книги / Проектирование и расчёт крепи капитальных выработок

Далее для решения контактной задачи нужно определить не­ известные коэффициенты A s, A's, Bs, B's (s = 1, 3, , N J разло­ жения нагрузок в ряды из системы (10.58), которую, как указы­ валось в § 10.4.1, целесообразно составлять как переопределенную,

содержащую Ап > Nl 1 ^ уравнений с 2(Лгх+1) неизвестными.

Для решения системы (10.58) нужно определить смещения w|s)(t)|b/,

(i =	1, 2, 3, 4; j	= 0,	1; s = 1,		3, .	. , N J	по формулам,
вытекающим из соотношений (10.135) и (10.136):
иЧ'т 1 г	и ? « ' \ ч	при	) = ' 0 ] 1
		—Я*гГ's COS S0Xt
		—ATV? COS S0X,			r tu " h r
				\ = 1,3
		при					(10.198)
				= 0,1’
		''sin s0 x,		v P <4>к = И “ ">ILo+ X- Visins0 x,
		-COSS0 ,		u P (4)		|t,— COSS0 ,
где		• sins0 ,				t, + sin s0 ,
		> 0 X=		arctg	' + m	tg e'	A
					1— m	j'
				‘J+ 6			(10.199)
		A —

В свою очередь,

u f >мL = £ •( [<,!’>“Jr*M V + r f ) +4Р	X
k=l [

X гг*)]COS£0Х+ &(1 — Х2гГ2) [4 S) U)X~kl 2krTkс о ф + 2 ) 0 ! - bP (i) x

X X~kri cos (k—2) 0X]),

k=\

+ r \j\ sin &0X+ k (1 —Я2гГ2) [als) <'l)X~k^ krTk sin (k + 2) 0X-f

+ bp {i)l~ kri sin (k—2) 0 j ) ,

(10.200)

U P <0 k = ( l + xx) £ * (aP (0 + bP (i)) cos кВ, k=l

N

Vi*>« k = (1 +*,) Г № w-af>M)sin46.

k = \

Входящие в уравнения					(10.58)	выражения	wos)(,)l г0>vo)U | г0
(i =	1, 3) определяются формулами (10.187). Остаются выражения
UI(S)(‘>|L„, O(IS)(<)| Z.0 (i		=	1,	3),	которые получаются		из	решения	за­
дачи,	приведенного	в	§	10.4.2, в		частном случае		а = b =	R lt
R =	R 2, т. е.
	A = Ri,	т = 0,			Я =	Xj = 3—4V2.		(10.201)
					#1

Представление формул (10.200) в указанном виде вызвано тем, что в коэффициенты матрицы системы уравнений (10.109), выра­ жающиеся формулами (10.110) — (10.113), входят слагаемые, со­ держащие Я* и Я- *, причем, поскольку Я = R x/A<i 1, то при боль­ ших значениях k одни из слагаемых приобретают очень малые, а другие — очень большие значения, выходящие за рамки возмож­ ностей вычислений на ЭВМ. Поэтому в системе (10.109) целесо­ образно ввести новые неизвестные

а*0 (,) =	а*1(0Я-*,
b f =	b f (0Я- *	(10.202)

Тогда при той же форме уравнений (10.109) относительно неизвест­

ных яais>(£)(0,

^b(k}.....<0 коэффициенты

матрицы этой

системы

выразятся

формулами:

v—А—2

(*k,A, V =

v^A, v—1^лт

2

( А

-( * + 2 ) . V

<7-(А+1), V- I ) +

V—ft+ 2

-I

V+ft

+

Sk, V+W-(A+1 ), V+Im

~

\JU °V,. k + ltfk t vm

/

у+А—2

A—v

\

^А» v — ^v» A+l

v+A-2

2

— Qk.vm

2

/ —

N - l & v , k - l k t n

2

( + 2? f t - l , v + 1 + Я.2<7*_2, V ) —

v—ft

(10.203)

—6ft, v+i (1 +

б*. 2) Я2 *<7-*, V7”

v—A

A—v

^A. v — ^A, v+ 1 ^

Q— k,

+

A+1*7A,

/

v+-A

A—v+2 \

^A, v = ®v» A+lWA.

