книги / Проектирование и расчёт крепи капитальных выработок

V + S	v
= £ ’ ( + — K p o)qs.vtti 2	Bsq -Siym 2	-f
	S = 1
+ E ' B's X-sqs,vm	J—V	(10.105)
	2
s=v

После приведения П0Д06Н1подобных членов и введения обозначения

6 i. / = '	1	при	i < /,	(10.106)
	п	при	t > / ,
	0			7

а также ограничения числа неизвестных ak, bk RO k = N, а неиз­ вестных A s, A's, Bs, B's до s — N lt уравнения (10.104), (10.105) примут вид

yv

v-k-2

г

ak

^a, A

. v -1 К к кт

(я

^7—(As+2), V----4 - ( k + 1). V -l) +

k=\

v-fc+2

v+fe

г

2

+ $k,

v+l^*<7- ( k + i ) . v + i m

—$ v , k + i h

J +

Z

kq k , v m

г

[

/

v+fe—2

/г—v \

- i . v -l7”

2

— tJk.ym

2

J —

6V. ft+A“ 4 %

v+ft~—2

— Sv, # - A . л- I ^

kfn

2

(m 4k-i, v+i 4"^ ^-2, v)—

(10.107)

y-fe n

w,

—

v+1 0 4 “ $k, 2) ^ Q-k, v™*

S=1

v—s

s—v

^S^o) ®V. S +l<7s.

V+S T

fis, v+l^

q~s, v*n

'

N)

6v, ь+l^s^

Qs.y/K

J>

(V =l,

3,

5,

k—v

W

r

/

v-fe

У

laA ^ .v+ l^V a.v'rt

2

+

Sv, ft+i^

V*.

) +

ft=l

fc-V+2 S

Г

(

v+*

+

J'+

fyfe lA . fc+1^ * \<7/г, v^

—hlk-1. v-lm

k—V—2

I'l

+ Sv, w - A . Л- l ^

(Чк-l, v+1 +

^Qk-2, v)Jl =

ф Г

V+S

=

У

L ( A —

0) 6 V, s+l^s, vm

2 +

S = 1

S— V

"1

+

6s . v

+ i

f7- i ss <.

2

6+ V ,

S + I B

A S<7-S . V W

2

J ,

10. 108( )

2

(V = 1, 3, 5,

N).

Чтобы найти перемещения их и					v,	в рассматриваемой области
в форме (10.53), необходимо			данную			систему		(10.107),		(10.108)
N + 1 неизвестных	решить	2 (JVX+			1)	раз,	представив		ее	в виде
Г [ а » . Л ,(0 + ь > .Л )(0] = я 1‘,( 0
*=1
					(v = 1,		3,	N,		(10.109)
j t y > . A > m + h .,b ? « > ]= D :a>m					; : j ; 1 3			4 )
где коэффициенты матрицы выражаются формулами
	у—ft—2
Aft, V = ^ 2, Ф к , v	- l ^ k f n	2	(^V-(ft+ 2), V ----Я - i k + l ) , V —l )						+
		v—ft+2				i-К		v+ft
4 “ $k, v+i^V -(ft+D . v+im		2								(10.110)
				— «v.H.1*			Qk,\Tn
					v+ft—2			ft—v ^
^ft, v = ®v. ft+зЛ	\kQk—lt v—1 ^						4k, j n
	V + ft-2
— 6 v. JV -16 V.	2		( m	V	f t - b v + 1 + ^ V f t - a . v ) —				(10.111)
						v—ft
— 6ft, V+1 (1 +			6ft, 2) ^ 4 - k ,			vm
		V — k						k—v
Aft, v — 6ft, v+l^7-ft.			2				4k, vm		(Ю .112)
			V + ft					ft-v+2 \
bk, v = 6Vf ft+1^ k Oft, vm				— fo/k-l, V - l m				; +
		k—v—2
~\~&V>N- i&v.k-ik^ krn			2		{.Qk-i, v+i			4k-2, v)»	(10.113)
а свободные члены имеют вид

r)(s) (0	_ _R n m
Uv	Ov. s+\4s, v”l

s—v		v+s
2	D v <s) (1> =	6V, s + i4 s . \m 2
V -

	D(vs) <2)	=	— 6 S, у+1Я5<7-5.		2	D ;(s)(2) =		0,		(10.114)
										V—S
	M s) (3) = 0 ,					J-)' (s) (3) _		c	-	m 2
					v+s	i/v	— Os,v+i7			—s. v" 1
	D<?> «> =	-	6V.s+iX~sqs,vm			£>;(s) (4) =	6 V.S+1Ar* <7S.
					2
		( s = l,		3,	Ях,	v = l , 3,			N)-
	Перемещения,			согласно (10.53), выражаются в					форме

