27. Расстояние между нечеткими множествами, индексы нечеткости

Расстояние Хэмминга. На универсальном множестве зададим с помощью характеристической функцииподмножестваи:

, .

Обобщённое относительное расстояние Хэмминга определяет величина

.

Обобщённое евклидово или квадратичное расстояние между нечёткими множествами определяется по формуле:

.

Очевидно, . Величинаназывается Обобщённой евклидовой нормой, а величина– Обобщённым относительным евклидовым расстоянием.

Выбор того или иного расстояния зависит от природы рассматриваемой проблемы. Каждое из этих расстояний обладает своими преимуществами и недостатками, которые становятся очевидными в приложениях.

Индексы нечеткости.

Линейный индекс нечеткости:

d A = 2 n ρ A , A ˉ для конечного нечеткое множества A ;

d A = lim n → ∞ 2 n ∑ i = 1 n μ A x i − μ A - x i для бесконечного счетного нечеткого множества A ;

d A = 2 b − a ∫ a b μ A x i − μ A - x i dx для бесконечного несчетного нечеткого множества A с носителем a ; b .

Квадратичный индекс нечеткости:

d A = 2 n e A , A ˉ для конечного нечеткое множества A ;

d A = lim n → ∞ 2 n ∑ i = 1 n μ A x i − μ A - x i 2 для бесконечного счетного нечеткого множества A ;

d A = 2 b − a ∫ a b μ A x i − μ A - x i 2 dx для бесконечного несчетного нечеткого множества A с носителем a ; b .

Линейный и квадратичный индексы нечеткости нечеткого множества A можно определить, используя операцию дополнения.

Линейный индекс нечеткости с дополнением:

d A = 2 n ∑ i = 1 n min μ A x i ; μ A ˉ x i для конечного нечеткого множества A ;

d A = lim n → ∞ 2 n ∑ i = 1 n min μ A x i ; μ A ˉ x i для бесконечного счетного нечеткого множества A ;

d A = 2 b − a ∫ a b min μ A x ; μ A ˉ x dx для бесконечного несчетного нечеткого множества A с носителем a ; b .

Квадратичный индекс нечеткости с дополнением:

d A = 2 n ∑ i = 1 n min μ A 2 x i ; μ A ˉ 2 x i – для конечного нечеткое множества A ;

d A = lim n → ∞ 2 n ∑ i = 1 n min μ A 2 x i ; μ A ˉ 2 x i – для бесконечного счетного нечеткого множества A ;

d A = 2 b − a ∫ a b min μ A 2 x ; μ A ˉ 2 x dx – для бесконечного несчетного нечеткого множества A с носителем a ; b .

28. Нечеткие множества: принцип обобщения и нечеткие отношения

Принцип обобщения для нечетких множеств представляет собой в сущности основное равенство, позволяющее расширить область определения отображения или отношения, включив в нее наряду с точками произвольные нечеткие подмножества множества. Более конкретно, предположим, что— отображение, а— нечеткое подмножество вида

.                                                (3.79)

Тогда принцип обобщения утверждает, что

.      (3.80)

Итак, образ множества при отображенииможно получить, зная образы элементовпри этом отображении.

Важным понятием теории нечетких множеств является нечеткое отношение. Нечетким бинарным отношением называется подмножество декартового произведения двух множестви:

,

где - функция принадлежности пары элементов () к P.

29. Основные понятия Теории Графов.

Граф – это совокупность двух множеств: множества точек, которые называютсявершинами,  и   множества   ребер  А.   Каждый   элемент есть упорядоченная параэлементов множества, вершиныиназываютсяконцевыми точками или концами ребра а. Граф  называется  конечным, если множества R и конечны.

       Это определение графа должно быть дополнено в одном важном отношении. В определении ребра можно принимать или не принимать во внимание порядок расположения двух его концов. Если этот порядок несущественен, т. е. если , то говорят, чтоa есть неориентированное ребро; если же этот порядок существенен, то a называется ориентированным ребром (ориентированное ребро часто называется дугой). В последнем случае называется такженачальной вершиной, а –конечной вершиной ребра a. Граф называется неориентированным, если каждое его ребро неориентировано, и ориентированным, если ориентированы все его ребра. В ряде случаев естественно рассматривать смешанные графы, имеющие как ориентированные, так и неориентированные ребра.

       Ребра, имеющие одинаковые концевые вершины, называются параллельными. Ребро, концевые вершины которого совпадают, называется петлей. Она обычно считается неориентированной. Вершина и ребро называются инцидентными друг другу, если вершина является для этого ребра концевой. Вершина, не инцидентная никакому ребру, называется изолированной. Граф, состоящий только из изолированных вершин, называется нуль-графом. Две вершины, являющиеся концевыми для некоторого ребра называются смежными вершинами. Два ребра, инцидентные одной и той же вершине, называются смежными.

30. Способы и требования к представлению графов в компьютере

Конструирование структур данных для представления в программе объектов математической модели – это основа искусства практического программирования. Далее приводится четыре различных базовых представления графов. Выбор наилучшего представления определяется требованиями конкретной задачи. Более того, при решении конкретных задач используются, как правило, некоторые комбинации или модификации указанных представлений, общее число которых необозримо. Но все они так или иначе основаны на тех базовых идеях, которые описаны в этом разделе.