книги / Физические основы прогнозирования долговечности конструкционных материалов

приводит к следующим собственным значениям:

= — I ;©<г; = 1/Bf; ?»* = 0.

(6.16)

Пусть в начальный момент времени было занято только 0-состояние, т. е.

Г 1 о о

Q" =

0 0 0

(6.17)

[о о о

Тогда согласно (6.11)

Q(l, O= exp(0-,Oi.i. i= l, 2,3.

Используя далее (6.12) и (6.16), имеем

Q(i, о = е " в«* ( - - й г + - с - ) ( - ^ - Ч , т Н	4 - Ч , + °
( - - « Г + - Ч - К — « г )
, -</«. 0+ ( 4 - ~ х»')г/ + °	.

			(6.18>
	ed	ef	)■
Из выражения (6.18) окончательно имеем:
Qo= Q (1,1) =		ехр (—</6d);	(6.19)
Qa в Q(l,2) = —	-^ -^ - [exp (-//©,-) - exp (-</©*)]; (6.20)
Qf = Q(l,3)== 1 +	_ ed/Bf) -Ц - texP( - W		~ CXP < - W ]-
			(6.21)
Сложив (6.19), (6.20) и (6.21), можно убедиться в справед­
ливости соотношения	(6.10в).

Вернемся к рассмотрению цепочки v последовательных со­ стояний. Элементы матрицы плотностей перехода при этом следующие:

Г	01	при	i — V =	1;
^ ’ 1 (	ос	при	i — 1' ф	1.

251

В стационарном		случае	при		/° = 0	(однородная марковская
цепь) переходная матрица имеет вид
		/-М
		I			0 /1-1 схр (—//0 |)			(6.22)
			------ гп -----------------
Qt(l\ /) =			в.		п
		v/-/'		i'= /'+l
							е , = е .	(6.23)
		- ^ z rp y j- e x p (—//©) при
Выражение (6.22) называется обобщенным распределением
Эрланга, а (6.23)— распределением Пуассона.								функции
Перейдем	теперь	к решению уравнения (6.6) для
Pv ,(/). По	аналогии с изложенным					выше	преобразованием

уравнения для Q (выбор малого произвольного параметра А/) положим значение А/ наиболее малым, т. е. положим Д/=1. Тогда уравнение (6.6) примет вид

Pi', щ	(t) = JPi'.i(t') Pi, i+i (t,	t) d t,		(6.24)
где Ptt i+1(/', t) — функция распределения		в интервале времени
[ t \ t] одиночного	(одношагового) перехода,		подчиняющаяся
выражению (6.2).			нестационарного
Решение уравнения (6.24) в общем случае

произвольного набора 0*(/), получаемое рекуррептпо, анало­ гично (в том смысле, в котором уравнение (6.6) является ана­ логом уравнения Смолуховского) континуальному интегралу или квантово-механическому интегралу по траекториям, а именно:

и>	: 1(о
Pr. I+1(0 =	5	exp [~W r +. (О] dWr				1(t)\
	О
		W I ' JL. о <**				w l ' 1 ( * 'l
Pi', г +2(0 = exp[—Wr	-2(f)]		J	exp \Wi'A.*U')]		j	expX
			0			0
X [ - W i r , A t n)]dWi> + l ( t ' ) d W r , . 2{ t )					и	т. Д-:	(6.25)
	W l ( t ) = \ d t ' l & , ( n -						(6.26)
В случае 0 (/) координатно-независимых					выражение		(6.25)
принимает вид Г-раснределения				(являющегося неполной гамма-
функцией) :		W(t)
			xv -le ~xdx/T (v),
Pv {t)=		\					(6.27)
		о

252

где Г — символ гамма-функции;

оо

T(v) = \x '~ 'e ~ xdx —

О

полная Г-функция (Эйлера).

Рассмотрим подробно случай стационарного произвольного набора ©£, что отвечает случаю постоянного приложенного на­ пряжения, «быстрых» пластической релаксации и термализации при установлении барьера, который остается стабильным на протяжении всего времени ожидания перехода. Эта ситуа­ ция, позволяющая описать термофлуктуациониую статистику «в чистом» виде, является физически основной при анализе термофлуктуационной компоненты прочностных характеристик. Вид Pf9i(t) может быть получен как соответствующий частный случай выражения (6.6), поскольку метод решения приводит к выражению для производящей функции моментов и служит основой при последующем поиске приближенного решения,

дающего сокращенное описание.		инте­
С подстановкой	(6.2) в стационарном случае и после
грирования по частям уравнение (6.6) принимает вид
	t
Pr. I u 1(/) =	j Ру. I (t - О ехр ( - / ' / в , i) dt'/Q, ¥,.	(6.28)
	О

В такой форме, не требуя каких-либо упрощений, оно до­ пускает точное решение. Уравнение (6.28) является интегродифференццальиым уравнением типа Вольтерра с разностным ядром, и его решение может быть найдено с помощью преобра­ зования Лапласа.

