книги / Проектирование и расчёт крепи капитальных выработок

где

л	Q -\- Ь	т =	а — b	(10.149)
А = ——— ,			а + Ь
Тогда на контуре	L0		m \
				(10.150)
		-	у
где т = е*е — точка	единичной окружности Г
Граничное условие (10.147) в преобразованной области прини
мает вид

т (т)+w	^ + ? й “ Г			(т _ ^ ) ’+ в -(т _ т - Л
		S= 1
						(10.151)
Произведем операцию комплексного сопряжения. Тогда, учи­
тывая формулы
	т — —	,	F	( T ) = F {	X ) ,	(10.152)
получим на	Г		1
	- (			,
	СО(т)				ф(т) =
	Ч т )	0)' (т)		ф' (т) +
	Nx
	= Y J'[ AS ( l —	mTJ + Bs (“ — mt)~S] •				(10.153)
	S = 1

Комплексные потенциалы <p (£), ф (£), регулярные вне единич­ ной окружности Г, отыскиваются в виде

Ф (9 = Z flv0)r v	Ф (9 =	Е	( ю. 154)
V = 1		V = 0
где в силу симметрии коэффициенты а®*,		^ 0) (v = 1, 2,	N)
вещественны.

Тогда входящие в граничное условие (10.153) выражения имеют

вид

ф(т)= Z		ф'(т)= — Z		vat0)T“"(v+I),
V =1			V=1
Ф Г— 4) =	У	a$V ,	N	Ь [ \~ \	(10.155)
			ф (т) = У
V т /	v=1		v=0
- / 1		Т - тт
СО( т )			т (1 — тта)
со' (т)		1+ тт_а	Та + тп

263

Выделив в последнем выражении (10.155) целую часть путем деления двучлена на двучлен, получим

- /

1

(О(т)

—тт+ т (1 + т 2)

(10.156)

й>'(т)

т2

т

В результате входящее в граничное условие (10.153) выражение

=(т)

примет вид

— 4 т -о/ (т)

со'(т)

- /

1

N

со

\

х J

, ,

v

(0) Г

—V

1+ т2

—V1

V1

(10.157)

со' (т)

■p(T) =

Z val

Г

т ~

- ^ г

Т ] '

V = 1

- /

1

откуда следует, что функция-

со( т ) _

со'(т)

ф' (т) регулярна вне окружно-

сти Г.

dr

Умножаем граничное условие (10.153) на ядро Коши- 1

2ni

т — £

и интегрируем его почленно по контуру Г дважды, считая точку последовательно расположенной вне и внутри Г. Интегралы типа Коши от отдельных слагаемых левой части условия (10.153) имеют вид

0

при

£ вне Г,

-

U (

— ) —

- / 1

J

\

при

.

г

(Ю.158)

i

J

V X )

т —С

^ ф

£ внутри Г,

v

'

Отт/

J

ЛИ т

'

dx

т —£

-со/

1

(т)

при

£

вне

Г f

& ф' (£)

<о' (О

0

при

£ внутри Г,

dx

_ (

—Ф (£ )+ 6(о0)

при

£

вне

Г,

г

I ^ 0)

при

£ внутри

Г.

Интегралы типа Коши от слагаемых, стоящих в правой части граничного условия (10.153) с учетом разложений (10.80), (10.81), обозначений (10.84), (10.86) и соотношения (10.87) имеют виД

N,

1 г V

2яг Г s=l

	TV,	s	S+V
	ч*	r-n*	2	V	d i
--= г1Г		1>	•J T l	T
	Г 5=1	V = —S
TV,	s
ч* m*		л	£ v	при	£ вне Г,
£
S=1	V =1				(10.159)
TV,	s	s-j-v
— m*		2	£v при £ внутри Г,
	^

=1 V = 1

Гs= l

	TV,	OO
	Г s= l	v=s
		при £ вне Г,
TV,	oo		(10.160)
Л*Г™1*
^	Bs<7_s>y/ra 2 £v при £ внутри Г.
S= 1	v=s

Ограничивая число v до N и изменяя порядок суммирования согласно (10.89), получаем

^н г ч т — у - а

Гs= l

TV	TV,
l* г -i*			2	С	v при £ вне Г,
^	^	A sqs,vtn
v = l	s=v
TV ^	TV,		s-l-v
	^	i4s^s.vW	2	£v	при £ внутри Г,
V=1	s = v

г1 2 ‘в- ( т — r - ^ r -

Гs = l

	0	при	£ вне	Г,
	TV	v	v—s	(10.161)
	Ti* H* BsQ-s.vfn 2
				£v при £ внутри Г.

