x2

1

415.* f (x)=

.

416.* f (x) = e−x .

x

ì

x, x £1,

1

417.* f (x)=

íln x, x >1.

418.* f (x)=

.

x2 - 4

î

1

x - 3

419.* f (x)= arctg

.

420.* f (x) =

.

x

x - 3

ì

1

2

ì2x + 5, x < -1,

421.* f (x)= íï-

x

, x £ 2,

422.* f (x)= íï

1

2

,1

£ x.

ï

x, x > 2.

ï

x

î

î

ГЛАВА 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

5.1. Вычисление производной функции

Найти производные заданных функций.

	423.	y = x5 + 2x3 -				1	x .
						8
	425.	y = tgx + 2ctg x .
	427.	y = x3 log2 x .
		y = (			+1)arcsin x .
	429.			x
	431.	y = 73x−1 .				432. 10.
	433.	y = 3	2x2 + 4x			-3 .

435. 13. y = ln(x + x2 +1).

424. y = 4x - x32 .

426. y = xx + e2 .

=1- x

428.y 1+ x .

430. y = ln cos x .

y= arctg2x .

434.y = 5x ×e4x .

=sin 2x

436.y tgx .

=x + e3x

437.y x - e3x .

439. y = 10x sin 6x .

441. y = xln x .

443.* y = arcsin e−4x

438. y = arccos x .

440. 18. y = xx .

442.y = (sin x)x .

+ln(e4x + e8x -1).

tgx +

+1

2x (sin x + cos x ln 2)

444.*

y =

2tgx

445.* y =

.

.

tgx -

+1

1+ (ln 2)2

2tgx

2

1+

2x - x2

446.*

y =

2x - x2 + ln

.

x

-

1

x -1

447.*

y = x2x ×5x .

448.* y = (cos5x)ex .

5.2. Геометрический и механический смысл производной.

Уравнения касательной и нормали к графику функции

449.

Найти

угловой коэффициент

касательной

к графику

функции

f (x) =

1− 2x

, проведённой в точке с абсциссой (- 0,5).

4x +1

450. Найти угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции y = sin 2 x + ctg2x в его точке с абсциссой 12π .

451. Составить уравнение касательной к графику функции y = 2x2 + x - 4

в точке с абсциссой x0 = -2 .
452. Составить уравнение касательной к графику функции y =	x5	+1
			в
	x4
		+1

точке с абсциссой x0 =1.

				164		x
	453. Составить уравнение нормали к графику функции y = 63	x −						в
					3
	точке с абсциссой x0 =1.

454.Составить уравнение нормали к графику функции y = x2 − 8x + 5 в

точке с абсциссой x0 = 4 .

455.Точка движется по прямой так, что её расстояние S от начального пункта

	через t	секунд равно S =	1	t4	− 4t3 +16t2 . В какие моменты её
			4

скорость равна нулю?

456.Количество электричества, протёкшее через проводник начиная с момента времени t = 0 , даётся формулой Q = 2t2 + 3t +1. Найти силу тока в конце пятой секунды.

457.*	Хорда	параболы	y = x2 − 2x + 5 соединяет точки							с	абсциссами
	x1 = 1,	x2 = 3.	Составить	уравнение		касательной				к	параболе,
параллельной хорде.
						y = −			+ 2
458.*	Составить уравнение нормали			к линии				x			в точке её
пересечения с биссектрисой первого координатного угла.
459.*	Провести касательную к гиперболе y =				x + 9
							так, чтобы она прошла
					x + 5

через начало координат.

460.* Тело массой 4 кг движется прямолинейно по закону x = t2 + t +1. Определить кинетическую энергию в момент времени t = 5 .

5.3. Производная неявной функции

		Найти производную функции y , заданной неявно.
	461.	exy − cos(x2 + y2 )= 0 . 462. x2 + y2 = ln	y	+ 7 .
			x
	463.	x4 − y4 = x2 y2 .

2

474.*

Найти производную функции y , заданной неявно, указанного порядка.

y3

+ x

3 − 3axy = 0 , y′′

= ?

475.* y = sin(x + y), y′′ = ?

Найти производные функций, заданных неявно в точке

x0 .

464. ey = e − xy ,

x0 = 0 .

465.

x2

+ y2 =1,

x0 =

2 .

4

9

466.

x +

y =

a , x0 = a

.

467.

x3 + y3 − 3xy = 0,

x0 =1.

4

468.*

x4 + y4 = 4x2 y2 , x0 =1. 469.* 2yln y = x , x0 = 0 .

470.*

cos(xy)= x , x0 = 0,5.

471.* y = x + arctg y ,

x0 = 0 .

472.*

y =1+ xey ,

x0 = 0 .

473.* y = cos(x + y),

x0 = π .

*

e

y

′′

476.

+ xy = e , найти y (x) при x = 0 .

477.*

x2 + y2 = r2 , y′′′ = ?

′′

Найти производные yxx функции, заданной неявно.

478.*

2x + 2y = 2x+y .

479.* cos

y

= y .

x

480.*

y2 − 2xy + a2 = 0 .

481.* y3 −3y + 2ax = 0.

482.*

ycosx = sin y .

483.* y = exy .

5.4. Производная обратной функции.

Производная функции, заданной параметрически

484. Найти производную функции y = arcsin x с помощью теоремы о производной обратной функции.