Изображением функции P(i) по Лапласу (трансформантой) называют функцию />(£) комплексного переменного опреде­ ляемую следующим соотношением и символами:

оо
P(t) = P Q ^ \ P (t) exp (-:*) dt.	(6.29)
о

Саму функцию P(t) при этом называют оригиналом. При­ ведем необходимые для дальнейшего свойства преобразования Лапласа:

а)	lr^ l/S ;
б)	ехр (—//0) = 1/(£+1/©);
в) P= U > — Р(0);
г)	t
	\ P i ( t ~ t ' ) P 2{t')dt'=zPiP2;
	О
	t
т)	= | P(t')dt'.
	о

253

С учетом свойств б н г преобразование Лапласа выражения: (6.28) примет вид

	Ру, /+ ! =		Ру, /'(в /-}- ♦,£ + l),
т. е. рекуррентное соотношение для трансформанты Р/.
Отсюда	с учетом	граничного условия /V, /(/) = 1 н свойства
(а) находим			i
	Я	г . , о -	п 1/(1 +© £)::.		(6.30)5
			£=/'-! 1
Таким образом, в пространстве Лапласа плотность искомой
функции	есть произведение плотностей вероятностей единич­
ных переходов 1/(1+©/£). Для нахождения				оригинала P(i) из
трансформанты Р(С)		(6.30)	воспользуемся известной формулой
разложения	многочлена		в знаменателе	на	элементарные

дроби:
	I/2 = У [(# — У д	(У= Уд\ .
где lu— корни	z(y) (здесь предполагается,		что все они — не­
кратные) .	в выражении (6.30)	имеет	корни 1/0,-, таким
Знаменатель

образом, данное выражение для случая, когда все 0i разные, можно представить в форме ряда

Pi’. i( t) =	£ ? Ж + I/©.-)£,	(6.30а>
	£=/' + !
где
у
Х ,= 1/©,- J J (1— в,//©,), причем £ х , =		1.
i ' — l -*• 1	i

Используя свойства б и д преобразования Лапласа, оконча­ тельно находим

/V. , ( 0 = 1 - У. ехр(—//©,)/ П (1 - ©г/е,). (6.31)

£= /+ 1 £'= /'+1

Выражение (6.31) можно назвать аналогом обобщенного распределения Эрланга (6.22) (в смысле обсуждавшейся выше аналогии между Р и Q). _

В случае 0/ = 6 трансформанта /*(£) (6.30) принимает вид

Р / м О = i/;(i + e ; ) v,

(6.3ia>

где v= / — /' — полное число переходов.

254

Соответствующий оригинал, являющийся в общем случае интегралом от функции комплексной переменной

£У(1 -г e;)v

имеющей полюс порядка v в точке £= —1/0, по теореме о вы­ четах равен

	1	rfv-i	е_*/е,
	ev(v—1)! <£v-1

что дает Г-распределение, являющееся частным случаем вы­ ражения (6.27):

'Vе	(6.32)
P i',i= J ух ‘е y dy/T(v), v = l —

Найденная функция распределения Pr,i(t) является наибо­ лее полной характеристикой случайного времени t перехода V — 1 указывающей вероятность Р его определенного значения. Сокращенное описание, важное для приложений, дают числовые характеристики случайных величин:

математическое ожидание (среднее значение)

оо

M t= \tP ( t) d t;

О

дисперсия

оо

Dt = \ (t — Mt)2P(t) dt,

О

служащая мерой абсолютного разброса случайной величины времени t (перехода I'

коэффициент вариации

Wf — ^Dt/Mt,

характеризующий средний относительный разброс времени пе­ рехода и др. Они выражаются через начальные моменты k-ro порядка:

оо

Mtk = \ t kP(f)dt.

О

Простым средством для вычисления распределения является построение производящей функции моментов:

оо

Пр («/)== j eytP(t)dt.

О

255

Моментами порядка 6=1, 2 ... являются ее 6-с производ­ ные, взятыеири у = 0. Сравнивая определения Пр (у) и транс­ форманты /■>(£) (6.30), замечаем, что производящей функцией моментов распределения P{t) может служить его трансфор­ манта Лапласа /*(£) с соответствующим исправлением знака в выражении для моментов Ш к, а именно:

	Mtk = ( — \)k			|£=о.	(6.33)
Продифференцируем выражение (6.33) с подстановкой яв­
ного выражения для /5(£)			(6.30):
M t =	р	e , / ( i + e		, ; ) j	V ( i +
ш =	[ ZW	+	e '-)V [ П	*/(* +	e<o]|c_a+
+П !/(»-Lei)		ef'O + e,c)j | _o=Z ©? - (Z e‘J *
	Dt = Mt2 — (MO2 =			E 0 i-	(6-35)
				i

Сравним полученные выражения с числовыми характеристи­ ками единичного перехода, даваемого показательным распреде­ лением (6.2) в стационарном случае:

M/(l)= 0,-; D/(l)= 0?.

