Аналогичная система рассматривалась в § 6.3. При рассмот­ рении системы ПВО взаимопомощь между каналами состоит в том, что одну цель могут одновременно обстреливать / каналов, при этом эффективная скорострельность увеличивается в / раз.

	З а д а ч и и у п р а ж н е н и я
6.6.9.	Рассматривается четырехканальная система ПВО

(п = 4) с ожиданием (т = 2) и взаимопомощью между каналами (1 = 2). Характеристики системы ПВО следующие:

—скорострельность каждой пусковой установки

~_ J ____l _ .

^3 мин

—вероятность поражения цели одной ракетой

^— 0,570;

—станция наведения обеспечивается двумя пусковыми уста­ новками (g = 2);

— длина полосы обстрела а = 35 км\

—скорость налетающих самолетов при условии, что они не обстреливаются:

^„.□= 840 км\яас\

—скорость налетающих самолетов при условии, что они об­ стреливаются:

v= 1300 км\яас\

—средний линейный интервал между самолетами 1=7 км\

—число каналов п= 4;

—число станций подслеживания т = 2;

2Q1

— максимальное число взаимодействующих каналов 1 = 2.

Определить пропускную способность системы ПВО. Р е ш е н и е Рассчитаем параметры работы системы:

Iх	0.380 —— ;
	мин
ц =	— = 0,620— ;

амин

мин

1

v = - ^ - = 0,4

мин

Х = — = 2 —

мин

1_ - 2;

(А *

Ф= — =3,23;

T= - ! ^ = . * < b i J ! = 4 , 45.
Т)	1)

Вероятность р0 того, что будут свободны все каналы, можно найти по формуле (6.3.15). Ввиду того, что в нашем случае вели­ чина ф не целое число, нужно расчет всех функций R(m,a) и Р(т, а) произвести для значения [ф]—4 и [ф]+1 = 5, а затем итоговые формулы проинтерполировать на ф=4,45. Можно про­ водить и интерполяцию самих функций R(tn, а) и Р(т, а) на Ф=4,45. Остановимся на последнем способе*. Найдем значение следующих функций {см. (6.3.15)]:

Расчеты показывают, что в обоих случаях погрешность весьма мала.

262

Р ( л - Л + <Р, «!»)=/?(4-2+4,45; 3 ,2 3 ) = Р ( 4 - 2 +			4 ;	3,23) +
+ [Р(4 — 2 +	5; 3,23)- R	( 4 - 2 + 4 ; 3,23)]-0,45-0,966;
Р(<Р, ф)= /?(4,45;	3,23)=Р (4;	3,23) + [Р(5; 3,23)	- Я	(4; 3,23)] X
	X 0,45 = 0,727;

Я (/г+ср -й; ф)= Р (4 —2+4,45; 3,23)= Р (6; 3,23) +

+ [Р (7; 3,23) —Р (6; 3,23)]-0,45=0,0574;

Р(<Р, ф)= Я(4,45; 3,23) = Р(4; 3,23) + [Р(5; 3,23) —Р(4; 3,23)] X

X0,45=0,151;

Р(0, а*)= Р (0; 1,45)=0,224;

Р(А, ар = Р(2; 1,45)=0,252;

Р (8, у) = Р(Ь, 5)=0,176;

/?(Л, «*)=/?(2; 1,45)=0,810;

R (т + о, Y)= P (7,5) = 0,867;

Р(о, Y)= Я (5,5)=0,616.

Теперь можно найти вероятность р0 [см. (6.3.15)]:

р0= 0 ,166.

Для определения среднего числа занятых каналов k найдем значение функции R{h— 1, а;*):

Р(Л — 1, а*)= Р ( 1; 1 ,45)= 0,167.

Теперь по формуле (6.3.19) найдем среднее число занятых каналов Тс:

£ = 3 ,7 3 .

Вероятность поражения цели будет равна

Робе = -^— =0,709.

К

Сравним полученную вероятность поражения цели с вероят­ ностью поражения цели при отсутствии взаимопомощи при про­ чих равных параметрах (см. задачу 6.6.2). Мы видим, что нали­

чие взаимопомощи между каналами в данном случае резко по­ вышает эффективность системы ПВО: вероятность увеличивается на величину

А= 0,709 — 0,390 = 0,319,

т.е. приблизительно на 82%.

