1.2.1 Линейная модель парной регрессии и корреляции

Рассмотрим простейшую модель парной регрессии – линейную регрессию. Линейная регрессия находит широкое применение в эконометрике ввиду четкой экономической интерпретации ее параметров.

Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида

или . (1.1)

Уравнение вида позволяет по заданным значениям факторанаходить теоретические значения результативного признака, подставляя в него фактические значения фактора.

Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров – и. Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан наметоде наименьших квадратов(МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметрови, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признакаот теоретическихминимальна:

. (1.2)

Т.е. из всего множества линий линия регрессии на графике выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией была бы минимальной (рис. 1.2):

Рис. 1.2.Линия регрессии с минимальной дисперсией остатков.

Как известно из курса математического анализа, чтобы найти минимум функции (1.2), надо вычислить частные производные по каждому из параметров ии приравнять их к нулю. Обозначимчерез, тогда:.

(1.3)

После несложных преобразований, получим следующую систему линейных уравнений для оценки параметров и:

(1.4)

Решая систему уравнений (1.4), найдем искомые оценки параметров и. Можно воспользоваться следующими готовыми формулами, которые следуют непосредственно из решения системы (1.4):

, , (1.5)

где – ковариация признакови,– дисперсия признакаи

,

Ковариация – числовая характеристика совместного распределения двух случайных величин, равная математическому ожиданию произведения отклонений этих случайных величин от их математических ожиданий. Дисперсия – характеристика случайной величины, определяемая как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Математическое ожидание – сумма произведений значений случайной величины на соответствующие вероятности.

Параметр называетсякоэффициентом регрессии. Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу.

Формально – значениепри. Если признак-факторне может иметь нулевого значения, то вышеуказанная трактовка свободного членане имеет смысла, т.е. параметрможет не иметь экономического содержания.

Оценка тесноты связи

Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции, который можно рассчитать по следующим формулам:

(1.6)

Линейный коэффициент корреляции находится в пределах: . Чем ближе абсолютное значениек единице, тем сильнее линейная связь между факторами (приимеем строгую функциональную зависимость).

Теснота линейной связи между переменными может быть оценена на основании шкалы Чеддока:

Теснота связи	Значение коэффициента корреляции при наличии:
	Прямой связи	Обратной связи
Слабая	0,1–0,3	(–0,3)–(–0,1)
Умеренная	0,3–0,5	(–0,5)–(–0,3)
Заметная	0,5–0,7	(–0,7)–(–0,5)
Высокая	0,7–0,9	(–0,9)–(–0,7)
Весьма высокая	0,9–1	(–1)–(–0,9)

Положительное значение коэффициента корреляции говорит о положительной связи между хиу, когда с ростом одной из переменных другая тоже растет. Отрицательное значение коэффициента корреляции означает, с ростом одной из переменных другая убывает, с убыванием одной из переменной другая растет.