2щ«.- Г М в">+Л'*? а+вА?т+в#? ">]-РА...,

s = 1

2|*Л = Е ' № ' <" + а'А»(2, +V Is) (3) + B > I(s) W)] - P ^ ,) (1)

S=1

10.4.2.1.Определения напряжений и смещений

Для определения напряжений и смещений в области S lt моде­ лирующей зону затампонированных пород, можно воспользоваться

формулами Н. И. Мусхелишвили
			ofr + <Je ==4Re <р' (г),					(10.116)
	аь- а г + 21хгв = 2 -^ - [гф"(г) + ф'(г)],
	2 pi (Mi + ivt) = и1(р(г) —ztflz) —ф(г),
откуда с учетом				z z = ra				(10.117)
вытекает
	<тг=	Re [ V		(Z ) -	(2) - ^ - ф ' (г)] ,
	ое=	Re | y		(z) +	гф" (г) + ~ V		(2) ] .
	Тre =		Im [2Ф" (2) + -^ -Ф '(2)] .					(10.118)
	2piMx = Re Охф (2)—2ф/ (г)—ф (г)],
	2 piOi = 1ш [ххф (г) —ztj/(z) —ijT^].
Учитывая	выражение			(10.62),	имеем
о, = Re |2ф' (z) — 2ф" (г) — ^ - [ ~ [ ф ( - 7						- )]	+ - 7	- Ф' (2)-
		iV						-п
								= (10.119)
		s*=1
-	R e{(s -		- ? - ) * ' < * > - * 0 +			■ ^ ) ф" (г)+

К^Я+^-f£ * Нт Г л

s = l

Аналогично

ae = Re |^2 4 - ”7 - ) Ф* (2) + 2 ( l +

л к л г л ^ к ^ г - Ч т П

s= 1

тл0 = Im

qp'(z)+ z^l +

<p" (z) —

- * к - f ) ] ' - - - r p i * ( т Г - - * ( i n }

( 10. 121)

Смещения выразятся формулами:

2p i«i = Re jx x<p(2)—щЩ + <p 2^ + 2qT(2) —

-£ м -£ К тМ -и и л = Re (Ххф (2)

s=l

( 10. 122)

-£ [* ш ш + ^ г(т Л

Аналогично

2 р л = Im |х хф (z) —( l

2ф' (2) + ф

z)

- £ к я ш ‘+*(^Г(тЛ

S = 1

Учитывая представления

	f	=		f e ‘W	9,
г	„_ге		,	/
—	= rxe			гг = —
Я				Я

подставим в формулы (10.119) — (10.123) выражения

w _*

’ « - Г К т ) +Ч т -л -

Л=1

/г = 1

Ш Ч -тГ '-М тГ ]

(10.123)

(10.124)

* = 1

-----L	p [а*гГ(*+,)е - ' <*+I) 9 - b ^ - 'e 1<*-*>e],
Я	*=i

<« - - k t *		[<*+' Ч т Г +”+<‘- 1> Ч т Л -
	k=\
=	^ Z k ^ k +	0 w T (k+2)e~l (ft+2) 0 + (k— 1) V i~ V <A- 2) e],
*	k = l

Z(f"(z) = — Ь [( Н 1) akrTik+i)(Tl (ft+I) 0 + { k - 1) bkrk le‘ (k~l)e] .

Я

* ( - т ) - Г К т У + Ч т Л -

k=\

Л ' { а Л т + ЬкгТк<Гт ),

k = l

К - ^ ) Г - т Г ‘[ Ч т Г - Ч т ) ' Л -

k=\

— i- f •* M	- 'e '	8 -	61гГ(,+|>е -‘«+■) s],	(10.125)
^ Л=1
-£■ [ ф ( - f - ) ] '= - г	£ ; м	- v	" +1> • - b n ™ * - 1	1*].
V M - ----- L p	[a ,rr,4+l,e‘ «+'>8-			8 ],

г7 Й = _ £ - Ц [а » г Г * в ‘,*+!,в-»»гГ е-“ ‘- !»8],

Л= 1

Ч^г)-ГКШ'*+^*(тЛ-

k=\

= r W e - i4e+ V 7 V ‘9).

*=1

Тогда формула для радиальных напряжений примет вид

а, = -jL[Re { £ • k [(гГ2—2) (а*гГ(А+,)е - ; <*+1)е_	V ^ e ' (*~1) е) -
- ( 1 - г Г 2) (А+ 1)0*гГ№+1,е‘ (*+,) 0— (1— гГ2) ( k	- 1) V f - 'e ' (ft- ° 0 +

+ акгкГ 'е ‘ (к+1) e- b krT{k+l)e - lik- l) 0 ] + £ * s U > r (s+,)e -' (s- 1)fl -

—	<S+I) 8J} =	- ± - \ f ; k [ a ll(rT(k+2)- 2 r T k- k r T k +
		l£ i
+ krT(k+2)-	rr* + r f (ft+2) +	rf)cos(6 + 1)0 + 6* ( - A~2+ 2A - kr\ +

+ r i + 6 rf- 2 —гкГ 2— rTk) cos(6 — 1)0]+ £ * s [ + r r scos(s— 1 )0 —

S = 1

—5s'"iCos(s+ 1) 0 ]} =

= - ^ - f j, k{ak [rkl +(k + 2) rTlk+2)— (6 + 3) rTk] cos (6 + 1) 0 +

^Г1	k=l
+	bk [(6 - 2 ) rf"2- гГй- ( 6 - 3 ) r?] cos (6 - 1 ) 0} +
+	1	S [Л^! s cos (s— 1)0 — B A cos (s +1) 0].

s=i

Аналогично получим формулы для нормальных тангенциальных некасательных напряжений

<+ =-77—У’6 (а* [(6—1)/+*—(6 + 2) rTlk+2)- A]cos (6+1)0 +

	^ г1	Л=1
	+	6*[(6 + 1) г ? - ( 6 - 2 ) r f - 2+ ГГА] COS(6 - 1) 0 ) -		(10.127)
	----- !— V * s [Asr~scos(s— 1) 0 —В'А cos(s + 1)0 ],
		R r l	s = l
V0	Rrt	£ * k	[(* + 2) гГ<Л+2)- ( 6 + 1) rTh- A ] sin (6 +	1) 0 +
		A=1
	+ bk[(6 — 1) A — (6 —2) A~2— rTk] Sin (6 — 1) 0} +			(10.128)
			s [Aj/Ts sin (s— 1)0 + Bsr\ sin (s' + 1)0].
		Л г 1	S= 1

Все компоненты тензора напряжений можно представить в виде

<'=Г[И ,-*.Л >°<... + ^У 'ма+вУ‘и” + в у ,т].

		S = 1
						(10.129)
Тогда
<r<5)(,) =		1 n(s) (I)		c<s)<2>-	1 [я<’><2> +Srr*cos(s— 1) 0 ],
		R ri		n(s) (4) _	Rri
„(s) (3)	—	1	nO) (3)		1	[^(Ч (■*) _ s/.s cos _|_ 1) 0 ]	,
KJr				u r	Rn
c<,s)<1) = _J— X {S) (1)				a4){2) = —— [X(s) (2) —srj* cos (s — 1) 0 ]			,
		R r i			Rri

_	1	Y (s) <3)
4 S)(3>=	Rn
__	1	'jr(s) (0
т й Г =	Rn
_	1	'T(s) (3)
т*е <3) =	Rn

Здесь, в свою очередь (s =

N

о Г 4>

cs

_<s) (4)

1, з,

1	[X(s>(4) + srf cos (s + 1 )0 ],
Rn
1	[T(s)<2) + s r f s sin (s — 1)0],
Rn
1	[ r <s)<4) +srf	sin (s + 1)0].
Rn
. , N lt i = 1, 2,		3, 4):

R (s) (0 =	E * * ( 4 S) <0 [A+ (k+ 2) r r (‘+2)— (ft + 3) /+*] cos (A + 1 ) 0+
	k = \
+	b f (i) l(k- 2) r t 2-rT k- (A— 3) A] cos (A 1)0},

-X<s> <° = E * A !o ls) (0[(*— 1)0 * — (A + 2 )r7 <A+2)— rf] cos (ft + 1 ) 0 +

k — \

								(10.131)
+ b \^ ^ f(A+			1)T\ —(A—2)T\			” + ri ]cos(A— 1)0),
7 (5) (1’>=	£ * А: (а?»<0 [(A+ 2) r7(*+J) —(A + 1) гГ*- r f ] sin (A +							1) 0 +
+	b f {i) [(A— 1) r? - (A - 2 ) А~2- г Т к] sin (A— 1) 0).
Определим		далее		смещения.		Исходя из	формул (10.122) —
(10.125),	имеем
2Н щ. = Re { Г		[w	r ‘e“ ,“ +			+ (l - л	2) (kakr V ^ <*+’>е-
	- k b kAe~l ™ 9) + akAe~ik(>+ ЬкгТкет ] -
		-	Г	(A'srVseise+ B’srle-is0)) =
	= Z " i[fl* (>Vi k+ A) +					bk fa r* + r 1 *)]cosA0 +		(10.132)
	A—1
+ A (1— r72) [akrTk cos (A + 2) 0—V i cos (A—2)0]) —
				Ni
			— Z " O V i		S +	B ' A ) COS S0 ,
2ц л =		Ё ' d A f a ''i+ 'i			*)— +(«!/-! * + /•*)]sinA0 +
		*=i
+ A ( 1 -		rT2) [akf r k sin (A+ 2)0 + bkr\ sin (A- 2) 0]) -

— Z * (^ sri s— B sri) sins0.

S = 1

Таким образом, можно записать смещения в форме

2щ «,-

£

' [ ( Л , - Я Л ) « Р 11" +

А',и? » +

Bjtf 0>+ B'tf>

].

S =

I

(10.134)

2m = S ‘[(/i-

я,р„)»!“™-м>!” т +

в

&

«»+а;<Р<'»],

S = 1

где

ti(S,(.) =

j/ (S,( . ) j

Ы(3)(2,

<2>_r r s c0ss6)

a («)(3) = £/p)(3)f

ср) <« = v [*>(1),

o(,s>;<2)= F(,s) (2>- r r s sins0,

V?

(3) = И 5)(3),

(10.135)

U U )

(4) = V

(s) (4) — r s c o s s 0 )

У(з) (4) =

у ( з )

(4) +

r s s i n

Здесь, в свою очередь, обозначено (при s —

1,

3, . . . , N lt i

= 1,

2,

3,

4):

и г 10 = Г

(И» “>( v T k+ rf) + b f <» М

+ rr*)]cosм +

k=\

+ &(1 —гГ2) [а*') (t)r~kcos (A + 2) 0 —

) {t)r\cos (A— 2) 0]},

(10.136)

Vf»« = Г

ДО w M

+ rTk) - a ?{ » ( *

/ + rf)] Sin m +

k=l

+ k ( l — rT2) [a* m rTk sin(k + 2) 0 +

b f (i)r\ sin(k— 2) 0]}.

Таким

образом,

задача

определения

радиальных, нормальных

тангенциальных и касательных напряжений (в полярных коорди­ натах), а также смещений в направлении осей Ох, Оу в любой точке области, ограниченной круговым контуром L x и эллиптическим контуром L 0, при произвольной нагрузке на границах решена.

Для того чтобы найти коэффициенты, входящие в систему урав­ нений контактной задачи (10.57), необходимо определить смещения

на контурах L x и L0. Смещения, как и напряжения,								на круговом
контуре		определяются			подстановкой в соответствующие фор­
мулы	значения г		= R ,	т. е. г г		=	1.
На	эллиптическом			контуре		L0,	учитывая (10.69),	имеем
		J - =	J L ( X ^ J L LW				- 1 (е‘9- т е - ш) =
		R	R \		х )
		= X	1[(1—tn) cos 0 + i (1 +m ) sin0] = pie<4>.					(10.137)
Отсюда
	Pi =	R = X-1 -\J(1—m)2 cos2 0 + (1 + m )2 sin20

= X-1	1—2m cos 20 -f- m2,		(10.138)
Ф = arg - j	- = arctg (~y	tg б ) .

Таким образом, чтобы найти напряжения и смещения на контуре L0, нужно в формулы (10.129) — (10.136) подставить значения

Гх = Pi, е = ф,

(10.139)

вычисленные по формулам (10.138).

При этом на контуре L 0 мы получаем напряжения в полярных координатах оп сте, т, 0. Для проверки удовлетворения граничных условий контактной задачи и для получения окончательных ре­ зультатов целесообразно на эллиптическом контуре L0 определять нормальные напряжения ор, нормальные тангенциальные напря­ жения <тф и касательные напряжения тРф (в системе координат, р, ф, связанной с конформным отображением внешности единич­

ного	круга на внешность	контура L 0).
Чтобы это сделать, сначала перейдем к декартовым координа­
там,	воспользовавшись формулами Колосова—Мусхелишвили:
	ах -\-оу = аг-\-а6,
	Оу— ох-f- 2ixxy= (OQ—or-j- 2ixrg) e		(10.140)
откуда
	ox= - - ^ -~6" +	—''~ <Te cos2ф—т sin 2ф,
	(r^ __ £ L+o0----- Of— £в_СО82ф + тг08ш2ф,		(10.141)
	2	2

тху = — — — sin 2ф+ Tr0cos 2ф.

Далее осуществим переход к криволинейным координатам р, ф по формулам Н. И. Мусхелишвили:

Ор аф = ох -j- оу,

(10.142)

СТФ— стр + 2ixw =	(ау — <V+ 2trху) е2'“,
где
J210’_	Т*©' (Т)

(10.143)

®'(Т)

Тогда

( = -£I ± ^ L + _5£Z^L Q1 + rxyQi,

261

_	O x +	О у
иф“	о	— Qi— txyQ*,

т —

трф~

где

Ох —	Оу	Qa+ TwQi,
2

Q1 = Re T! ^ T)- = Re т ,0 + т- Г З - .=

					со' (т)	1	+	тт2
								*
= Re т2 (1 +		2 т т -		гп2т~4) = Re-		т2 + 2m + т 2т ~2			(10.145)
1 + /п (т2+ т -2) + тп2						1+ 2m cos 20 + т 2
					__ (1 + т 2) cos 20 + 2т
					1+ 2т co s 20 + //22
			п	т	т2со' М(т)	(1 — m2)sin 20
			Q2 = I m - = = ^			1+ 2т cos 20 + гп2
					со' (х)
Таким образом, на основании (10.144), (10.141) окончательно
получим	на		L0
			Ог +	СТ0	°г °в	(Qi cos 2qp + Q2 sin 2ф) —
			2
					2
				— тre (Qi sin 2ф)—Q2 COS 2ф),
	'ф ■		oy Ч- OQ		o r — O0 (Qi cos 2ф-f- Q2 sin 2ф) -j-
			2		2
				+ Tr0(Qx sin 2q>— Q2cos2(p),					(10.146)
рф'	°r ~	ge- (Qt sin 2<p— Q2 COS 2<p) + тг0 (Qi cos 2<p +							Q2 sin 2<p).

Как уже говорилось, решение задачи 3 для кругового кольца, моделирующего крепь, может быть найдено как частный случай полученного решения задачи 1 при а = b = R lt R = R 2.

10.4.3.Решение задачи для бесконечной области

спроизвольно нагруженным эллиптическим отверстием

Рассматривается первая основная задача для внешности эллип­ тического отверстия при граничном условии

N ,

ф (9 +	=£*[M4 ~y+Bs("^r] HaLc’ (ШЛ47)
	s= l
где t — точка	контура L0.

Производим конформное отображение внешности единичной ок­

ружности Г на внешность контура L0 с помощью функции
2=(о (£) = Л (С —	(10.148)