- •Тема 1 Методы и модели регрессионного анализа 7
- •Тема 2. Системы эконометрических уравнений 50
- •Тема 3. Анализ временных рядов 60
- •Предисловие
- •Введение. Эконометрическая модель и проблемы эконометрического моделирования
- •Общие понятия
- •Экономическая модель
- •Эконометрическая модель
- •Элементы эконометрической модели и их свойства
- •Задачи эконометрики
- •Эконометрика и её место в ряду математических и экономических дисциплин
- •Тема 1 Методы и модели регрессионного анализа
- •1.1 Основные понятия регрессионного анализа
- •1.1.1 Спецификация модели
- •1.2 Парная регрессия и корреляция
- •1.2.1 Линейная модель парной регрессии и корреляции
- •Оценка тесноты связи
- •Оценка качества подбора уравнения
- •Проверка статистической значимости эконометрической модели
- •Оценка значимости параметров эконометрической модели
- •1.2.2 Нелинейные модели парной регрессии и корреляции Виды нелинейных уравнений регрессии
- •Линеаризация нелинейных моделей регрессии
- •Оценка тесноты связи нелинейной регрессии
- •Оценка качества нелинейных уравнений регрессии
- •1.3 Множественная регрессия и корреляция
- •Отбор факторов, включаемых в модель множественной регрессии
- •1.3.1 Линейное уравнение множественной регрессии
- •Оценка параметров линейных уравнений регрессии
- •1.3.2 Линейное уравнение множественной регрессии с стандартизированном масштабе
- •1.3.2 Частные уравнения регрессии
- •1.3.3 Свойства оценок параметров эконометрической модели, получаемых при помощи мнк
- •1.3.4 Предпосылки мнк, методы их проверки
- •Обобщенный метод наименьших квадратов (омнк)
- •1.3.5 Проверка существенности факторов и показатели качества регрессии
- •Оценка тесноты связи
- •Проверка статистической значимости эконометрической модели
- •Оценка значимости параметров эконометрической модели
- •1.3.6 Фиктивные переменные во множественной регрессии
- •1.4 Резюме по теме.
- •Вопросы для повторения
- •Тема 2. Системы эконометрических уравнений
- •2.1. Классификация систем эконометрических уравнений
- •2.2 Структурная и приведенная формы модели
- •2.3 Проблема идентификации систем одновременных уравнений
- •2.4. Методы оценки параметров структурной формы модели (систем одновременных уравнений): косвенный метод наименьших квадратов (кмнк) и двухшаговый метод наименьших квадратов (дмнк)
- •2.5. Модель спроса и предложения
- •2.5.1 Структурная и приведённая форма системы
- •2.6. Вопросы для повторения
- •2.7. Резюме по теме
- •Тема 3. Анализ временных рядов
- •3.1. Структура временного ряда
- •3.2. Автокорреляция уровней временного ряда
- •Проверка гипотезы о наличии тренда во временном ряде
- •3.2. Моделирование тенденции временного ряда
- •3.3. Моделирование сезонных колебаний
- •3.3.1 Аддитивная и мультипликативная модели временных рядов
- •3.4. Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона
- •3.5 Модели стационарных и нестационарных временных рядов и их идентификация
- •3.6 Эргодичность
- •3.7 Особые случаи
- •3.8 Нестационарные временные ряды
- •3.9 Метод разностей и интегрируемость
- •3.10 Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов
- •3.10.1 Понятие адаптивной модели
- •3.10.2 Экспоненциальное сглаживание
- •3.10.3 Модели линейного роста
- •3.10.4 Стохастический процесс Тейла и Вейджа
- •3.10.5 Сезонные модели
- •Аддитивная модель сезонных явлений
- •3.10.6 Модели авторегрессии — скользящего среднего (метод Бокса —Дженкинса)
- •3.10.7 Авторегрессионная модель.
- •3.10.8 Модель скользящего среднего.
- •3.11 Специфика изучения взаимосвязей по временным рядам. Исключение сезонных колебаний. Исключение тенденции.
- •3.11.1. Метод отклонений от тренда
- •3.11.2. Метод последовательных разностей
- •3.12 Резюме по теме.
