Глава VIII

ИЗГИБ. УСИЛИЯ

§ 1. Явление изгиба

Возьмем прямой брус постоянного сечения, заделанный гори­ зонтально одним концом в стену (фиг. 8. 1,а) или лежащий сво­ бодно на двух опорах (фиг. 8. 1,6). Если приложить момент, действующий в плоскости, проходящей по оси бруса (фиг. 8. 1,в), или силу перпендикулярно оси, например, подвесив груз

Фиг. 8. 1. Примеры балок.

а — консоль; б — простая балка; в —-нагрузка в виде пары (момента); г — поперечная нагрузка.

(фиг. 8. 1,г), то такие брусья изогнутся и их прямые оси искри­ вятся. Деформация бруса, сопровождающаяся искривлением его оси, вызываемая поперечной нагрузкой, а также парами, лежа­ щими в плоскости, проходящей через ось бруса, носит название поперечного изгиба или просто изгиба. Брус с прямой осью, ра­ ботающий главным образом на изгиб, называется балкой. Балку с одним защемленным и другим свободным концом называют консолью (фиг. 8. 1 ,а). Балка, имеющая одну неподвижную, а другую подвижную цилиндрические опоры на концах, назы­ вается простой балкой (фиг. 8. 1,6), а если концы свешиваются

210

за опоры как консоль, то консольной балкой (см. например, фиг. 8. 6,а).

Разделим мысленно весь брус на тончайшие продольные во­ локна, параллельные оси и скрепленные между собой в одно целое (фиг. 8. 1,аиб). Подобное волокнистое строение имеет де­ рево. Другие материалы обладают обычно однородной структу­ рой и в них фактически нет никаких волокон или слоев, но такое представление удобно для дальнейшего изложения. При изгибе бруса искривляются все его волокна. Волокна, расположенные с выпуклой стороны, испытывают при деформации растяжение, а расположенные с вогнутой — сжатие. В этом легко убедиться на следующем простом опыте. Из простой балки выпилим снизу

а)

Фиг.	8. 2.	Сжатие и растяжение		волокон	при изгибе.
а — в пропилах балки снизу			вставлены	брусочки;	б — при	изгибе вы­
пуклостью	вниз	брусочки	выпали; в — сверху		брусочки	зажаты.

небольшие брусочки и вставим их обратно так, чтобы они держа­ лись силами трения (фиг. 8. 2,а). Если изогнуть балку выпукло­ стью вниз, то пропилы раздвинутся и вложенные брусочки выпа­ дут (фиг. 8.2,6). При этом можно наблюдать снижение проч­ ности балки по сравнению с балкой без пропилов. Перевернув балку пропилами вверх, брусочки можно вставить неплотно, что­ бы они свободно вынимались. Но если вновь изогнуть балку, то пропилы укоротятся и плотно зажмут брусочки (фиг 8. 2,в). За­ метного изменения прочности балки при этом не обнаружится.

Для выяснения внутренних усилий, возникающих при изгибе в сечениях балки, воспользуемся методом сечений. Сначала рассмотрим балку, изгибаемую только моментом М (фиг. 8.3,а). Рассечем ее перпендикулярно оси на две части и тем самым разрушим связи между этими частями (фиг. 8.3,6). Связи, нару­ шенные сечением, заменяются силами, эквивалентными силам взаимодействия, возникающим между частицами материала при действии внешней нагрузки. Чтобы равновесие, например, левой части балки не было нарушено, в произведенном сечении долж­ ны возникать такие силы взаимодействия, которые могли бы за-

14*

211

менить связь, препятствующую повороту левой части относи­ тельно правой, и уравновесить собой приложенный момент М, вызывающий этот поворот. Такими силами взаимодействия яв­ ляются нормальные силы, определяемые напряжениями о; на выпуклой стороне изогнутой балки они растягивающие, на во­ гнутой — сжимающие. Они направлены перпендикулярно к сече­ нию и заменяют собой действие правой части балки на левую. Очевидно, что эти силы могут быть приведены к паре с момен­ том М.

Теперь возьмем балку, изгибаемую вертикальной силой Р (фиг. 8. 4,а), и произведем такой же разрез. Нормальными си-

Фиг. 8.3. От момента возника­			Фиг. 8. 4. От поперечной на­
ют нормальные напряжения.			грузки		возникают	нормаль­
а — балка	изгибается	момен­	ные	и	касательные напря­
					жения.
том М\	б — силы в	сечении,
заменяющие разрушенные			а — балка изгибается си­
	связи.		лой	Р;	б — силы в	сечении,
			уравновешивающие			попе,
				речную нагрузку.

лами, определяемыми напряжениями а, направленными горизон­ тально (фиг. 8.4,6), можно заменить связь, препятствующую по­ вороту левой части, и уравновесить момент М=Рх, возникающий в произведенном сечении. Но сила Р стремится не только повер­ нуть, но и сдвинуть левую часть вверх относительно правой. Что­ бы заменить связь, препятствующую этому сдвигу, в сечении должны возникать вертикальные силы взаимодействия, опреде­ ляемые касательными напряжениями т. Нормальные и касатель­ ные силы в сечении уравновешивают внешнюю силу Р. Таким образом при изгибе от поперечной нагрузки в сечениях балки воз­ никают одновременно и нормальные и касательные напряжения. Они характеризуют внутренние силы взаимодействия между ле­ вым и правым торцевыми сечениями разреза (фиг. 8.4,6).

Задача расчета на изгиб состоит в том, чтобы определить наибольшие напряжения, опасные для прочности балки. Они за­ висят от внешней нагрузки, приложенной к балке, и от ее раз-.

212

меров. Выясним характер изменения внутренних сил в зависи­ мости от распределения внешней нагрузки по длине балки, уста­ новим опасное сечение, после чего в следующей главе перейдем

квычислению напряжений.

§2. Нагрузки и реакции

Внастоящей главе рассматриваются балки, сечение которых имеет ось симметрии; все внешние силы лежат в одной плоскости, являющейся плоскостью симметрии балки (фиг. 8 . 5). Условимся

ось X всегда направлять по оси балки, перпендикулярно к ней в плоскости нагрузки направлять ось у, а перпендикулярно пло-

X

Фиг. S. 5. Виды нагрузок и их приложение в плоскости симметрии балок.

скости нагрузки — ось z (фиг. 8.5). Начало осей будем совме­ щать с центром тяжести начального сечения. Внешними силами являются нагрузки, непосредственно приложенные к балке (на­ пример, ее вес), или силы взаимодействия, которые передают части конструкции, опирающиеся на балку. Напоминаем, что на­ грузки сводятся по характеру своего приложения к следующим видам: 1) сосредоточенные силы Р, приложенные на поверхности балки и распределенные по очень малой площади, 2 ) сосредото­ ченные пары с моментами М (фиг. 8 . 5,а), 3) сплошные нагрузки или нагрузки, распределенные непрерывно по части поверхности балки. Обычно их характеризуют интенсивностью — величиной нагрузки, приходящейся на единицу длины. Они могут быть рав­ номерные, как говорят, с постоянной интенсивностью q и неравно­ мерные с переменной интенсивностью qx (фиг. 8 . 5,6) .

Приложенную нагрузку балка передает на другие элементы конструкции. Их сопротивления действуют на-балку в виде ре­ активных сил или опорных реакций, которые зависят от нагрузки и от типа опор. Выше, в гл. I, § 7 были приведены типы опор и даны примеры определения опорных реакций. Здесь приводится

213

еще один пример определения реакций опор и несколько задач ввиду важности этого вопроса для расчета балок.

Пример 1. Лонжерон крыла самолета прикреплен к фюзе­ ляжу в точке А при помощи неподвижной цилиндрической опоры и в точке В при помощи подкоса, который можно рассматривать как подвижную опору. Воздушная нагрузка крыла, приходящая­ ся на лонжерон, распределяется по длине по трапеции и имеет на концах интенсивность <71= 8 кг/см и <?2 = 3 кг/см. Определить опорные реакции лонжерона (фиг. 8 . 6 ).

Прежде всего действие опор заменим реактивными силами А, Н и В, направление которых выбираем, как указано на

Фиг. 8.6. Определение опорных реакций.

а — нагрузка лонжерона крыла; б — реактивные силы А, II и В, заме­ няющие действие опор.

фиг. 8 . 6 ,6 . Затем, составляем уравнения равновесия всех сил, приложенных к лонжерону. Сплошную нагрузку, распределен­ ную по трапеции, можно рассматривать .с'стоящей из равномер­ ной с интенсивностью q-> и из треугольной с наибольшей интен­ сивностью qs=qi—<7 2 = 5 кг/см. Равнодействующая равномерной нагрузки qoi, равная площади прямоугольника эпюры нагрузки, приложена в центре тяжести прямоугольника, т. е. по середине лонжерона. Равнодействующая добавочной треугольной нагрузки

равна площади треугольника с основанием I и высотой qs

и приложена в центре тяжести треугольника на расстоянии

— =140 см от левого конца.

3

Вычисляем сумму моментов всех сил относительно точки В:

	2	Мв = Аа + q j т ~ а			£	=	0.
					3	)
Отсюда,	подставляя		размеры,	указанные	на фиг. 8		. 6 , находим
А	і	~ а ^	2а	3-420	10 + — 2 -		60 = 252 кг.
а				200	2-200

214

Затем составляем сумму моментов всех сил относительно опоры А:

МА = Вг — qJL—— -8-- ——= 0.

2 2 3

Принимая во внимание, что плечо силы В равно перпендику­

ляру, опущенному	из точки А		на	направление силы,
г= a sin α= 200 -j- == 100 см,		из последнего		уравнения находим
В —ηΑ1*4- q^ -		3-420*	5-4202	4116 кг.
2г	6г	2-100 +	6-100

Горизонтальную реакцию Н найдем, беря сумму проекций всех сил на ось лонжерона ^ X —B COSOL— H —Q·, отсюда

И —В cos а = 4116 -0,866 = 3564 кг.

Проверку производим по условию, что сумма вертикальных

проекций	реактивных		сил должна	равняться всей	нагрузке:
А + В sin а	^± ^1 1	Подставляя		сюда числовые	значения:
	2
252 + 4116-^ = ^---		420	или 2310 = 2310, убеждаемся в правиль­

ности вычисления реакций.

Все реакции получились со знаком плюс, следовательно, они направлены так, как мы предположили вначале. Если бы мы для какой-либо реакции предположили обратное направление, например, реакцию А направили бы вверх, то в уравнение мо­ ментов 2 /Ив она вошла бы с обратным знаком и получилась бы отрицательной. Это указывало бы, что в действительности данная реакция имеет направление, обратное предположенному вначале, и его необходимо исправить. Часто подвижная опора имеет сво­ боду перемещения только в горизонтальном направлении. Тогда ее реакция всегда направлена вертикально. В этом случае и в неподвижной опоре горизонтальная реакция при вертикальной нагрузке не возникает.

Задачи. 1. Определить опорные реакции простой балки от сосредоточенной силы Р, приложенной на расстоянии а от

РЬ

левой опоры и — b от правой (фиг. 8.7). Ответ·. А = — \

2. Определить вертикальные реакции каждого из тре колес самолета, если нагрузки при посадке приводятся к вер­ тикальной силе G=15000 кг и моменту Λί=1200 кгм, при­ ложенных в точке А (фиг. 8. 8). Ответ: реакция переднего колеса 4000 кг, каждого заднего 5500 кг.

215