V=1 S=1

Подставляя полученные значения интегралов (10.158), (10.161) в проинтегрированное при £ вне и внутри Г граничное условие (10.153), имеем

? ' ( 9	- W +	^	=	Z	‘ Z 4 ?	s > v m V £ — v ( Ю . 1 6 2 )
®'(0				V =	1 s = v
N	s N t			v+s	v	v—s \
Ф(—) + C = ZД Z*Л					+2Z ’5^_SlV/n 2 J|v
						(10.163)
Учитывая, что на основании представления (10.154)
	? ( Y	) =	vE	OVT .		(10.164)

и приравнивая в правой и левой частях уравнения (10.163) коэффи­

циенты при одинаковых степенях			переменного £, получаем М.0) = 0,
ь р = 0,
JV,	v-f-s	V	V—s
Z* A ; ^ . vm	2	+ Z * B iq -SlXm 2 при v = 1,3,		. , N,
Is — \		s—1		. , N ~ \ .
0			при v = 2 ,4,
				(10-165)

Таким образом, отличными от нуля являются только коэффици­

енты а<0) с нечетными значениями	индекса v,		т. е.
ф (9 = Е	Ч 0)Г *		(10.166)
Отметим, что индекс суммированияV=1		s ограничен нечетным чис­
лом 5 = Nx. Таким образом, если	N > N lf то		при V> JV1 первая

сумма в формуле (10.165) обращается в нуль, во второй сумме

(10.165) при	v > A r1 суммирование			производится только			до	значе­
ния s = JVJ.	обозначение		(10.106),		имеем при v =	1, 3,		N
Учитывая
	N , г		v-f-s		V—s \
а Г =	Z'[t> v, s+1A sqs,ym 2 + 6 S. V+1BS<7_S>v/n					2 J .	(10.167)
S=1
Из уравнения (10.162)			получим
				Nx		5—V
Ф(£) =	<■>' (£)	Ф	Ч 0 - Г	z	K s+ iA sqs,^m	2 £~v.
			V=1	S=1

10.4.3.1. Определение напряжений и смещений на контуре эллиптического отверстия при произвольной нагрузке

Как известно, напряжения на контуре отверстия могут быть определены по формулам [43]:

а р 0 = | й'(т)р' Re |2оУ (т) У' W — т 2 [ ® (т) ф" (т)—

-^ У Т)- фЧт) + со'(т)Ф-(т)]},

			<Тф»=		R e \2оУ (т) ф'		+ т2 [® W ф" (т) —
					— ф '(т)+ (о'(т) ф' (т)]| •					(10.169)
					ф„ ^	---- (Т)- ф' (т)+©' (т) ф' (т)JJ,
а	смещения			в направлении осей Ох,			Оу — из соотношения [74 ]
				2р0 (u0— iv0) = *0ф"(т)-----ф' С*) —Ф(т)-						(Ю. 170)
	Подставив в формулы (10.169) выражение ф' (т), найденное на
контуре L0 из соотношения (10.168), имеем
			Р"		• Re |2со' (т) ф' (т) —т2 £со (т) ф"(т)—
				|«о'(*)1*
	-		^ . , ; (т| * w —»'w			iniF‘>,<[! .7 ,y )“' w			ф-м -
—		м	“Z’1. ф"w + м' м Z’ S ’к . .««л а ,						т-iv+ul) _
			со'(т)		v=i s=i					J]
				I со' (т)|2	Re |2co' (т) qp' (T) +		x2 со (т)' ф' (т) —
				-Ю' (т) Z* Z* К s+ivA sqs, vm ^ -				T-<v+1>l) •		П П 1714
				V=1	5=1			I
	Поскольку на основании (10.150) справедливы формулы:
(о(т) =		А ^т-----j ,			ш (т )= А ^ -|-----тх^,			© '(т) =	А (1 + /я т -2),
			со'(т) = А(1 + т т 2),			(о(т)'=	—А(т_2 + т),			(10.172)
то	можно записать
					со(т)'= —т-2© '^).					(10.173)