A—v—2

— k c jk - i, \ - i m

2

/

+

+

^v.

A

- l ^

(?A -1 , v+1 "1" ^ Qk—

2, v)*

При этом формулы (10.200) перепишутся в виде

M s ) w L =

z * ( W

( х х Я 2 v

+ Л ) + ^ 5) <0 M

+ ^ 2 V

) ]

X

A=1

X cos Л0Х + k (1 —

Я2гГ2) [5 ft1(,V

V

COS (k + 2) 0x —51s) <‘Vf

x

274

			X cos (6—2) 01|j,
VPm\u -		£ • |[Й “ 10M			+ Л Г * ) -
		k=l
- a l s) (0 (xA2V	+	rf)] sin 601 + б(1-?Лг2)					{l)k2kr -k x
X sin (6 + 2) 0X+ b f (iVi sin (6—2) 0X]},							(10.204)
C/is) <0 L	= (1 +		*i) I *	^ [ais) «> +		b f <‘>] cos 60,
			k =\
V(,s) (,) \Li = (1 +			*i) Г	Я* [ 5	£	> ('>] sin 60.
			ft—l

Аналогичным образом должны быть переписаны и формулы для напряжений, что сделано при формировании окончательного алго­ ритма.

Напомним, что указанное решение приводит к получению до­ полнительных напряжений в массиве и затампонированной зоне, вызываемых проходкой ствола, поэтому к результатам определе­ ния напряжений в областях 5 0, 5 Х следует добавить начальные напряжения, определяемые формулами (10.41) и (10.42).

Ниже приводится полный алгоритм расчета, в котором в целях упрощения несколько изменены обозначения.

10.4.5.Алгоритм расчета крепи стволов при наличии эллиптической в поперечном сечении зоны

затампонированных пород

Исходными данными для расчета	являются: R lt	R 2 — внеш­
ний и внутренний радиусы крепи; а,	b — большая и	меньшая по­

луоси зоны затампонированных пород; Е0, v0 — модуль деформа­ ции и коэффициент Пуассона в естественном состоянии (величина Е0 задается с учетом коэффициента структурного ослабления трещи­

новатых	пород 6с);	Е 1, v x — модуль деформации и коэффициент
Пуассона	материала	затампонированной зоны	пород; Ё 2,	v, —
модуль деформации		и коэффициент Пуассона	материала	крепи;

у — вес пород в единице объёма (определяется с учетом взвеши­

вающего действия воды согласно [35]; \			— коэффициент бокового
давления	в ненарушенном массиве пород;		Я — глубина рассчиты­
ваемого сечения		крепи; I — расстояние вводимой в работу крепи
до забоя	ствола;	Яе — напор в водоносном		горизонте (задается
с учетом	коэффициента перегрузки п = 1,1);			60, 6Х, 6., — коэффи­

циенты фильтрации соответственно пород в естественном состоянии, затампонированных пород и материала крепи; Rt — условный ра­ диус питания, задается согласно [34] или [35]; N, N t — нечётные числа ( Я > Я Х) — число удерживаемых членов в соответствующих

рядах; п > ----- число точек удовлетворения граничных усло­

вий; Д0 — шаг по углу 0, отсчитываемый от малой полуоси эл­ липса, между сечениями крепи, в которых определяются напря­ жения, смещения и усилия.

Если Л0> 1 0 -4 м/с, то задания величин kQ, R t не требуется. О достаточности принятых величин N, N lt п для достижения тре­ буемой точности можно судить по степени удовлетворения гранич­ ных условий.

Расчет сводится к выполнению следующих операций.