	485.	Найти	производную функции y = log2 x				с помощью теоремы о
		производной обратной функции.
		Найти производную y′x .
	486.	ìx = t -sin t,			487.	ìx = et sin t,
		í				í
		îy =1	- cos t.			îy = et cos t.
		ìx = t3 + t,				ìx =
				t0 =1.				t -1,
	488.	í	в точке		489.	í
							y = 3 t.
		îy = t2 + t +1,				î
	Найти производные первого и второго (*) порядка функций, заданных
	параметрически.
	490.	ìx =1- t2 ,		ìx = (t +1)t−1,				ìx = a cos t,
		í	491.	í	-1)t−1.		492. í
		îy = t	- t3.	îy = (t				î y = bsin t.
	493.	ìx = et sin t,		ìx = 3t,				ì x = cos t,
		í	494.	í	- t2.		495. í
		îy = et cos t.		îy = 6t				îy = sin 2t.
	496.	ìx = tg t,
		í
		îy = sin 2t + 2cos2t.

Записать уравнения касательных к данным линиям в точке M0.

ìx = 3cost,

æ

ö

2

ç

÷

497.

í

M0 ç

3

2

;2 2

÷ .

îy = 4sin t,

è

ø

ìx = t - t4 ,

M0 (0;0).

ìx = t3

+1,

M0

(1;1).

498.

í

499. í

+ t +1,

îy = t2 - t3 ,

îy = t2

ìx = 2cos t,

æ

ö

3

ç

-

÷

500.

í

M0 ç1;

÷ .

2

î y = sin t,

è

ø

5.5. Производные и дифференциалы высших порядков.

Правило Лопиталя

Найти производные указанных порядков.

501. y = 3x + 2 , y′′′ - ?502.

503. 5.5.3. y = lnxx , y′′ - ?

505. y = x cos2x , y′′ - ? 507. y = x arccosx , y′′ - ?

509. y = ln x , y(n)- ?

y = xe−x , y′′′ - ?

504. y = sin 4x , y(5) - ?

506. y = arctg x , y′′ - ?

508. y = e−2x , y(n)- ? 510. y = x 1+ 2 , y(n)- ?

Вычислить предел по правилу Лопиталя.

511.

lim

ex −1

.

512. lim

1− cos 2x

.

1− cos3x

x→0 sin 2x

x→0

513.

lim

x − sin x

.

514. lim

ln x

.

x→0

x3

x→∞

x

515.

lim

tg x

.

516. lim x ln x .

x→π

tg3x

x→0

2

517.

lim xne−x .

518. lim

e2x −1

.

x→+∞

x→0 ln(1+ 2x)

519.

lim (1− e2x )ctg x . 520. lim xx .

x→0

x→0

1

521.

lim x

1−x

.

x→1

522. Найти d3y , если y = (2x − 3)3 .

523.Найти d3y , если y = x(ln x −1).

524.Найти d2y , если y = ln(x + x2 + 4).

5.6.Дифференциал: геометрический смысл и приложения

Найти приращения и дифференциал в точке x0 .

	525.	y = x3 , x0 =1,						x = 0,1.
	526.	y = sin x ,				x0 = π , x = 0,05.
							6
	527.	y = e2x , x0 = 2 ,						x = 0,2 .
		y =			, x0		= 3,	x = 0,3 .
	528.			x +1
	529.	y =	1			, x0	= −1,	x = 0,1.
			x2 +1

Найти приращение касательной к графику функции y = f (x) в точке

x0 .

530.	y =		1			,	x0 = −1,				x = 0,2 .
		4x4
531.	y = e			x	, x0 =1,						x = 0,1.
532.	y =					1		, x0 =	π	,	x =	π	.
		(tg x +1)2							4
											60

Вычислить приближенно с помощью дифференциала.

533. arctg1,02 .

534.

4,08

.

535. e0,1 .

Рассчитать абсолютную и относительную погрешности.

536. xx , x = 4 ± 0,3 . 537. 3x , x = 2 ± 0,1.

5.7. Теоремы о дифференцируемых функциях.

Формула Тейлора

Проверить справедливость теоремы Ролля для заданных на отрезке функций.

538.y = x2 - 9x + 2 , x Î[0;9].

539.y = x3 - 4x2 - 7x -10 , x Î[-1;2].

540.y = ln sin x , x Î éêp ; 5pùú .

ë6 6 û

Доказать, что уравнение имеет корень на данном отрезке.

541.	x = cos x , x Î	é0; pù		. 542.	2 - x = ex , x Î[0;1].
		ê	ú
		ë	2û
543.	ln x = cos x , x Î[1;e].

Написать формулу Лагранжа для функции на данном отрезке.

544. y = sin 3x	é	pù		. 545.	y = x(1- ln x), x Î[1;e].
	, x Î ê0;	6	ú
	ë		û

Написать формулу Коши для функций на данном отрезке.

546.f (x)= sin x , j(x)= ln x , x Î[a;b], 0 < a < b .

547.f (x)= e2x , j(x)=1+ ex , x Î[a;b].

Записать первые три ненулевых члена формулы Тейлора для функции в окрестности точки x0 .

548. y = x4 -5x3 + x2 -3x + 4, x0 =1.

	549. y =	1	, x0 = -1.	550. y =		, x0 = 4 .
					x
		x

551.y = 2x , x0 = 0 .

552.Вычислить e с точностью 10−3 .