книги / Основы механики сплошной среды
..pdfПРОГРАММА КУРСА “МЕХАНИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ”
(Лектор Б.Е. Победря)
Ч А С Т Ь 1
Кинематика сплошной среды
Гипотеза сплошности. Система отсчета. Пространственные коор динаты. Основная лемма. Дифференцируемое многообразие. Поня тие тела. Частицы. Материальные координаты. Отсчетная и актуаль ная конфигурации. Определение движения тела. Описание движения. Эйлеровы и лагранжевы координаты и связь между ними. Гипотеза непроницаемости. Связь между материальными и лагранжевыми коор динатами. Тензорная алгебра. Траектория частицы. Векторы скорости и ускорения. Полная, местная и конвективная производные по вре мени. П реобразование материальных осей и плоскостей. Уравнение траекторий. Векторные линии, линии тока. Уравнения линий тока. Установившееся (стационарное) течение. Основы векторного анали за. Вектор “набла” Символы Леви-Чивиты. Измерение площадей и объемов. Поток вектора через поверхность. Теорема ОстроградскогоГаусса. Потенциальное течение. Источник, сток. Расход. Циркуляция вектора. Теорема Стокса. Вектор вихря. Соленоидальное поле, вихре вое поле. Вихревые трубки. Теоремы Гельмгольца о вихрях.
Меры деформации
Дифференцирование по времени интеграла, взятого по жидкому объему. Голономные и неголономные базисы в отсчетной и актуальной конфигурациях. Фундаментальные матрицы. Символы Кристоффеля 1-го и 2-го рода. Ковариантное дифференцирование. Тензоры ЛевиЧивиты. Деформирование сплошной среды. Изменение длины волок на, площадей и объемов. Вектор перемещения. Компоненты тензора деформации и их связь с вектором перемещения. Тензоры деформаций Лагранжа и Эйлера. Градиент деформации (тензор дисторсии). Правый и левый тензоры Коши-Грина и Альманси. Связь между ними. Теорема о полярном разложении, её применение к описанию деформирования. Ж ёсткое движ ение. Меры и тензоры деформации для него. Тензор Генки. Градиент скорости деформации. Тензор скоростей деформации. Спин-тензор и его связь с вектором вихря. Деформирование малой окрестности точки. Теорема Коши-Гельмгольца. Определение малой деформации. Вид мер и тензоров деформации в случае малых дефор
маций. Геометрический смысл компонент тензора малых деформаций. Относительное изменение объема. Разложение тензора деформаций на шаровую часть и девиатор. Геометрический смысл разложения. Интегрируемость соотношений Коши. Уравнения совместности СенВенана. Тензор несовместности. Его связь с тензором кривизны риманова пространства У 3. Формулы Чезаро.
Основные постулаты МСС
Постулат о сохранении массы. Уравнение неразрывности. Закон со хранения массы в лагранжевом описании. Закон сохранения массы для многокомпонентных сред. Уравнения диффузии. Силы, действующие
всплошной среде. Плотность поверхностных сил. Вектор напряже ния. Закон изменения количества движения (второй постулат МСС). Векторы напряжений на координатных площадках. Выражение вектора напряжений на произвольной площадке через векторы напряжений ко ординатных площадок. Тензор напряжений Коши. Уравнения движения сплошной среды в актуальной конфигурации. Уравнения равновесия. Постулат об изменении момента количества движения (кинетического момента) — третий постулат МСС. Симметричность тензора напряже ний Коши. Внутренние моменты, массовые и поверхностные моменты
всплошной среде. Уравнения движения для моментов. Моментные напряжения. Кинетическая энергия, работа внешних и внутренних сил. Теорема живых сил (актуальная конфигурация). Уравнения движения сплошной среды в отсчетной конфигурации. Тензоры напряжений Пиолы и Кирхгофа. Их связь с тензором Коши. Следствия постулата об изменении момента количества движения для тензора Пиолы. Теорема живых сил для отсчетной конфигурации. Нормальные и касательные напряжения. Закон парности касательных напряжений. Экстремаль ные свойства нормальных напряжений. Главные напряжения, главные площадки. Инварианты симметричного тензора напряжений. Экстре мальные свойства касательных напряжений. Главные касательные нап ряжения, площадки главных касательных напряжений. Выражения компонент тензора напряжений через главные напряжения. Диаграм мы М ора описания напряжённого состояния в точке. Октаэдриче ские площадки. Физический смысл среднего нормального напряжения
иинтенсивности тензора напряжений. Тензор напряжений при малых деформациях. Разложение тензора напряжений на девиатор и шаровую часть.
Идеальная жидкость
Определения идеальной жидкости. Уравнения движ ения Эйлера идеальной жидкости. Замкнутая система уравнений для идеальной несжимаемой жидкости. Замкнутая система уравнений для баротропной жидкости. Граничные условия. Уравнения движения в форме Громеки-Лэмба. Интеграл Бернулли. Интеграл К ош и-Л агранж а. При меры применения интеграла Бернулли.
Модель фильтрации
Пористость грунта. Средняя скорость по объёму пор (физическая скорость). Скорость фильтрации. Закон Дарси. Обобщённый закон Дарси. Замкнутая система уравнений линейной фильтрации.
