4. Движение по градиенту – «крутое восхождение»

Градиент

На рис. 2.2 для наглядности приведено направение градиента в факторном пространстве рассматриваемой задачи.

Рис. 2.2. Направления градиента в заданном факторном пространстве

Как следует из рисунка, в поисках максимального значения функции отклика следует двигаться в направлении левого верхнего угла прямоугольной области факторного пространства.

При движении по градиенту факторы одновременно изменяются пропорционально их коэффициентам уравнения регрессии и в ту сторону, которую показывает знак.

Эффективность градиента существенно зависит от характера поверхности отклика. Поэтому он не инвариантен относительно всего, что формирует поверхность: от выбора параметра оптимизации и от выбора интервалов варьирования факторов. Чем симметричнее уравнение относительно коэффициентов, тем более благоприятна ситуация.

Координаты точек, лежащих на градиенте, получают путем умножения коэффициентов уравнения регрессии на интервал варьирования. Все эффекты независимы друг от друга. Важным является только соотношение произведений коэффициентов на соответствующие интервалы. Их абсолютные величины могут все одновременно умножаться или делиться на любое положительное число. При этом получатся точки, опять лежащие на градиенте, но только с другим шагом. Шаги получаются, если к нулевому уровню последовательно алгебраически прибавлять строки из величин, пропорциональных составляющим градиента. Шаг движения выбирают для одного фактора, а для остальных () его рассчитывают по выражению

где - выбранный шаг движения для фактора l ; - шаг движения для фактора i; Вi, Вl – коэффициенты уравнения регрессии соответствующих факторов; , - интервалы варьирования фактора i и фактора l.

Так как выбор длины шага произволен, то возникает вопрос, как его следует осуществлять. Здесь руководствуются следующим. Первый шаг, т.е. результат первого сложения полученной строки составляющих градиента с нулевым уровнем, должен давать точку, лежащую за экспериментальной областью хотя бы по одному из факторов. Однако этот шаг не должен быть столь большим, чтобы выйти за пределы области определения хотя бы одного из факторов. Если при выборе в этом диапазоне окажется, что для каких-то факторов шаги различаются меньше, чем ошибки в установлении значений, то приходится их изменять через 2 – 3 шага. Для облегчения расчетов обычно шаги округляются.

Если при движении к оптимуму возникает ситуация, препятствующая изменению каких-либо факторов, то эти факторы можно фиксировать на оптимальных уровнях, продолжая движение по остальным факторам.

Стратегия проведения опытов на градиенте основана на идее захвата оптимума в «вилку». Важно убедиться, что на первых шагах значения параметра оптимизации возрастают, а затем наступает такой момент, когда они начинают убывать (после прохождения экстремума).

Этот момент и должен быть зафиксирован. Такая стратегия требует меньшего количества опытов, чем все шаги.

Если цель исследования – поиски не максимума, а минимума, то знаки коэффициентов уравнения регрессии должны быть изменены на обратные.

В случае нескольких параметров оптимизации обычно задачу разбивают на параллельные ветви, каждая из которых повторяет описанную процедуру для одного параметра.

Рассмотрим движение по градиенту в рассматриваемом примере (табл. 2.4.).

Шаг движения прият равным 0,1 для фактора Х_2, а для фактора Х₁ рассчитан по приведенной выше формуле. В опытах 12 и 13 Х₁ зафиксирован на нижнем допускаемом уровне. Мысленные опыты помечены в таблице звездочками.

Таблица 2.4.

Расчет крутого восхождения

Исследуемый фактор		Х1	Х2	Y (среднее из двух парал-лельных опытов)	Исследуемый фактор		Х1	Х2
Основной уровень		3,05	3,3	-	Вi		-1,06	1,15
Интервал варьирования		0,075	0,09	-	Крутое восхождение
Верхний уровень		3,125	3,39	-			- 0,0795	0,1035
Нижний уровень		2,975	3,21	-	Шаг		-0,11	0,1
Кодированные значения переменных		Х1	Х2	-	Округление		-0,1	0,1
Опыты	1	-1	-1	30,74	Опыты	5*	2,95	3,4
						6*	2,85	3,5
	2	+1	-1	28,64		7*	2,75	3,6
						8	2,65	3,7
	3	-1	+1	33,06		9*	2,55	3,8
						10*	2,45	3,9
	4	+1	+1	30,92		11*	2,35	4,0
						12	2,3	4,1
						13	2,3	4,2

Для мысленного варианта 7* найдем теоретическое значение функции отклика. Для этого найдем кодированные значения факторов.

где - натуральное значение фактора; - натуральное значение основного уровня; - интервал варьирования; j – номер фактора.

В соответствии с формулой, приведенной выше

Теоретическое значение Y

Найденное значение Y меньше, полученного в точке 3, лежащей на градиенте, в первой серии опытов. Это говорит о неадекватности модели за пределами подобласти 1234.

Произведем численное моделирование исследуемого процесса с параметрами реального опыта 8. Результат Y=40,36. Значение функции отклика увеличилось – то есть градиент работает – нужно по нему двигаться дальше. При этом расчет теоретических значений Y теряет смысл – они далеки от фактических значений.

Выполним численное моделирование процесса с данными опытов 12 и 13. В результате получаем в 12 опыте Y=51,78, а в 13 опыте Y=53,38.

Анализ результатов движения по градиенту показывает, что функция отклика Y увеличивается при уменьшении Х₁ и увеличении Х₂. Увеличение происходит при всех значениях факторов, лежащих на градиенте. Следовательно максимальное (оптимальное) значение Y лежит на границе области факторного пространства. Подобласть, содержащая максимум функции отклика, действительно находится в верхнем левом углу факторного пространства показанного на рис. 2.2.

Рассмотрим возможные решения, принимаемые после реализации «крутого восхождения».

Основой для принятия решений служит рассмотрение возникшей при движении по градиенту ситуации. Возможны следующие ситуации.

При движении по градиенту адекватной модели может оказаться, что значения параметра оптимизации проходят через максимум. Это наиболее благоприятный случай. Одно из решений – условия наилучшего опыта принимают за нулевую точку следующей серии. Интервалы варьирования, если это возможно, должны быть уменьшены, так как ближе к максимуму сильнее проявляется кривизна поверхности. Вокруг нового центра снова делают линейное приближение, проверяют его адекватность, значимость коэффициентов, принимают решения и все повторяют до тех пор, пока линейное приближение при минимальных интервалах окажется неадекватным, либо движение по градиенту окажется неэффективным. Это означает, что достигнута «почти стационарная область». Другие решения - окончание исследования (если исследователя устраивает результат) или достройка линейного плана до плана второго порядка в целях более точного описания области оптимума.

Может оказаться, что ни один из опытов на градиенте не дал результата, превосходящего лучший результат предыдущей серии. При этом, если модель была неадекватной, приходится вернуться назад и повторить эксперимент, уменьшив шаг варьирования. Если же модель была адекватной, то, по-видимому, наблюдается плоский экстремум, что должно быть проверено дополнительными опытами.

В рассматриваемом случае возможной точкой экстремума (максимума) является точка с координатами Х₁=2,3 и Х₂=4,2 области факторного пространства. Для уточнения этого предположения используем план второго порядка.