263

6.6.10. Провести качественное сравнение пропускной способ­ ности рассмотренных в этой главе систем ПВО при различных интенсивностях налетающих самолетов К (исследовать стацио­

нарный режим работы). Р е ш е н и е

Для краткости будем называть систему ПВО с отказами и упорядоченным обслуживанием, рассмотренную в § 6.1, первой

системой ПВО; систему ПВО с отказами и случайным распре­ делением целей, рассмотренную в задаче 6.6.6, второй системой

ПВО; систему ПВО с ожиданием и упорядоченным обслужива­ нием, рассмотренную в § 6.2,— третьей системой ПВО и систему ПВО с ожиданием и взаимопомощью, рассмотренную в этом параграфе,— четвертой системой ПВО.

Будем считать 1 йсе параметры рассматриваемых систем (п, р, Я, г), т, v) одинаковыми. Обозначим вероятность пораже­

ния налетающего самолета для первой системы ПВО Робе ; для

второй — Яобс , для третьей — Робе , для четвертой — Р (04б с , абсолютные пропускные способности рассматриваемых систем ПВО — Ао(1); Ы2)\ ЫЪ)\ ЫА) соответственно; будем рассматривать

эти величины как функции интенсивности налетающих самолетов А, при прочих равных параметрах (п} р, г], /п, v).

На рис. 6.6.10а показана зависимость вероятности поражения

самолета для различных систем ПВО от плотности налетающих самолетов К.

, Для любых систем без взаимопомощи между каналами (т. е. кргда одну цель может обстреливать только один канал)

с (0)= Ига Р (о2с(X)-	— е— (/ = 1, 2, 3).
Х-0	!л + ‘П

Другими словами, когда рассматривается малая плотность налета, практически одиночный самолет, вероятность его пора-

264

жения равна вероятности того, что за время пребывания его в зоне обстрела цель будет поражена. Поэтому, если рассматри­ ваются различные системы ПВО без взаимопомощи при малой интенсивностиналета, вероятность поражения цели практически не зависит ни от числа каналов в системе ПВО, ни от наличия станций подслеживания. Если рассматривается система ПВО со взаимопомощью с максимальным числом взаимодействующих каналов / (/ = 2, 3, ..., п) *, то

Яобс (0 )= 1 im Яобс (X)=

Х-*0

Эту формулу можно обосновать следующим образом: при налете одиночного самолета его будут обстреливать одновременно / каналов. Таким образом, общая эффективная скорострельность будет равна /р.

Следовательно, при малой интенсивности налета система ПВО со взаимопомощью имеет определенное преимущество по сравнению со всеми другими системами ПВО без взаимопомощи, которые обладают одинаковой вероятностью поражения цели.

Для любого А,>0 существует следующее соотношение между вероятностями поражения самолета для различных систем ПВО:

Pitе (X) > Pltc (X) > Pitс (X) > P (otС(X).

Однако при очень больших плотностях налета (при К— мх>)

разность между этими вероятностями будет стремиться к нулю, так как

lim я£бс(Х)=0 (/= 1 , 2, 3, 4).

Это означает, что при больших плотностях налета все рассмат­ риваемые системы будут практически иметь одну эффектив­ ность. Для разъяснения этого положения рассмотрим графики зависимостей абсолютных пропускных способностей всех систем ПВО, приведенные на рис. 6.6.106.

Для рассматриваемых систем ПВО существуют следующие •соотношения для абсолютных пропускных способностей:

4 4>(X) > XQ3) (X) > 4" (X) > 4 2) (X) (X > 0 );

при имеем

Хо0 (0) = lim XQ'1 (X)= 0 (/= 1 , 2, 3, 4), л-»0

так как в этом случае нет потока налетающих самолетов и сред­ нее число сбитых самолетов равно нулю;

* Максимальным числом взаимодействующих каналов называется такое число каналов, которое может одновременно обслуживать одну цель.

265

при Я.->оо получим

И ш 4 ° ().)=л}л(г = 1, 2, 3, 4),

X-*- оо

так как при большой плотности полета все п каналов всегда

будут практически заняты и общее среднее число сбитых самоле­ тов в единицу времени будет определяться только общим числом каналов п и эффективной скорострельностью каждого канала ц.