Модель линейного упругого тела
Обобщ ённый закон Гука. Группы изотропии, трансверсальной изо тропии, ортотропии. Тензоры, инвариантные относительно этих групп. Изотропный тензор четвёртого ранга. Закон Гука для изотропной среды. Связь м еж ду девиаторами и шаровыми частями тензоров на пряжений и малых деформаций. Упругие постоянные. Замкнутая сис тема уравнений для линейного упругого тела. Уравнения движения и уравнения равновесия Ламе. Краевые задачи теории упругости. Потенциальная энергия деформации. Лагранжиан. Замкнутая система уравнений для упругого тела при конечных деформациях. Упругий потенциал. Изотропная тензорная функция от симметричного тензора второго ранга. Квазилинейная изотропная тензорная функция.
Вязкая ньютоновская жидкость
Определяющие соотношения для вязкой ньютоновской жидкости. Коэффициенты вязкости. Уравнения Навье-Стокса. Замкнутая систе ма уравнений модели несжимаемой вязкой жидкости. Условия прили пания.
Основы теории размерности
Основные и производные единицы измерения. Класс системы еди ниц измерения. Размерность физической величины. Теорема о степен ном выражении размерности. Лемма об унарном выборе независимых размерностей. П -теорема. Понятие энергии. Анализ размерностей при определении периода колебаний математического маятника и радиуса фронта волны при ядерном взрыве.
Термодинамика
Процессы . Термодинамические процессы. Циклы. Обратимые
и необратимые процессы. Определяющие соотношения. Уравнения состояния. Уравнение состояния идеального газа. Первый закон
термодинамики. Теплоёмкость. Формула Майера. Необратимое
и обратимое изотермическое расширение совершенного газа в ци линдре. Диссипация энергии. Адиабата Пуассона. Политропный процесс. Формулировки второго закона термодинамики (Клаузиуса,
Кельвина-П ланка |
и др .). Цикл Карно. Коэффициент полезного |
|
действия тепловой |
машины и его наибольшее значение. Теорема |
|
об абсолютной |
температуре. Размерность тепловых величин. |
|
Лемма |
о тепле. Энтропия. Математическая формулировка второго |
|
закона |
термодинамики. Неравенство Клаузиуса. Термодинамическое |
|
тождество. Вероятностное описание энтропии. Теорема Нёрнста (третий закон термодинамики). Температура как интегрирующий множитель. Принцип Каратеодори. Энтропия для соверш енного газа. Термодинамические потенциалы и связь между ними. Преобразование Л ежандра. Уравнение притока тепла. Закон теплопроводности Фурье. Тензор теплопроводности. Интегральная формулировка первого закона термодинамики (четвёртый постулат М СС). Интегральная формулировка второго закона термодинамики (пятый постулат МСС). Производство энтропии. Дифференциальные следствия законов термодинамики.
Единая формулировка законов сохранения в интегральном виде и дифференциальные следствия из них
Ч А С Т Ь 2
Термодинамическое определение классических моделей
Термодинамическая модель идеальной несжимаемой ж идкости. За мкнутая система уравнений. Термодинамическая модель идеального газа. Замкнутая система уравнений. Совершенный газ. Термодина мическая модель вязкой ньютоновской жидкости. Замкнутая система уравнений. Функция рассеивания (диссипации). Положительность ко эффициентов вязкости. Термодинамическая модель линейного упруго го тела. Тензор теплового расширения. Гипотеза Д ю гам еля-Н ейм ана. Адиабатические и изотермические модели. Связанная задача термо упругости. Уравнение теплопроводности для термодинамических моде лей МСС.
Основы статистической механики
Уравнение Лагранжа движения N материальных точек. Функция Гамильтона. Канонические уравнения Гамильтона. Первые интегралы движения. Ф азовое пространство. Статистический фазовый ансамбль. Среднее по времени. Среднее по ансамблю. Эргодическая гипотеза. Теорема Лиувилля. Функция распределения и ее свойства. Дельта функция Дирака и ее свойства. Микроканонический ансамбль. Опре деление макроскопической плотности и скорости. Вывод уравнения неразрывности из теоремы Лиувилля. Канонический ансамбль Гиббса. Смысл модуля канонического ансамбля. Свободная энергия Гельмголь ца и энтропия. Термодинамическая вероятность.
Феноменологическая электродинамика
Теорема Гельмгольца о разложении векторного поля на потен циальную и вихревую части. Скалярный и векторный потенциалы. Ф ундаментальное решение уравнения Пуассона (Л апласа). Закон Ку лона. Векторное поле электрической напряженности. Электрический диполь. Истинные и поляризационные заряды. Диэлектрики и про
водники. Задача электростатики. Магнитостатика. Электрический ток. Его разновидности. Закон Ома. Закон Ампера. Законы Био-Савара и Эрстеда. Следствия из них. Связь электростатического и магни тостатического полей. Основные уравнения электромагнетизма. Закон индукции Ф арадея. Уравнения Максвелла электромагнитного поля. Их замкнутость. Вектор Пойнтинга. Закон сохранения электромагнитной энергии. Д ж оулево тепло. Группы преобразований Галилея и Лоренца. Преобразования векторов электромагнитного поля при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.
