3. Нахождение интерполяционной функции (уравнения регрессии)

При нахождении интерполяционной функции рассматривается вся область факторного пространства. По условиям задачи фактор Х₁ может изменяться в пределах от 2,3 до 3,8, а фактор Х₂ – в пределах от 2,4 до 4,2.

Рассмотрим возможность использования для аппроксимации функции отклика полинома первой степени .

Используем полный факторный эксперимент типа 2². В табл. 2.1 приведены условия проведения экспериментов в виде матрицы планирования, а в табл. 3.1 значения факторов.

Таблица 3.1.

Значения факторов

Факторы
Основной уровень	3,05	3,3
Интервал варьирования	0,75	0,9
Верхний уровень	3,8	4,2
Нижний уровень	2,3	2,4

Для определения дисперсии Y и величины ошибки (среднеквадратического отклонения) проведем серию численных опытов при значениях факторов, соответствующих основному уровню.

В отличие от решения задачи оптимизации, примем количество опытов при значениях факторов на основном уровне равным десяти (для повышения статистической точности). Ниже приведены результаты численного моделирования.

РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА

Исходные данные

Вариант= 1 номер расчета= 1 Среднее значение 30,89

Дисперсия= 0,375 Среднее кв. отклонение= 0,612

Фактор 1= 3,05 Фактор 2= 3,3 Фактор 3= 0 Фактор 4= 0

Количество опытов= 10

Y : 29,65; 30,36; 30,62; 30,82; 30,97; 31,27; 31,48; 31,88;

30,86; 30,98.

Отметим, что уточненная величина дисперсии на порядок больше вычисленной ранее.

В табл. 3.2 приведены результаты экспериментов выполненных по условиям табл. 2.1. без проведения параллельных опытов.

Таблица 3.2.

Результаты численного эксперимента

№ опытов
1	2,3	2,4	30,10
2	3,8	2,4	8,56
3	2,3	4,2	53,32
4	3,8	4,2	31,74

Так как матрица планирования эксперимента ортогональна, то используем ранее приведенные формулы для нахождения значения коэффициентов полинома:

В частности для модели и двух факторов

Следовательно искомый полином имеет следующий вид:

Определяем дисперсии коэффициентов полинома. Дисперсии коэффициентов одинаковы и равны

Проводим анализ адекватности выбранной модели (вида полинома) опытным данным по критерию Фишера F.

Оценку дисперсии адекватности в случае отсутствия дублирования опытов производим по формуле

где - расчетное значение Y, вычисленное по полученному уравнению регрессии при подстановке в него опытных данных значений Х_j; k – количество коэффициентов в уравнении регрессии; - число степеней свободы.

В рассматриваемом случае . Расчет приведен в табл. 3.3.

Таблица 3.3.

Расчет

№ опыта	Х1	Х2
1	2,3	2,4	33,98	30,10	15,05
2	3,8	2,4	17,81	8,56	85,56
3	2,3	4,2	54,86	53,32	2,37
4	3,8	4,2	38,69	31,74	48,30
Сумма	-	-	-	-	151,28

Табличное значение F_Т при , и уровне значимости 0,05 равно 5.12. То есть , что свидетельствует о том, что принятая модель не адекватна.

Производим проверку соответствия функции отклика полиному второй степени вида

Введем обозначения

;

С учетом принятых обозначений полином примет вид

Используем центральный рототабельный план на основе шестиугольника (рис. 3.1.).

Рис. 3.1. Схема центрального рототабельного плана на основе шестиугольника

В табл. 3.4 приведена матрица планирования для этого случая

Таблица 3.4.

Рототабельный центральный композиционный план второго порядка для двух факторов

Номер опыта	Х0	Х1	Х2	Х3= Х1 Х2	Х4=Х1^2	Х5=Х2^2	Y
1	1	1	0	0	1	0	Y1
2	1	0,5	0,866	0,433	0,25	0,75	Y2
3	1	-0,5	0,866	-0,433	0,25	0,75	Y3
4	1	-1	0	0	1	0	Y4
5	1	-0,5	-0,866	0,433	0,25	0,75	Y5
6	1	0,5	-0,866	-0,433	0,25	0,75	Y6
7	1	0	0	0	0	0	Y7

Приведенная матрица планирования не является ортогональной, поэтому коэффициенты полинома рассчитываются методами матричной алгебры.