Как и следовало ожидать, в силу принятой марковской не­ зависимости единичных переходов среднее значение Mt (6.34) и дисперсия Dt (6.35) времени большого перехода I' / есть сумма средних значений и дисперсий времен единичного пере­ хода.

Начальные моменты Г-распределения (6.32) даются выра­ жением

ТШ к = г (V+ 6) 0 * /r (v).

(6.36)

Среднее значение и дисперсия соответственно равны

ГМ1 =	vf);	(6.37)
TDt =	v©2.	(6.38)

Найдя выражения для Q (6.22) и Р (6.32), можно проверить подстановкой соотношение (6.7), устанавливающее их взаимо­ связь. Для этого удобно перейти в пространство Лапласа, в ко­ тором выражение (6.7) для трансформант принимает вид

Q(l\ =

/)[£Р,,.г -Р (0 )], Р (0) = 0.

256

Согласно (6.30) в левой части имеем i+ i

		(~h+i	1/(1 + ®£)»
	а в правой части —		i = /'
		I"	/+1
	/м
	0i+. П !/(i + ©,£) И О/1+e,f)= e;+l Д (l/i +©£),
	£=Г	£±Л>

т. е. соотношение (6.7) справедливо.

Дифференциальный аналог интегрального соотношения (6.7)

есть
P r, I (t) = Q, (Л / — 1)/е(.	(6.39)

Таким образом, вероятность Р/(/) dt достижения процессом состояния / в интервале времени t, f+rff равна произведению вероятности Q*(/— 1) прихода в состояние / — 1 к моменту t иа вероятность dtf&i перехода за интервал dt в состояние /.

На современном уровне микроскопической теории и экспе­ римента, не располагающем знанием совокупности времен точное выражение для функции Pr,i(t) (6.32) оказыва­ ется мало полезным при дальнейшем анализе проявлений слу­

чайного характера разрушающих тепловых флуктуаций. По­ этому будем использовать приближение, зависящее от меньшего числа параметров. Очевидно, им может быть выражение, со­ держащее интегрирование вместо суммирования по коорди­ нате /. Для его отыскания проведем разложение левой части

	выражения (6.28), т. с. рассмотрим	случай, когда	выполняется
	разложение	дР,. ;
	Р«м+| = Р /м +		(6.40)
		—з г 1 ,

осуществляющее переход от дискретного к непрерывному изме­ нению координаты /.

Тогда уравнение	(6.28) принимает вид
Ру. I (0 +	Ру. I(< -	/ ) exp (-< 7 0 , +,)	. (6.41)
Решая его с помощью преобразования Лапласа, для транс­
форманты iV, i как	функции I имеем обыкновенное дифферен­
циальное уравнение	1-го порядка:
	дР	—	(6.41а)
Ру. I + —д г ^ Р г . 7(1 + ©« + £)•

Откуда с учетом граничного условия (6.4) находим

(6.416,

17 Заказ М 248

257

Будем искать далее приближенное выражение для функции распределения Рг, ..(т) времен т достижения развивающимся очагом разрушения критического состояния а, после которого развитие идет атермически, так что 0«+i=O. Поскольку в силу независимости переходов их последовательность не влияет на вид Pr,i(t), расположим совокупность времен {0/}г.« в порядке их убывания и перенумеруем так, что теперь В,- убывает с уве­ личением номера /. Обозначим

max {©,},,	fl = ©.		(6.42)
11оложим
d&i/di == —0,/m,	т (i) =	const.	(6.43)

Переходя к интегрированию в (6.41) с учетом упорядочения ©, н (6.43) для / < а, после потенцирования имеем

Р/'./(£) = ( i+ e f+ ,;r	1	•	(6.44)
; ( 1 + ©Пт	в/+7 - о £ О +£©)"'

Для 1=а, ©о+1=0 в (6.44) сохраняется только члеп, совпа­ дающий по виду с выражением (6.31а), что даст в качестве оригинала Г-распределение

т/е
Рг , о(т) 3= Р (т) = 5 ут- le~y dy/Г (m).	(6.45)
О

Выясним характер полученного приближения (6.45). Разло­ жение (6.40) справедливо при

что выполняется при т это можно установить дифференци­

рованием в (6.44) с учетом (6.43)].