Таким образом, методы теории массового обслуживания сле­ дует применять тогда, когда интенсивность потока налетающих

самолетов X не очень велика (по сравнению с величиной п\х),		но
и не очень мала (по сравнению с параметром р, для систем		без
взаимопомощи и с величиной 1\л для системы со	взаимопо­
мощью) .	и любых
Это замечание касается не только систем ПВО, но
систем массового обслуживания. Поэтому, прежде чем	исследо­

вать подробно систему массового обслуживания, следует прове­ сти качественный анализ. При этом можно дать следующие прак­ тические рекомендации:

если для систем без взаимопомощи

или для систем со взаимопомощью

то можно практически считать параметр X малым;

если

>0 > 10/i[i,

то можно практически считать парамерт X большим.

266

6.6.11. Рассмотрим вопрос о выборе рационального интерва­ ла между самолетами при преодолении системы ПВО. В этом параграфе были рассмотрены различные системы ПВО. При этом для любой системы ПВО вероятность поражения отдельно­ го самолета Р 0бс при прочих равных условиях тем меньше, чем

больше плотность налета. Таким образом, при планировании на­ лета нужно уменьшать средний интервал между самолетами /, стремясь сделать его по возможности небольшим. Однако умень­ шение интервала I приводит к повышению требований к технике пилотирования. Кроме этого, при малых интервалах I возможно

поражение одним и тем же снарядом двух или более соседних самолетов, особенно если радиус поражения Ra снарядов ПВО

сравним с интервалом между самолетами /. Налицо противоре­ чие: с одной стороны, при увеличении плотности налета А, (умень­ шении интервала между самолетами I) вероятность поражения самолета Р0бс уменьшится за счет того, что система ПВО пере­

гружается, но с другой стороны, увеличивается вероятность по­ ражения одним и тем же снарядом соседних самолетов при на­ личии значительного радиуса поражения Ru. Следовательно, для

каждой системы ПВО (с ее характеристиками) и каждого типа налетающих самолетов существует рациональный (оптималь­ ный) интервал I между самолетами, при котором полная веро­ ятность поражения самолета Р будет минимальна. Обозначим полную вероятность поражения отдельного самолета Р\ вероят­ ность непоражения Q = 1—Р.

Очевидно, полную вероятность непоражения самолета можно определить как вероятность произведения двух событий:

Q= P{A-B),

где А — непоражение самолета теми снарядами, которые наво­

дились по нему самому;

В— непоражение самолета теми снарядами, которые наво­ дились по соседним самолетам.

События А и В, строго говоря, зависимы, однако эта зависи­

мость небольшая и приближенно можно считать, что

Q= P(A)-P(B) = ЯобсЯв,		(6.6.22)
где Р (А )= Р 0бс — вероятность	непоражения	самолета, вычис­
ленная как ранее (см. § 6.1 и § 6.3);
Р (В )= Р в — вероятность	непоражения	самолета теми	сна­
рядами, которые наводились по соседним			са­

молетам.

Вероятность Рв зависит от строя, в котором летят самолеты, и от

радиуса поражения снаряда /?п.

Допустим для простоты, что самолеты летят кильваторной колонной со средним интервалом /. На рис. 6.6.11а изображен

267

такой поток самолетов (по оси абсцисс откладывается рассто­ яние).

Самолеты, проходящие систему ПВО и не пораженные сна­ рядами, которые наводились на эти самолеты, изображены на рисунке кружочками; самолеты, которые поражаются наводимы­ ми на них снарядами, изображены крестиками, остальные само­ леты, на которые снаряды не наводились, также изображены кружочками.

У	X
+■	-о-
О	х
	Рис. 6.6.11а

Рассмотрим стационарный режим работы системы ПВО. Ес­ ли плотность налета была А,, то линейная плотность налета (сред­ нее число самолетов на единицу длины Хл) будет равна

Хл= -1 - 11км.	(6.6.23)
Связь между интенсивностью налета А, и линейной	интенсив­
ностью налета Ал следующая:
К = — ,	(6.6.24)
V

где v — скорость налетающих самолетов.

Введем в рассмотрение случайную величину X — линейное расстояние между самолетом, обозначенным на рис. 6.6.11а кру­

жочком, и ближайшим самолетом по направлению полета, поме­ ченным крестиком. Другими словами, случайная величина X —

это расстояние между самолетом, который не поражается наво­ димыми по нему снарядами, и центром ближайшего по направ­ лению полета взрыва. Если поток самолетов во времени был простейший пуассоновский, с интенсивностью А, то и поток само­ летов, изображенный на рис. 6.6.11а будет также простейшим с

интенсивностью	Ал.
Рассмотрим	любой	из самолетов,	обозначенных	на

рис. 6.6.11а кружочками. Для нахождения закона распределения случайной величины X введем в рассмотрение ряд гипотез:

Но — ближайший (по направлению полета) впереди летящий

самолет был поражен снарядами, которые по нему наводи­ лись;

Н1 — ближайший впереди летящий самолет не был поражен сна­

рядами, которые по нему наводились, а следующий за ним самолет был поражен снарядами, которые наводились по нему;

2 6 8

Hh — первые k впереди летящих самолетов не были поражены снарядами, которые по ним наводились, a k + l впереди

летящий самолет был поражен снарядами, которые по нему наводились и т. д.

Очевидно:

Р ( Я ^ Я обс( 1 - Я обс)*(£ = 0, 1, 2 ,...) .

(6.6.25)

Если имела место гипотеза Ни, то в этом случае случайная величина X подчинена распределению Эрланга &-го порядка с

параметром А,л, т. е. условная плотность распределения случай­ ной величины X равна

f k(х)= Хл	ё~Х*х (х > 0).	(6.6.26)
	k\

Тогда безусловную плотность распределения случайной величи­ ны X можно найти по формуле

ГО	оо
/ ( * ) = J ] / *	( * ) /> ( //* ) = £ Робе(1	X
k=0	k=0
х	е - ^ х=ХРобсе-1^ х(х > 0).	(6.6.27)

Следовательно, закон распределения расстояния между само­ летом, не пораженным наводящимися по нему снарядами и бли­ жайшим по направлению полета взрывом, является показатель­ ным с параметром ХЛР0бс-

Очевидно, такие же рассуждения можно провести о законе •распределения случайной величины Y — расстояния между са­

молетом, не пораженным наводящимися по нему снарядами, и ближайшим к нему взрывом в направлении, обратном направле­ нию полета самолета (см. рис. 6.6.11а).

Вероятность Ри поражения самолета подорвавшимися		снаря­
дами, которые наводились по другим самолетам, можно		найти
следующим образом:
Р а= р ( X > R a) ■Р (V > Ра)= < Г а лр о б с * п .	(6.6.28)

Используя выражения (6.6.22), (6.6.24) и (6.6.28), окончательно получим формулу для определения полной вероятности непоражения самолета системой ПВО с учетом возможности пораже­ ния самолета взрывом снаряда, который наводился на другие самолеты:

Q = (l —Робе)е * vR"P°6'

(6.6.29)

Рассмотрим пример определения оптимального интервала. Для простоты будет анализировать систему ПВО с отказами и

269

упорядоченным обслуживанием (см. § 6.1). Для этой системы вероятность Р0бс определяется по формуле

				R (я— 1, а*)				(6.6.30)
				R	( п , а * )
С учетом (6.6.30)	выражение			(6.6.29)		можно переписать так:
I		(X* R ( n ,	a*)		J	v V.» '	R(n, «•)	(6.6.31)
Если число каналов п= 1, то формулу						(6.6.31)	можно записать в
следующем виде:					2*>п»х __х_ _
		-ь X
QW				е	v	^ +		(6.6.32)
		р- + ^ + X
Напомним, что		р,* =		(А+	71.

В выражении (6.6.32) нужно подобрать такую величину Х(0), которая бы обращала полную вероятность непоражения самоле­ та Q в максимум:

Q(0) = maxQ(X).

(6.6.33)

При решении этой задачи нужно помнить о том, что величина к

ограничена сверху величиной Хв, которая определяется условия­ ми безопасности полета, а снизу — величиной Хн, определяемой временем всего налета. Поэтому нахождение максимума функ­ ции (6.6.33), как правило, нужно проводить численными мето­ дами.

В качестве примера рассмотрим систему ПВО (/г, к, ц, ri);

величина р принята за единицу измерения плотности потоков со­

бытий: р = 1 . Величина т)= — ; радиус поражения i?n=2,5 км; а

протяженность зоны обстрела а = 10 км. В соответствии с форму­

лой (6.6.24) имеем

р,= 2ц = — ,

а

откуда

х

Q(X)= 0,о -4- X е 1 , 5 4 - Х

1,5 + Х

При К— ИЗ, что соответствует случаю налета отдельных само­

летов:

Q(0) = lim Q (X)= J - = 0,333.

х - о

3

270