10.4.5.1. Вычисляются массивы чисел qi, /, q u , q -u , q~i, / по ре­ куррентным формулам:

47. / — — 1

при

/ — 1,

3, 5,

«

Й1+2, j = —4 -(1 +

« + 0 0 + 2)

ЯЧ

/Ч -2) ( < - / +

2)

при

i —/,

j + 2,

N —2;

4 /./=

1

ПРИ

/ = 0,

2,

4,

,

N — 1;

Я

'

4

V + /' + 2) (t — / +

2)

qt'l

при

i = /,

/ + 2,

/V—3;

(10.205)

9-/. / =

1

при

/ = 1,

3,

. , Л/;

4 (l

(t — 1) (t — 2)

l"

2)>/

4

(< +

/ — 2) (/ — i + 2) 7

при

i = j,

j — 2,

/ — 4,

3;

<7~/,/=l

при

/ = 2,

4,

Л /+1;

-

,

(£ — l)(i —2)

-

4

+

( , _ , +

»

» -'•'

при

/ = /,

/ —2,

/ —4,

. ,

4.

10.4.5.2, Определяются

величины

R — Ri,

Xj = 3—4vx

x0=-3—4v0,

(10.206)

^ _ a + 6

,

_

a — 6

2

m

a + 6

A

10.4.5.3. С учетом

обозначения

_

f

1

при

i < /

(10.207)

l f

J

I f )

ппи

i

/

вычисляются коэффициенты матрицы системы алгебраических урав­

нений относительно		неизвестных	а/( ‘1(г>,	(А = 1, 3,	. , Л/;
s = l , 3 ,	, TVj,;	i = 1, 2, 3,	4), имеющей	вид

Z * [ ^ vais)(0 + ^ v ^ ,W] = M s)<0 Л=1

z	, [ « . ^ f <o+ s i.v tf ,w i - D ; <* m.		(10.208)
te=l
( v = l, 3,	, N, s= l1, 3,	. , Nu	i= 1, 2, 3, 4)

где знак * у сумм означает, что индекс суммирования увеличи­ вается на 2 при переходе к следующему значению.

Коэффициенты при неизвестных выражаются формулами:

гV - f t - 2

a kt v = k№k L6a, vbk, v - im 2 (^2<7-(*+2). v— 4-(k +i), v—I ) +
v—k-\~2 1	v-fft

+ $k, V+l4-(k+l), v+lm

J

К ft+1Як, jn

/

v-j-fe—2

ft—v \

^ft» v = ®v. ft+1 \^7ft—1. v - l^

Як, j n

)

6Vt ^ _ i6 v>

X

V-f-ft— 2

X m

2

(m 2^ - 1 , v+i +

^ Я к - г , v )— Sft, v+i (1 + 6*. 2) № k q _ kt v x

v—ft

X m

2

(10.209)

V—ft

ft—V

flft.v =

fift,v+l^2V -A .v ^

2

+

6v. *+i<7*,

2

/

y

ft—v+2 \

v+ft

J+Sv.

6*t v = 6Vt A+1 yfe,

^7ft-i* V-:im

2

ft-i^«

/г—v—2

X m

2

(<7*-l. v+l +

^Vft-2. v) •

Система (10.208) решается 2 (JVX +

1) раз при значениях s = 1,

3 ...........JVJ ;

i = l,

2,

3,

4 и

свободных членах, вычисляющихся

по формулам:

S+V

D<S)(1)= - 6

V.S+1^ . V,

- ,

£ > V M 1, =

<5V , S + 1<7s> v m

т

I

л л

Z?<f>(2>= —

6s, v+1k5q-s,ym

2

D ; (S)<2)= 0 ,

[(10.210)

Z)<s)(3) =

0,

D

r (3)= bs. , +1q

- , ^

S—V

V+S

^ > < 4> = - ; б , 5+1Я - ^ ,,т

2

^

,(4, =

6ViS+1^

SjVm‘ 2

В результате

решения

системы

(10.208)

для каждого

случая

s = 1,

3, . .