Сравним числовые характеристики точного выражения для P(t) и приближенного (снабженные ниже тильдой) с учетом (6.34), (6.35) и (6.37). Оказывается, что приближение (6.45) справедливо для среднего значения

	в
Mt — M t~	0/ — m6 — т \ d&i — т в = О,
i	о

по дисперсию «завышает» в два раза:

	е
Dt —Dt =	0 / — m02 = т j* 0/ d©, — m02 = —m©2/ 2 = —Dt/2.
i	6;

Результат (6.45) дает искомое сокращенное описание стати­ стической кинетики термофлуктуационного движения по энерге­

258

тическому рельефу, содержащее всего два параметра В и /л,

имеющих простой смысл. Величина

в является «высотой рель­

ефа»

времени

(6.42), а

т (6.43) характеризует

его

средний

уклон, т. е. 0

и т описывают рельеф в первом

приближении.

Сравнивая выражения

(6.45)

п

(6.27), замечаем, что в най­

денном

приближении

движение

но немонотонному

рельефу

{в/} г, а,

определяемому

совокупностью времен

0 /,

содержа­

щему v =

а — V барьеров

с различными характери­

стиками в* статистически

эквивалентно

движению

по рельефу из т барье­

ров с одинаковыми значе­

ниями 0

(6.42). Другими

словами,

т — эффектив­

ное

число термофлуктуа-

ционных

переходов, вы­

ражающее среднее время

прохождения

всего

рель­

ефа

в

единицах

сред­

Рис.

6.4.

Барьеры

произвольного

рельефа

него

времени

перехода

(см.

рис.

6.1), представленные

в

порядке

через его самый высокий

убывания

высоты

(штриховыми

линиями

барьер,

обозначена линейная аппроксимация)

m =

0 «/0 .

(6.46)

Выясним характер зависимости величин 0 и т от напря­ жения о и температуры Т. Условие (6.43), переписанное в виде

— a In 0,/dt = const,

с учетом выражения (6.3) для

©,: = т0 exp [Ui (о)/кТ]

означает, что

Ui = а — Ы,

где а и Ь — константы (т. е. для рельефа, упорядоченного по высоте барьеров (рис. 6.4), является его линейной аппрокси­ мацией).

Положим на основании (6.3а)

Ui(o) = U0—у [1 +	Р (t — 1)1°*	(6-47)
где р — константа.	и (6.43), имеем
Тогда, подставляя в (6.47) (6.42)
©= т0 exp [V0— уо)/кГ];		(6.48)
т = кТ/руо >• 1.		(6.49)

17*

259

Как показано	выше, Г-распределснис (6.45) со значением
т (6.43) получено для		1. По физическому смыслу 1	т <
< ос. При /и — 1	распределение (6.45) является показательным:
	Р =	1 — exp (—t/b),

что можно считать предельным случаем Г-расирсделсния. Па основании этого, а также исходя из указанного выше фи­

зического смысла величины т, интерполируем Г-распрсдслсние из областей m > 1 и т =1 в область средних значений 1, т. е. будем считать, что для всей области изменения т распределе­ ние P(t) приближенно является Г-рас- пределением. В соответствии с этим расширим определение величины т (6.49), придавая ей смысл выражения (6.46). Переходя в (6.46) от интегриро­ вания к суммированию, т. е. возвраща­ ясь к дискретному описанию потенци­ ального рельефа, с учетом (6.47) имеем

т = i > , / e = t=i

Рис. 6.5 Численный гра­

1— схр (—руугт/кГ)

1 — ехр (—р\чт/к7')

(6.50)

фик зависимости	(6.50)		При	^уо/кТ с 1		(m » 1)		выражение
а при fiyo/kT >		1	для	m	(6.50)	принимает		вид	(6.49),
			m -*-1. Зависимость				т(руа/кГ)		(6.50)
представлена на		рис. 6.5.		Как	видно	из	графика, в		случае
равповысоких	барьеров			(Р = 0) либо		у<х/кГ~ 0		значение m

равно либо близко полному числу преодолеваемых барьеров v. В случае разновысоких барьеров при fiyo/kT > 1 ;п&1, т. е. движение по длинной цепочке барьеров практически лимитирует один переход.

Величина m согласно	(6.37), (6.38) определяет	коэффици­
ент вариации:
к»1’=	л]О т /\\~ = 1/д /т ,	(6.51)

т. е. является основной характеристикой термофлуктуациониого разброса времени перехода через цепочку барьеров. При 1 разброс исчезающе мал (закон больших чисел): слу­ чайный характер тепловых флуктуаций, присущий элементар­ ным событиям, нивелируется на большой их совокупности, мо­ делирующей переход к макроуровню. При т ^ 1 разброс макро­

скопически значим.

Выясним физический смысл введенного	приближения для
Р, найдя соответствующий аналог для Q.	Кроме сведения

к уравнениям кинетического баланса распространенным при­ ближением при отыскании переходной матрицы Qt(t'f I) явля­

260