Тогда формула (10.171) для определения нормальных напря­ жений на контуре L0 примет вид

267

Ч	0	=	|	Re I"« ' (т)ф' (Т)— ®' (т) Е* Е* 6v. s + l^ s ^ s ,			т 2 х
			I® (т)|2	L	v=i	S=1
					—(V— 1		(10.174)
					"1)] .

Аналогично получаются и формулы для нормальных тангенциаль­ ных напряжений 0 ,ро и касательных напряжений тРФо на контуре L0:

< 4 = —

,*т)|8

R e £зо)'(т)<р'(г) +

o ' (т) Е *

Е * К * + i v A sq s, v X

S—V

X т

2

(10.175)

.

Г ________

N

N i

s—V

Н '

— —

1ш

©' (т)ф' (т)+

(О7 (т) Е* Е* <5V, s+ivAsQs. J i t

2 X

(W

L

v=i s=i

X T ~ <v—*> ] •

[(10.176)

Подставив в формулу (10.174) выражения из (10.172) и полу­

ченную на их основе формулу

| ю'(т)|а=

со'(т) со' (т) =

А2(1 -j- т ~

2)(1 +/пт2) =

= A2(l+ 2 m co s2 0 + m 2),

»

(10.177)

с учетом (10.166)

имеем на L 0

Opo-

----------------------- -—

--------------- Re Г —

А (1 +

тх2) Л

* V O ^0)T _ ( v + 1 )

—

А2 (1 +

2т cos 20 + т г)

L

'

N

s—у

т

— А (1 + т х ~ 2) Е *

К s+i*Asqs, vm

2

x-(v-D

=

V=1

S=1

J

----------------------------------------------Re Г-

E *

VO£))T- ( v+1) -

A (1 +

2m cos 20 + m2)

L

v=l

—m E * V(340)T_ (V _ ,) — E *

E * fiv, s+iv^s7s. vm~1 ~T-(-v~l'>—

V=1

V=1

S=1

-m

s=l

J

v=l

,

0

W

Г /

s—v \

cos 20 -f- m ?)

Z

V

L

(at0) + mE*Sv,H-i^s7s.vW 2

Jx

A (1 —f—2m

v=l j

\

s=l

/

X cos (v -H ) 0 +

+

E * 6V, 5+1AS9 s, v/n

2

)

cos(v— 1) 0J •

(10.178)

Подставляя сюда выражение для ау0) из (10.167), получим

			IV	JV,	(	S—V	г
°Гр°	А (1 + 2m cos 20 +		Z*	Z ‘ V \6V( s+lArfs. v/n 2			[т	(1 +
			т2) v S
	+ mv- ‘)cos(v+ l)0 + (l+ /n v+,)cos(v— 1) 0 +
+ 6 S,V+1B ^_S, vm			[mcos (v— 1 )0 + cos (v +			1) 0] )•		(ю. 179)
Формулу (10.179) можно представить в виде
		s=l						(10.180)
где
			1		N
„ w (1) -
					Z*6v.s+1vqs,vm 2 х
аРо	—	А(1 + 2mcos20 +
				m2) v=i
X [m(l + m v” 1)cos(v+ l)0 + (l+ m v+1)cos(v— 1)0],
„<*> (3) —			1		N	V— 5
					Z * 6 s>v+1v<7_ s,vm 2		X
aPo	—	A (1 + 2m cos 20 +		m2)
					v=l
		X [mcos(v— 1) 0 + co s(v + 1)0].					(10.181)

Аналогичным образом определяются нормальные тангенциаль­ ные напряжения аф и касательные напряжения тр)Р() на контуре L0:

						N,
				< v = Г			^ Г ’+ в Х » '» ] .
					s=1
				^		S = 1			+ В . 4 Г ] .		(10.182)
где
						1			N
	a00 (1) =		_______
									Z * 6 V, s+lV(7s, v tn 2		X
		Фо		A (1 +	2m cos 20 +				m2) v^i
	X [m (3/nv_1— 1) cos (v +							1) 0 + (3mv+1— 1) cos (v— 1) 0], (10.183)
°Фо (4)	= ------ _		3	o f l,	-	Z *		««. v+lv<7-s.		[cos (v + 1) 0 +
		A (1 +		2m cos 20 + m2) v=l
						+ m cos(v— 1)0],				s— v
T(s) 0) _				1				N
								XI* 6v, s+1vqs,vm		2 [т(тУ~х— 1) x
т РФо	—	A (1 + 2m cos 20 +				m2)
								v=l
			X s in (v +		l)0 + (mv+ *— l)s in (v — 1)0],
T(s> (3) _				1				Z*	v+iv7-s.	[sin (v +	1) 0 +
трФо	—	A (1 +	2m cos 20 +			m2)
								v=i
						+ /nsin(v— 1) 0].
Определим, далее,				смещения на контуре 1 0-

269

Согласно формуле (10.170) после подстановки выражений ф (т) из (10.168) и ф (т) из (10.166) имеем

2Но («о—iv0) = «оф М ---- p f f -

ф' (т) +

^

ф'

(т) +

+

Z *

Z * 6v. i+ l ^ ? s ,v , t n

2

T - v = Ко

a v0>TV +

v= l

S = 1

v= 1

N

N ,

s—v

r-.

+ E* EX

(10.184)

V=1

s = l

Используя

выражение

(10.167),

получим

N,

N

Г

/

V + S

2 р 0 (Ыо— iv0)= Е* Е* LXolA.s+Hs?

2

+

_____

^

.

S» V'т

S = 1

V = 1

+

6s, v+1Bs<7_s,vm

V— S \

S— V

- |

2

A V+ 6V. S+I +<7s. V«

T

-

VJ- (10-185)

J x

,

1 i 4 s ( ,

m 2

.

После разделения действительной и мнимой частей имеем на L 0

2щ^„ = S* [-4 ' <" + S,«S,( 13’] ,

s= 1

Nt

	2р0уо = E ’ U+o* (I)+ BS^S) <3)J .						(10-186)
где			s= 1
	N		/	v+s		s—v \
«0S> U) =
	E* 6 V. s+i^s. V			2	+ m	2 J cosv 0 ,
<s>(1)		= ЩE* 6 s .v + l< 7 -s .v ^			2	COSV0,
Ho
			v= l
							(10.187)
	N		/	v+s		s—v \
^ (" =	E			2	— m 2		Jsinv0,
	- E		‘ fiv,s- .? ,v U m
	V=1
			N		v—s
Уо5)(1,=			— Ко E* 6 s .v + lfl'-s .v m 2			sin V0 -

V=1

Таким образом, найдены все выражения смещений на линиях контакта L0 и L lt входящих в систему уравнений (Ю-58) для опре­ деления неизвестных коэффициентов разложения нагрузок в ряды.

10.4.4. Составление алгоритма расчета

На основе приведенных выше решений можно составить полный алгоритм расчета крепи стволов, сооружаемых с применением ком­ плексного метода тампонажа трещиноватых горных пород. Пр и этом последовательность выполняемых операций должна_включат ь

определение необходимых массивов чисел q u , qc,/, q-i,j, <7_*,/,пофор-

мулам (10.84) — (10.87), величин Л и т по формулам (10.70), (10.68) в решение 2 ( N X+ 1) раз системы уравнений (10.109), коэффи­ циенты матрицы и свободные члены которой выражаются форму­