, N lt

i = 1,

2,

3,

4 находятся

(iV +

1) неизвестных

<#)(0,

г£>(0

(£ =

1,

з,

N).

10.4.5.4.

Вычисляются

при

значениях 6 =

выражения

(I = 1,

2,

, л):

2 ( п - 1 )

r = V 1—2mcos20 + m2,

в,_

a'ctg

tg е)

( 10.211)

и находятся величины

и <,’>10 = £ • {[oi»'»(х,Л-*+Г*) + Й? 1,1 ( * / + Л - ‘)> 3 *>, +

Л=1

+ й ( 1 _X2r~2) [а£> {i)l 2kr ' k cos (6 + 2) 0X—^ s) (,V

cos (6 - 2 ) 0x]},

V(S) (0 =

£ • |[ ftw <‘>( * / +

—ais><0 {v.J?kr~k+ r*)] sin 60! +

+ k ( i _ x V -2) [ais) (i)62V -fc sin (6 +

2) 0x + b

(‘V

sin ( 6 -

2) 0i]},

( 10.212)

£/{*> «> = (1 +

Kx) Z* ^ W s>(<>+ b?

{i)] cos 60,

/£=1

yf> “>=(1 +

*0

Г

Л* [6is) (l)- a l s) (,)J sin60,

а затем

6=1

«£>/*> =

u f (,)

при

1 =

1, 3;

uS?o(2, = ^o')(2)—XV_scoss0x,

u(sm =

{ /(S) (^ )_ x -V c o sS01,

^ V ° =

WS,(0

при

- l i ’j ;

x£>0<2) = £/J,s) (2)-X V -ssinsei,

o(^ (4, =

C

(4) +

6 ~Vs sin s0 x,

u(s) (2) =

^(s, <2>_coss0(

(4) =

U f «> _

cos S0,

(10.213)

<2) =

V\s) (2)— sin S0,

Ui,x(s> (4) =

vls) (4) +

sin s0.

10.4.5.5.

Определяются

при

s = 1, 3,

_

M*— 1)

2 (n — i)

(/ = 1, 2

n)

величины

,,(s)

(l) .

k 4 - s

m

s—k

)cos Ш ,

+

2

Wo

Z 4 . » ( K0m г

AP=1

4

W

6 — S

Uo)(2)= X0 YJ*Я-s.ktn

2

cos 60,

k = s

(10.214)

S

/

k^ - 4

s— k

\

TM ) ( 1)

= - ZT <7s. k \щ т

* — п Г 2 -) sin 60,

^0

k — S

^ )<3)= - * o

IV * * ™

2

Sin60.

10.4.5.6. Принимается

A1

m = 0,

Хх^З—4V2

278

и повторяется 2 (N x -f- 1) раз решение системы уравнений (10.208).

Полученные	корни обозначаются			bk)U) (k = 1, 3, .. , N;
s = 1 ,3 ,	, Ni,	i = 1,	2, 3,	4). Затем по формулам (10.212)
с использованием		корней	(i)	i>K1(l) вычисляются величины
W (,) , Po><l)(t =		1, 3), а	также	по формулам (10.213) — значе­

ния	ы$ <0, у!!о<0 (/ =			1,	3).
10.4.5.7. Определяются величины
(V	£i(l+vo)				Е1(1 ~Нуг)			а* = ехр(— 1,31/RJ,
	£o(l+Vi)				Ег (1	-f	v,)
									(10.216)
							In-	2Я,
	Ро — Аув Не					ki
			In	Я:	- ^ - \ П.а + Ь
									а + 6
				Я2			2Ri	k0
					In		R i		ЪуНа*
Pi = Ri		Ув He
		In	Ri		In	2Я,		In	2Rf
			R2		^1				a + b
или,	если	Л0> 1 0 -4	м/с, то
						кг	In а + Ь
		Р0 = А ув Н, —				h		2Ri
					ln_Ri_ + J i _ ln £ + ±
					/?2		^1	2/?1
					In		R i
		ГвНе			Яа		Я2	+ ЪуНа*
				In
						ki	In ■	2/?!
									(10.217)

и решается переопределенная система 4л уравнений, которыеibie со-­

ставляются для	всех значений 0 = п	^	(I = 1,	2,	л), от­
	2 (я — 1)
носительно 2 (iV2 -f 1) неизвестных A s,		A's,	Bs, B's	(s =	1, 3,
N i), имеющая	вид:

£ ■ ы, («а™- м ° "’) + л;„й и + в , w:’„w-	w	и) +
S = 1
+ в ;« й м] - . р ^ й ,|).
_§• [л , M S 1 |U ” " ’) + л'. <йт + В, Д О ” -	W	m) +

z • м		и > + л : ( « а »			-		+	в,«а+		в;(«а«>-
s= l
			- ш « й в,) ] - р Л				<1)- ь р . г и <|,>
г ч	- ы	г 1 + ж (»й я			-	M S	o,)		+	+ в; (ей №—
S=1
10.4.5.8. Принимается					A = _a±b_t
		т :	а — b	.					Х=	Ri	(10.219)
			,		..		2	,
			а+Ь							А	'
и при 0 <		0 <	я/2 с заданным шагом Д0 вычисляются величины
ио)<1>,	Vo)(C) (i = 1,3; s =				1,	3,	,	N{)	по формулам		(10.214)

и находятся смещения в массиве на контакте с зоной затампониро-

ванных пород по	формулам:
U . - J 4		^	- £	- и . 4 ,М1) + в л и 4
		Ео	s= l
			Nt		( 10.220)
v u	=	-	^	r M m + B A ,,m l
	Е	о	5=1

а также полные напряжения в тех же точках массива по формулам:

N ,

о ? » - - - 1 Г и^ У ’+в,^'1’] -

А (1 + 2т cos 20 + т2) s=l

	<$>“ =							z - u ,< r a '" + B ,< > “ ] -
			A (1 +2mcos20 + m2) s=l
					/	P0Q ,		Pi	(10.221)
					V	A	^	R j 9
					1			Ni
								Z ' [ A A m + B A a b
			A (1 + 2m cos 20+ ^ 2)
	где							s= l
		S		S—V
	o(ps) (1) =		vqs, jn		[m (1 +		тУ—]') cos (v +		1) 0 + (1 + тУ+1) cos x
				2
	v*=l					X ( v - l) 0],
	OpJ<3) = z *			v<7-St Vm		2	[cos (v + 1) 0 +		m cos (v— 1) 0],
			V=S
	(I) =		S	S—V
			2 J * vcJs. -jn 2		[m (3тУ-1— 1) cos (v + 1) 0 + (3mv+l —
		v=l
					— l)cos(v— 1)0],				(10.222)

N	v—s
CT(s) (3) = 3	vq_ s v/n 2
V = S
S	S— V

[cos (v +1)0 + m cos (v— 1)0],

Tpej0	=	v^s, vm”	[m(mv-* — 1) sin (v + 1 ) 0 + (mv+> —
	V = 1
			— l)sin(v— 1)0],
T$ 0(3> a		v<7_ s,vn- 5 - [sin (v +		1) 0	+ m sin (v— 1) 0 ].
	V = S
10.4.5.9.	Производятся		вычисления	при	0 < 0 < я/2 (с; шагом
А0) по формулам (10.211) — (10.213) с учетом соотношения
		[х! = 3—4vb Л = -^			(10.223)
и определяются		смещения на внешнем L0 и внутреннем L x конту­

рах сечения затампонированной зоны по формулам:

		+ B's ol:)/(4)] - P 0t'(i!,/(,)J •			(Ю.224)
С учетом (10.211) находятся			при i = 1, 2, 3, 4, s =	1, 3,	, WX
величины:
R (s)o w = T		k (a*s) (i>[rk+ (k + 2) X2<*+V<*+2>_ {k + 3) X2kr- k] CQS (Л+
	k—\
4-1)0! + bp w [(As—2) X2rk~2- X 2kr k ( k - 3) r*] cos (A— 1) 0X},
^	k=\	Л {aif»<0С(Л—1)	(A+ 2 ) Л.а CM-i>r-€*+®>_^ cos (Л +
+ 1) 0X+		(<) [{k + l)r* -(fc—2) x V ^ + X^r-*]cos (6 - 1 ) 0X),
					(10.225)
7t><‘>=	£ ’	k {a£s) ('>[(k + 2)X2<*+V(*+2) _ + + 1)X2kr		k - r k] sin x
	k=\
X (6 +	l)0i + 5i5)<0[(/г— 1)rh— (k— 2)X2rk~2— X2kr k] sin(k— 1)0!},

Xj*)W = 4 % , 'k W (i)cos (Л— 1)0— a p (<) cos (A:-f-1) 0] Л* &=1

и значения		<s>(I)	0<S)<2>=		R)(S)V>(2)W + Sksrs		cos (s_	1} Q1(
, ( s > О )
	= Rb‘					5г	5-
CTrf (3) =		R Qs) (:),	T(s) (4).		Ro](	—S S ,
				=		(4) — sT V COS (5+1)0!,
ffg (I) =		(1),	Оф* <2’ =		x p	(2>—sk5r~sCOS (5 -1 ) 0!,
								(10.226)
огф}(3) =		Xo5)<3),	Оф’(4)=		Xos) (4) + sk~srscos (sj+			1);01(
T^a(1) =		7t>(1),	T	=	Tos) (2) + sXV-s sin ( s - 1) 01,
т<5ф>,(3) =		n s,:(3\	T<1(4) =		T P (4)+ s T V		sin (s +	1) 01.

	a ‘f <2) = scos(s— 1)0,				(l) =	—scos (s+ 1)0, o(^ = X (is>(l>,
		<	<3>=*{s) <3).		4 s! <2) =	X\s)<2)- s c o s ( s - 1) 0,
				<$ (4)= x l<>(4) + sc o s(s+ l)0 ,
		T(s) (2) =Ssin (s— 1) 0 ,				1# W = ssin (S +		!) 0 .
		„(5) (I) _ _(s) 0 ) _			_(s) (1) _	Vs) <3) _	n
	Определяются дополнительные напряжения на внешнем L0 и внут­
	реннем	контурах зоны затампонированных пород по формулам:
			N,				(s) (3)	+	B ; ^ S)(4)J -
	Овнеш =	- J — | £ *		| А ° 0	’ (I) + A s 4 S) (2) +
							B sOKo
		Аг	U=1
					- P o 4 1,(1>1				(10.227)
						/•
	'внутр =	+ - (Г		[A f i t т + A .’ <rf> +			В,а ? »> +		в : <г!я «>]-

R 1 ls= i

( I ) 0 )

- Р о ° I

где символом о обозначены все компоненты тензора напряжений. Производится переход на внешнем контуре L0 к нормальным напряжениям сгр, нормальным тангенциальным напряжениям сг0

и касательным напряжениям тр0 по формулам:

__	оТ		-f- oL			т	т	1
	г внеш		I ф| 1внеш		, + внеш °<f внеш ,/ - \ __„ QQ
-'рвнеш			2	- Н-------------------- Г-----------------(Ql COS 2 0 i				+
“				1			2
~Ь Q2 sin 20х)—тг фвнеш (Qi sin 20х— Q2 cos 20!),								(10.228)
				ОТ		— о
^ 0 внеш — "	г +	° Ф	I	г	внеш___		фвнеш (Qi cos 20i+Q2 sin20i)+
	2					2
		+	Т/-фвнеш (Ql Sin 20i				Q2COS 20i),
TTL	_	T	внеш	T
		° r		°фвнеш		(Qi sin 20i—Q2 COS 2 0 I )| +
1р0внеш —

гфвнеш (Qi COS 20i -f- Q2 sin 20i),

282