- •Квантовая механика Введение
- •Темы курса
- •Контрольные мероприятия
- •Коллоквиум
- •Экзамен
- •Рейтинговая аттестация международная и российская оценки
- •Основная Литература
- •Полуклассическая квантовая механика
- •Волновые свойства света
- •Корпускулярные свойства света
- •Соотношения неопределенностей
- •Средняя концентрация фотонов
- •Волна де Бройля
- •Квантование Бора–Зоммерфельда
- •Условия применимости классической физики
Корпускулярные свойства света
При взаимодействии света с веществом, когда происходит его поглощение, свет ведет себя как поток квантов фотонов, регистрируемых фотоприемником в виде «щелчков» в отдельных точках. При поглощении фотона электроном металла ему передается энергия и импульс фотона и возникает фотоэффект – выбивание электрона из металла, или внутренний фотоэффект – переход электрона из валентной зоны в зону проводимости полупроводника.
Энергия фотона по формуле Планка
, (1.6)
, .
Импульс ультрарелятивистской частицы связан с энергией
.
Учитывая
,
получаем, что импульс фотона обратно пропорционален длине волны
. (1.7)
Плоская волна (1.1) выражается через энергию и импульс фотона
. (1.8)
Соотношения неопределенностей
Дифференцируем (1.7) и получаем
.
Из (1.4)
,
находим
. (1.9а)
Чем точнее измеряется координата кванта, тем неопределеннее соответствующая проекция импульса.
Из (1.6)
и (1.5)
,
получаем
. (1.9б)
Чем меньше длительность излучения фотона, тем больше неопределенность его энергии.
Средняя концентрация фотонов
Согласно (1.2) энергия единицы объема
,
энергия фотона (1.6)
,
тогда средняя концентрация фотонов
.
Следовательно, вероятность обнаружения фотона в единице объема, или плотность вероятности, пропорциональна квадрату модуля волны
. (1.10)
Волна де Бройля
Корпускулярно-волновая двойственность присуща не только фотону, но и частице вещества согласно Луи де Бройлю (1924).
Луи де Бройль (1892–1987)
По аналогии с фотоном частица вещества описывается волной. Используя (1.8)
,
получаем, что частице массой m, движущейся вдоль оси x в поле с потенциальной энергией и с полной энергиейЕ сопоставляется волна де Бройля, или волновая функция (обозначаемая греч. буквой «пси»):
, (1.11)
,
.
Длина волны
. (1.13)
Чем больше энергия, тем меньше длина волны. Для электрона с энергией в пределах от 1 эВ до эВ длина волны лежит в пределах от ~ 1 нм донм. В металлах длина волны де Бройля носителя тока порядка нанометра, в полупроводниках – несколько микрометров.
Плотность вероятности обнаружения частицы
, (1.14)
т. е. вероятность найти частицу в момент t в единичном интервале около точки x. Вероятность обнаружения частицы в интервале dx
. (1.15)
Вероятность найти частицу во всем пространстве равна единице и выполняется условие нормировки
. (1.16)
Квантование Бора–Зоммерфельда
Условие максимума интерференции (1.3)
обеспечивает наибольшую амплитуду волны и наибольшую вероятность обнаружения частицы. Учитывая (1.13)
,
получаем условие обнаружения частицы на траектории с номером n
.
Обобщение на случай замкнутой траектории, когда импульс изменяется вдоль траектории с элементом , даетформулу квантования Бора–Зоммерфельда
, (1.17)
где
–квантовое число, или номер траектории, показывает число раз, которое длина волны де Бройля укладывается на протяжении траектории;
–объем фазового пространства одномерного движения, занятогоn состояниями.
Следовательно, квантовое состояние одномерного движения занимает в фазовом пространстве объем, равный h.
Формула (1.17) применима в квазиклассическом приближении, когда существует траектория частицы, т. е. длина волны де Бройля гораздо меньше характерного размера траектории r. С учетом (1.13)
,
и (1.17) получаем условие применимости (1.17)
, , . (1.18)
Полуклассическая теория неприменима для системы с характерным размером, сравнимым с длиной волны де Бройля, когда отсутствует понятие траектории.
Если частица движется по окружности радиусом c постоянным модулем импульса , то из (1.17) получаем
,
где учтено, что импульс частицы на траектории m направлен по касательной к траектории и выполняется
.
В результате проекция орбитального момента квантуется
, (1.19)
где ось z перпендикулярна плоскости траектории;
–магнитное квантовое число.
ПРИМЕР
Для одномерной прямоугольной потенциальной ямы шириной с абсолютно непроницаемыми стенками получитьдопустимые значения энергии и импульса.
Частица с полной энергией внутри ямы приимеет импульс
.
Из условия квантования для одномерного движения (1.17)
,
с учетом движения вправо и влево, находим
, ,
,
. (П.1.3)
Чем уже яма и меньше масса частицы, тем больше расстояние между соседними уровнями энергии.
Для основного состояния с минимальной энергией из (П.1.3) получаем
, . (П.1.4)
Для электрона при L = 1 мм
.
Тепловая энергия kT такой величины соответствует . Следовательно, для частицы в макроскопическом объеме квантование энергии поступательного движения несущественно при достаточно высокой температуре.
Для микрообъема L = 1 нм получаем , что превышает тепловую энергиюпри нормальной температуре. Следовательно,для частицы в микроскопическом объеме квантование энергии поступательного движения существенно при любой температуре.