Связанные модели термоэлектромагнитомеханики
Полная система уравнений термо-, электро- и магнитомеханики. Замкнутая система уравнений магнитной гидродинамики для иде альной ж идкости. Замкнутая система уравнений магнитной гидро динамики для вязкой жидкости. Прямой и обратный пьезоэффекты. Пироэлектрический эффект. Термодинамические потенциалы электро термоупругости. Определяющ ие соотношения линейной электроупру гости. Замкнутая система уравнений электроупругости.
Разрывы в сплошной среде
П оверхность разрыва в сплошной среде. Скорость ее движения. Дифференцирование по времени интеграла по подвижному объему при наличии в нем движущ ейся поверхности. Слабые и сильные разрывы. Динамические условия на поверхности разрыва, вытекающие из зако нов сохранения в М СС. Скачки уплотнения.
Теория определяющих соотношений
Определяю щ ие соотношения и их классификация. Физическая
и геометрическая линейность и нелинейность. Изотропия. Анизо тропия. Н еоднородность. Композиты. Локальность и нелокальность. Постулат макроскопической определимости. История процесса. Гео метрическая интерпретация теории определяющих соотношений для процессов деформирования. Граничные условия и начальные данные. Условия идеального контакта. Постановка задачи МСС. Корректная постановка. О бобщ енное решение.
Основы гидроаэромеханики
Уравнения гидростатики. Закон Паскаля. Равновесие жидкости в поле силы тяж ести . Барометрическая формула. Главный вектор сил и главный момент. Закон Архимеда. Главный вектор сил и главный момент Архимеда. Гидростатическая устойчивость жидкости. Интеграл Бернулли и интеграл Кош и-Л агранжа (Эйлера). Функция давления для соверш енного газа, для изотермического и адиабатического про цессов. Течение несжимаемой жидкости. Коэффициент скоростного напора. Кавитация. Эрозия. Число кавитации. Адиабатическое дви жение газа. Характеристики торможения. Местная скорость звука.
Максимальная и критическая скорости в адиабатическом движении газа. Связь критических параметров газовой динамики с параметрами торможения. Теория сопла Лаваля. Критический расход сопла Лаваля. Главный вектор сил при обтекании тел в канале с идеальной жидко стью. Парадокс Даламбера-Эйлера. Скачок уплотнения. Динамическая теорема о циркуляции. Теорема Томпсона и ее следствия (теорема Лагранжа). Динамические теоремы Гельмгольца о вихрях. Интеграл Кош и-Лагранжа в подвижной системе координат. Потенциал поступа тельного движения несжимаемой жидкости. Потенциальное течение источника (стока), диполь. Потенциалы простого и двойного слоя. Движения шара в несжимаемой идеальной жидкости. Обтекание шара. Главный вектор сил, действующих на шар. Присоединённая масса. Парадокс Эйлера-Даламбера. Уравнения движения идеального газа. Малые возмущения. Волновое уравнение и его свойства. Запазды ва ющий потенциал. Эффект Доплера. Угол и конус М аха. Плоскопа раллельное движение несжимаемой жидкости. Функция тока. Расход жидкости через контур. Случай движущ егося твердого тела. Выра жение нормальной составляющей вектора скорости через функцию тока. Потенциальное течение. Циркуляция вектора скорости. Задача Дирихле и задача Неймана при потенциальном плоскопараллельном течении несжимаемой жидкости. Комплексный потенциал и функция скорости (комплексная скорость). Течение, соответствую щ ее степен ному комплексному потенциалу. Плоский источник, плоский вихрь, плоский диполь. Обтекание цилиндра плоским потоком несжимаемой жидкости (бесциркуляционное и циркуляционное). Конформное отоб ражение. Обтекание крылового профиля. Аэродинамические силы и моменты. Формула Жуковского. Формула Чаплыгина. Сила сопротив ления при обтекании тела идеальными и вязкими жидкостями, газом. Число Рейнольдса. Прямолинейная вихревая нить. Круговой вихрь. Образование воронки. Уравнения Гельмгольца вихревого течения. По становка задачи о течении вязкой несжимаемой жидкости. Ламинарное течение Пуазейля. Сопротивление течению вязкой жидкости. Описание турбулентности. Пограничный слой. Уравнения Прандтля. Автомодель ность. Уравнения фильтрации и теплопроводности. Ф ундаментальное решение. М одель многокомпонентной смеси жидкости с учетом хими ческих реакций (композит Био).
Основы теории упругости
Задачи линейной теории термоупругости и их сведение к задачам теории упругости. Оператор Ламе. Упругий потенциал и условия его положительной определенности. Постановка задач линейной теории упругости в перемещениях (первая, вторая и смешанная краевые стати ческие, квазистатические и динамические задачи). Теорема единствен ности Кирхгофа для динамической и статической задач теории упру гости. Теорема Клапейрона. Условия единственности решения второй краевой задачи теории упругости. Условия ее разрешимости. Самоурав