Проведем численные эксперименты соответствующие принятому плану. В табл. 3.5 приведены фактические значения факторов и полученные значения функции отклика.

Таблица 3.5.

Условия проведения численных экспериментов и полученные результаты

Номер опыта	Х1	Х2	Y
1	3,8	3,3	18,9
2	3,425	4,0794	36,11
3	2,675	4,0794	46,96
4	2,3	3,3	40,49
5	2,675	2,5206	26,81
6	3,425	2,5206	15,98
7	3,05	3,3	30,78

По табл. 3.4 составляем матрицу Х:

По данным табл. 3.5 формируем вектор наблюдений

Строим матрица Х^т , транспонированную к матрице Х:

Вычисляем матрицу произведения :

Находим матрицу , обратную :

Вычисляем матрицу произведений:

Вычисляются коэффициенты уравнения регрессии

Таким образом преобразованный полином имеет вид:

Определяем дисперсии коэффициентов полинома, которые равны соответственно произведениям диагональных элементов матрицы С^-1 на дисперсию S²_Y. Дисперсии коэффициентов равны

Проводим анализ адекватности выбранной модели (вида полинома) опытным данным по критерию Фишера F.

Оценку дисперсии адекватности в случае отсутствия дублирования опытов производим по формуле

где - расчетное значение Y, вычисленное по полученному уравнению регрессии при подстановке в него опытных данных значений Х_j; k – количество коэффициентов в уравнении регрессии; - число степеней свободы.

В рассматриваемом случае . Расчет приведен в табл. 3.6.

Таблица 3.6.

Расчет

№ опыта	Х1	Х2
1	1	0	18,92	18,9	0,0004
2	0,5	0,866	36,08	36,11	0,0009
3	-0,5	0,866	46,9	46,96	0,0036
4	-1	0	40,51	40,49	0,0004
5	-0,5	-0,866	26,85	26,81	0,0016
6	0,5	-0,866	16,05	15,98	0,0049
7	0	0	30,78	30,78	0
Сумма	-	-	-	-	0,0163

Табличное значение F_Т при , и уровне значимости 0,05 равно 241. То есть , что свидетельствует о том, что принятая модель адекватна.

Проверяем статистическую значимость коэффициентов полинома. Для статистической оценки используем дисперсию в нулевой точке полученную ранее при проверке наличия линейной зависимости исследуемой функции отклика.

Доверительные интервалы для j- тых коэффициентов

Здесь t= 2,2622– квантиль распределения Стьюдента при числе степеней свободы , с которыми определялась дисперсия для вероятности 0,95, равной выбранному уровню значимости 0,05.

Полученные линейные коэффициенты больше доверительного интервала и следовательно являются статистически значимыми. Коэффициенты при квадратичных членах близки к статистически значимым. Коэффициент , показывающий наличие взаимодействия между факторами не является статистически значимым, что говорит о возможном отсутствии связи между ними. Этим слагаемым можно пренебречь

Производим обратную подстановку и получаем уравнение регрессии вида

Полученный полином описывает зависимость функции отклика от кодированных значений факторов. Перейдем к действительным значениям переменных, используя формулу перехода приведенную ранее.

Это уравнение описывает изменение y относительно координат проходящих через центр факторного пространства. В то время, как координаты х₁ и х₂ определяют положение точки факторного пространства относительно координат с центром х₁=0 и х₂=0. В связи с этим формальное преобразование уравнения приводит к неверному результату. В связи с этим необходимо использовать уравнение в том виде, в котором оно приведено выше.

На рис. 3.2 приведено графическое отображение зависимости функции отклика от факторов.

Рис. 3.2. Графическое отображение функции отклика

Анализ приведенного графика показывает, что поверхность отклика почти плоская и не имеет экстремальных точек внутри области факторного пространства – максимум этой функции в области факторного пространства действительно находится (как определено ранее) на границе области и соответствует точке с координатами х₁=2,3 и х₂=4,2.

Таким образом решены обе поставленные задачи – найдены максимум функции отклика в пределах заданного факторного пространства и выражение, аппроксимирующее исследуемый процесс.