лами (10.110) — (10.114). После этого			должны быть		найдены	ве­
личины иls) (0, v[s) <0 и vj(s) (t), v\s) (l) (s =			1,3,	, N ±, i	= 1, . .	,4)
на контурах	L0,	Ь г соответственно по формулам (10.136), (10.135)
и величины	uoUt\	и(05)(1) (s = 1,3,	, N lf	i = 1, 3) по формулам

(10.187). Путем решения той же системы (10.109) для частного слу­

чая R = R 2,		А, =	т =	0,	= 3 —4 v2 и подстановки	ее кор­
ней в	формулы		(10.136),	(10.135) определяются величины		^is)(0,
v ls)(0	(s = 1,	3,	. , N u	i =	1, 3) на контуре L0.

На основе найденных значений смещений вычисляются коэффи­ циенты матрицы и решается переопределенная система (10.58) относи­ тельно неизвестных A s, A'S1 Bs, B's (5=1, 3,. , Л^). После этого на­ пряжения и смещения в точках границ L0, Ь г зоны затампонированных пород определяются по формулам (10.146), (10.134), а в точках массива на границе L0 — по формулам (10.180) — (10.183), (10.186), (10.187). Напряжения и смещения на внешнем L x и внут­ реннем L2 контурах сечения крепи получаются по тем же форму­ лам, что и в зоне затампонированных пород, но в указанном выше частном случае. С целью приведения описанного выше алгоритма к виду, удобному для вычислений на ЭВМ, произведем некоторые преобразования.

Прежде всего выведем рекуррентные формулы для вычисления

	массивов чисел qi%/, qi,j,	q~ij, q~i,j- Согласно (10.84) имеем
		w			(10.188)
	? < . / = ( - о	2
	Тогда	»+/
			(i +	2)!	(10.189)
	?!+*./= - ( - 1 )	2
	Отсюда
	9i+2, /	|, -|- g>' ( ± r -	) (	± r	- )
	<!i.J
	= —4-	а + о (< +	2)		(10.190)
		(»' + / +2) (< -/ + 2)
	Указанные преобразования одинаковы			как	для нечетных, так
	и для четных значений i,	j (причем i > j),		поэтому рекуррентные

формулы имеют вид
	Qi+% I =		—4 -	( H - l) g ± 3 ) ._ .y
	(/ =		/, / +	2,			, T V - 2)
	-	_	л		(< + !)(<+ 2)			-
	qc+2' '			(1 +	/ +	2) ( 1 - / +		2)
	(* = /, / + 2,						T V -1 )
при начальных значениях
	Яы=		- 1	( / = 1 , 3 ,				, TV),
	q t . i =	1	/ =	(0,2,			T V -1) .
Аналогично,	следуя	формуле		(10.87),			имеем	(при t <	/)
			i — t	l — i				i — t
?_,./ = ( -		П	2 С _/		=	( - l / - ‘C.		2 w	=
							i+-4— i
			- 1>l-l		( —		— O'
	=	(			\	2	/
							1)1
Тогда
							—	2)i
	<7-u-2W = ( — 1)',/-<					v	2	)
Следовательно,					( 4 г - + ' ) < г- 3>'
<7-g-2). / _
4 ~	l , i	( V L+1)l(t_3)l(“Ti__1)1

(t-_ !)(,•_ 2)

= 4

(/ — *+ 2) (t + / — 2) Отсюда имеем рекуррентные формулы

		„	(t — l) (t — 2)
4 (	2)>/	( / - t + 2)(» + / - 2 )			q l , i
	(i = j,	/— 2,	/—4,	,	3),
-	2 ),,	4 (/_	(t — 1) (t — 2)	2)	-
<7 <(			/+ 2)(. + /_		<7 f./
	(i = /> / —2,		/ —4,		4),
при начальных значениях
<7-/,/= 1		( /= 1 ,3 ,			N),
Я-i. i = 1		(/ = 2 ,4 ,		N + 1).

(10.191)

(10.192)

(10.193)

(10.194)

(10.195)

(10.196)

(10.197)

272