§10. Кручение за пределом пропорциональности

Впредыдущем изложении предполагалось, что напряжения нигде не превосходят предела пропорциональности и все деформации происходят в пределах упругости материала. Расчет на прочность производится путем сравнения фактических напряжений с допускаемым [§ 7 настоящей главы, формула (14)], которое для пластических материалов принимается равным

пределу текучести при сдвиге, деленному на коэффициент запаса [τ] = ——.

п

Это есть расчет по допускаемым напряжениям. Начало текучести материала в самой напряженной точке считается опасным состоянием конструкции и нагрузка, вызывающая это состояние,— предельной, превышать которую нельзя. При кручении круглых стержней это соответствует состоянию, когда

Фиг. 6.27. Кручение за пределом пропорциональности.

а — напряжения крайних волокон достигли предела текучести, эпюра напряжений треугольная; б — изменение напряжений за пределом пропорциональности с увеличением нагрузки.

касательные напряжения в крайних точках сечения достигают предела теку­ чести при сдвиге τΤ (фиг. 6. 27,а). Крутящий момент этого состояния Л4пр=

= тт Wp=n\~\Wp определяет предельную грузоподъемность при расчете по допускаемым напряжениям. Но начало текучести только в крайних точках сечения так же, как и при расчете статически неопределимых систем (гл. Ill, § 6), еще не означает полного отказа стержня от работы и не исчерпывает всей его возможной грузоподъемности. Кроме крайних точек, все остальные точки сечения находятся еще в упругом состоянии, и для дальнейшего за­ кручивания стержня необходимо увеличить крутящий момент. Напряжения крайних волокон стержня, находящихся в состоянии текучести, с возраста­ нием нагрузки больше не увеличиваются и остаются равными тт. а напря­

жения средних волокон, находящихся в	упругом состоянии, увеличиваются
до тех пор, пока они тоже достигнут величины тх.
Исследование кручения за пределом	пропорциональности основано на

тех же допущениях, которые были приняты (§ 1 настоящей главы) при кру­ чении в пределах пропорциональности, а именно: 1) поперечные сечения

остаются плоскими,	хотя теперь появляются и остаточные деформации, и
2) радиусы остаются	прямыми. Таким образом после начала текучести де­

формации в отдельных точках сечения происходят так же, как и при кру­ чении в пределах упругости, но пропорциональность между деформациями и напряжениями нарушилась: деформации растут, а напряжения не растут вовсе или увеличиваются значительно медленнее, чем до текучести. Эпюра

178

касательных напряжений теперь получается не прямолинейной (фиг. 6. 27,а), а криволинейной (фиг. 6.27,6) и с возрастанием нагрузки она становится все более выпуклой. Грузоподъемность стержня, его несущая способность, будет полностью исчерпана, когда во всех точках круглого сечения напря­ жения достигнут величины τχ. В этом предельном случае кручения за пре­ делом пропорциональности эпюра напряжений получается в виде двух прямо­ угольников (фиг. 6.28,а). Дальнейшее закручивание стержня пойдет уже без увеличения нагрузки, и с этого момента начинается разрушение; нагрузки этого состояния являются разрушающими, а соответствующий им наиболь­

Фиг. 6.28. Предельная нагрузка.

а — эпюра напряжений в предельном состоянии; б — вы­ числение предельного крутящего момента.

ший крутящий момент Λίπρ определяет предельную грузоподъемность стерж­ ня, его разрушающую нагрузку.

Выразим величину		предельного крутящего момента МПр через на­
пряжения ττ. В предельном состоянии (фиг. 6. 28, о) на площадку AF, взя­
тую на расстоянии	р	от центра сечения, действует элементарная сила
тfAF (фиг. 6.28,6).	Ее	момент относительно оси стержня, проходящей

через центр сечения, равен τχΔ.Ρρ. Сумма этих моментов в пределах одного

кольца радиуса р (фиг. 6.28,6) и	с	площадью FK= 2πρΑρ (§6 настоящей
главы) получается в следующем виде:
2 ττρΔ/? =	τχρ	2^·Ρ=2πτχρ*Δρ.

Величину М„р получим, сложив моменты, приходящиеся на все кольца, заполняющие сечение, т. е. взяв пределы суммирования от 0 до г,

г

Λίηρ =2 2πτχρ2Δρ.

Вынося постоянные величины за знак суммы и принимая во внимание

формулу (12), окончательно определяем разрушающий крутящий момент

τ

(17)

ο

12*

179

Если его разделить на коэффициент запаса, получим так называемый допу­ скаемый крутящий момент, вычисленный по способу разрушающих нагрузок:

	red8 ττ red8	(17')
	І2'~n~= 12

Крутящий момент, который можно безопасно приложить к стержню, по способу допускаемых напряжений получается из условия прочности (14)

Мд=1Гр [х]=— [х].

Таким образом в случае неравномерного распределения напряжений по сечению переход к способу расчета по разрушающим нагрузкам дает воз­ можность повысить грузоподъемность стержня и при одинаковой грузо­ подъемности по способу разрушающих нагрузок можно получить экономию материала.

Контрольные вопросы

1. При какой нагрузке происходит деформация кручения и

вчем она состоит? Привести примеры кручения из практики.

2.Чему равен крутящий момент? В какой плоскости он дей­

ствует по отношению к оси стержня?

3. Какие деформации происходят при кручении? Что назы­ вается углом закручивания и углом сдвига?

4.Какие предпосылки положены в основу изучения явления кручения?

5.Какие напряжения возникают в поперечном сечении вала

при кручении?

6.Как распределяются напряжения по сечению круглого

вала?

7.Какому условию должны удовлетворять касательные на­

пряжения и внешняя нагрузка отсеченной части вала?

8. Что называется относительным углом закручивания? Как он связан с углом сдвига, с крутящим моментом и модулем упругости? Проверьте размерность формулы для относительного угла закручивания.

9. Что такое полярный момент инерции, его размерность, как он вычисляется для сплошного и полого валов? Что такое же­ сткость вала?

10.Как вычисляются касательные напряжения в поперечном сечении круглого вала? Где они имеют наибольшее значение? Какова их размерность?

11.Что называется моментом сопротивления кручению? Чему он равен для сплошного и полого валов?

12.Почему возникают касательные напряжения в продоль­ ных сечениях и какими опытами это подтверждается?

13.Как разрушаются чугунные образцы при кручении? Объясните, какие напряжения для них являются опасными.

180

14.Напишите формулы для вычисления суммы произведений приращения какой-нибудь величины на самую величину, возве­ денную в какую-нибудь степень.

15.Как нужно разбить круглое сечение на элементарные площадки, чтобы вывести формулу полярного момента инерции?

16.Напишите зависимость между крутящим моментом и мощностью на валу. Какова размерность величин, входящих в эту зависимость?

17.Всегда ли нужно увеличивать диаметр вала, если увели­

чивается передаваемая им мощность?

18. Как вычисляется угол закручивания вала постоянного сечения, нагруженного несколькими моментами?