- •3.13 Вопросы для повторения
1.2.2 Нелинейные модели парной регрессии и корреляции Виды нелинейных уравнений регрессии
Различают два класса нелинейных регрессий:
Регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, например
полиномы различных степеней – ,;
равносторонняя гипербола – ;
полулогарифмическая функция – .
Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам, например
степенная – ;
показательная – ;
экспоненциальная – .
Регрессии нелинейные по включенным переменным приводятся к линейному виду простой заменой переменных (линеаризация), а дальнейшая оценка параметров производится с помощью метода наименьших квадратов.
Несколько иначе обстоит дело с регрессиями нелинейными по оцениваемым параметрам, которые делятся на два типа: нелинейные модели внутренне линейные(приводятся к линейному виду с помощью соответствующих преобразований, например, логарифмированием) инелинейные модели внутренне нелинейные(к линейному виду не приводятся).
К внутренне линейным моделям относятся, например, степенная функция – , показательная –, экспоненциальная –, логистическая –, обратная –.
К внутренне нелинейным моделям можно, например, отнести следующие модели: ,.
Среди нелинейных моделей наиболее часто используется степенная функция , которая приводится к линейному виду логарифмированием:
,
где . Т.е. МНК мы применяем для преобразованных данных:
а затем потенцированием находим искомое уравнение.
Широкое использование степенной функции связано с тем, что параметр в ней имеет четкое экономическое истолкование – он является коэффициентом эластичности.
Коэффициент эластичностипоказывает, на сколько процентов измениться в среднем результат, если фактор изменится на 1%. Формула для расчета коэффициента эластичности имеет вид:
(1.17)
Так как для остальных функций коэффициент эластичности не является постоянной величиной, а зависит от соответствующего значения фактора , то обычно рассчитывается средний коэффициент эластичности:
. (1.18)
Приведем формулы для расчета средних коэффициентов эластичности для наиболее часто используемых типов уравнений регрессии:
Таблица 1.2
Вид функции, |
Первая производная, |
Средний коэффициент эластичности, |
Линеаризация |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
- |
|
|
|
Х1=х,Х2=х2 |
|
|
|
Х=1/х, Y=y |
|
|
|
Х=lnх, Y=lny |
|
|
|
Х=х, Y=lny |
|
|
|
Х=lnх, Y=y |
|
|
|
Х=х, Y=lny |
|
|
|
|
|
|
|
Х=х,Y=1/y |
Нелинейные зависимости в экономике
Среди класса нелинейных функций, параметры которых без особых затруднений оцениваются МНК, следует назвать хорошо известную в эконометрике равностороннюю гиперболу: . Она может быть использована для характеристики связи удельных расходов сырья, материалов, топлива с объемом выпускаемой продукции, времени обращения товаров от величины товарооборота, не только на микроуровне, но и на макроуровне. Классическим ее примером являетсякривая Филлипса, характеризующая нелинейное соотношение между нормой безработицы х и процентом прироста заработной платы у.
.
Английский экономист А. В. Филлипс, анализируя данные более чем за 100-летний период, в конце 1850-х гг. XX в., установил обратную зависимость процента прироста заработной платы от уровня безработицы.
Для равносторонней гиперболы вида , заменивна z, получим линейное уравнение регрессии, оценка параметров которого может быть дана МНК. Система нормальных уравнений имеет вид:
Правомерность использования равносторонней гиперболы для кривой Энгеля довольно легко доказывается. Соответственно можно определить границу величины дохода, дальнейшее увеличение которого не приводит к росту доли расходов на отдельные непродовольственные товары.
Вместе с тем равносторонняя гипербола не является единственно возможной функцией для описания кривой Энгеля. В 1943 г. Уоркинг и в 1964 г. Лизер для этих целей использовали полулогарифмическую кривую.
Заменив lnxна z, опять получим линейное уравнение:. Данная функция, как и предыдущая, линейна по параметрам и нелинейна по объясняющей переменной х. Оценка параметров а иbможет быть найдена МНК. Система нормальных уравнений при этом окажется следующей: