ГЛАВА 4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

4.1.Числовая последовательность, её свойства.

Предел числовой последовательности

305.Найти сумму третьего, шестого и девятого членов последовательности

{an }, если an = n12 .

306.

Записать

формулу

n -го

члена

последовательности

{a

n

}= ì-

1

,

1

,-

1

,

1

,...ü .

í

2

3

4

5

ý

î

þ

307.

При

каких

n

будет

справедливо

неравенство

2

- an <10−3 , где

3

2n

-1

an

=

?

3n

308.

Записать

формулу

n -го

члена

последовательности

{a

n

}= ì

2

,

1

,

4

,

3

,

6

,...ü .

í

3

4

5

6

7

ý

î

þ

309.

При каких

n будет справедливо неравенство 1,25 - an <10−2 , где

an

=

5n -1

?

4n

n

an - 0,5

< 0,01, где

310.

При каких

будет справедливо неравенство

an

=

3n + 2

?

6n

- 3

311.Доказать, что последовательность 2,4,6,8,... не ограничена сверху.

11 1

312.Доказать, что последовательность 3 , 9 , 27 ,... ограничена и найти одну её верхнюю и одну нижнюю границы.

313.	Какие из следующих последовательностей {an } ограничены, если: 1)
	an =	n + 2	;		2) an = ln n ;
		n
		3) an = (−1)n ;					4)	an = n2 + 5n ;
		5) an = sin n ;					6)	an = 2n ;
		7) an		=	n2 + 3	;	8) an		=	4 + (−1)n	?
										n
					n
314.	Доказать, что			последовательность					{an } строго возрастает, если
	an = 3n − 2 .

315. Доказать, что последовательность {an } строго убывает, если an = n13 .

316. Доказать, что последовательность {an } строго возрастает, если

an = ln n .

317.Доказать, что последовательность {an } строго убывает, если an = 3−n .

318.Какие из следующих последовательностей {an } монотонные, если:

1)

an = 4n + 2 ;

2)

an =

(−1)n

; 3)

an = n − ln n ;

2n

4)

an = sin n ;

5)

an =

1

;

6)

an =

n + (−1)n

?

n +1

n2

В следующих заданиях вычислить пределы.

319. lim

(n + 7)3 .

320. lim

4n + 2

.

n→∞

n3

n→∞ 4n−1 − 2

321.

lim

1+ 2 + 3+ ...+ n

.

n→∞

3n2 +1

323.

lim

4n2

+ 7

.

n3

+1

n→∞

+

.

325.

lim

n +1

4n + 5

n→∞

n +8

æ n2

+ 4

ön2

327.

lim

ç

÷ .

2

ç

+1

÷

n→∞è n

ø

322.	lim				(n +1)3						.
						+ 5)(n +1)
	n→∞ (2n2
324.	lim			n4		+ 2n			.
					3 - n +			5
	n→∞ 8n
	lim	æ n +1					ön
326.		ç					÷ .
					+	3
	n→∞è n						ø

328. lim n (n + 8 - n +1).

n→∞

329.* Найти сумму первых четырёх членов последовательности

{an }, если

æ

ö

n

a

= arcsinç(-1)n

÷ .

n

ç

2

÷

è

ø

330.* Найти сумму первых четырёх членов последовательности

{an }, если

æ

ö

n+1

n

ç

÷

an

= arccosç

(-1)

2

÷ .

è

ø

331.* Доказать, что следующие

последовательности ограничены, если: 1)

an = n2 +1 - n ; 2) an = ln(n +1)- ln n ;

3) an =

3n2

+1

.

n2 +1

332.* Исследовать на монотонность следующие последовательности {an },

если: 1) an = -	3n	;	2) an =				1		, a1 =1;
	n				1
							+ an−1
			æ n + 3					ön		cosn
			3) an = ç					÷ ; 4) an =			.
							+1			n
			è n					ø

Вычислить пределы.

333.*

lim

(2 + n)100 - n100 - 200n99 .

n→∞

n98 -10n2 +1

334.*

lim

lg(n

2 + 3n +1)

335.* lim

ln(n2

- n +1)

.

.

1+ lg(n +1)

+ n +1)

n→∞

n→∞ ln(n10

336.*

lim

n2 + 3n +1 - n2

+ 3n -1

.

ln(1+ n)- ln(2

+ n)

n→∞

æ

1

1

1

ö

337.*

lim

ç

+

+L+

÷ .

ç

4×7 7×10

÷

n→∞è

(3n +1)(3n + 4)ø

338.* lim (3n + 2 - 23n +1 + 3n ).

n→∞

4.2. Область определения,

множество значений, классификация и график функции.

Элементарные функции и их графики

339. Найти области определения указанных функций.

1)

y = 9 - x2 ;

2)

y = 4x - x2 ;

y =

+

;

y = arcsin

x −1

3)

- x

3+ x

4)

;

4

y =

y =

3

5)

2sin x ;

6)

;

1+ x2 -8

7)

y = log7 (3x +1);

8)

y = 8

x2 - 5x + 6

;

9)

y = esin x ;

10) y = arccos(x - 2)- ln(x - 2).

340. Найти множества значений указанных функций.

1)

y = x2 + 4x +1;

2)

y = 2x2

;

3) y = 3+ cos x ;

	4)	y = 5−x2		;	5)	y = 3sin x − 8;	6) y = 5 +	1	;
								x
		y =			+ 4 ;	8) y = 8x - x2 - 20 .
	7)		1- x

341.Какие из следующих функций четные, какие нечетные, а какие – общего вида:

1)

y =

sin 2x

; 2)

y = 7x5 + x3

- 3x ; 3)

y =

x

+ 5cos x ;

x

8

y = tg( 3x); 5)

4)

y =

;

6)

y = -x + x ;

x2 + 9

7)

y = x + ex ;

8)

y =

x

+ x3 ;

x

y = sin 2 7x ×cos3x ;

10) y = x2 ×ctg(

9)

2x)?

342.Определить, является ли данная функция периодичной. Если да, то найти её наименьший период.

1)

y = cos6x ;

2)

y = sin 2 2x ;

3)

y = tg

x

;

4)

y = sin 2x + cos3x ;

5

y = sin(

y = x + cos x ;

5)

2x);

6)

7)

y = x2 ×sin 2x ;

8)

y = [x] – целая часть x ;

y = x -[x];

10) y = sin(

9)

3x)+ cos x .

343. Построить графики следующих функций:

1)

y =

x +1

+

x -1

;

2)

y =

x2 -1

;

3)

y =

x −1

;

4)

y = -2x ;

x - 2

æ

1

ö

x

5)

y = ç

÷ ;

6)

y = -log2 x ;

2

è

ø

7)

y =

log x

;

8)

y = ln

x

.

344.* Найти область определения функции

y = 9,6 + 0,2x - x2 . sin x

345.* Найти множество значений функции y = log0,5 (sin x + 5).

346.* Найти множество значений функции

y = log3 (x -

x

+ 3).

347.* Найти множество значений функции y = 0,5

12

.

3−sin x

348.* Построить графики следующих функций:

1)

y = (

x

-1)(x +1);

2)

y = sign(cos x);

1

æ

x

ö

3)

y = arctg

;

4)

y = lnç

÷ .

x

ç

÷

è x +

2 ø

4.3. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших

функций. Вычисление пределов с помощью

эквивалентных бесконечно малых функций

349. Определить порядок бесконечно малых при

x → 0 функций: 1)

y = 2sin 4 x - x5 ;

2)

y =

sin 2 x + x4 ;

3) y = 1+ x3 -1; 4)

y = sin 2x − 2sin x ;

=- æ + p ö

5)y 1 2cosç x ÷ .

è3 ø

350.Доказать, что функции f (x) и g(x) при x → 0 являются бесконечно малыми одного порядка малости:

1)f (x) = arctg2 3x , g(x) = 4x2 ;

2)f (x) = 13-xx , g(x) = x x+ 4 ;

3)f (x) = 3sin 2 4x , g(x)= x2 - x4 ;

4)f (x) = cos3x - cos5x , g(x)= x sin 2x .

Вычислить пределы, используя эквивалентные бесконечно малые функции.

	351. lim	ln(1+ 3x2 )		. 352. lim	arcsin 5x	. 353. lim	e2x -1		.
		x3 -5x2			tg3x		tg4x
	x→0			x→0		x→0

354. lim	23x	-1	.	355. lim	x(ex -1)		. 356.
					1- cos x
x→0 arctgx				x→0

lim			1- sin x		.
x→	π		æ p	ö2
	2
		ç		- x÷
		è 2		ø

357. lim

1-sin 2x

.

358. lim

ex - e2

.

p - 4x

(

-

) x +

xe

2

x→

π

x→2

4

x

4 e

359.* Найти главные части вида Cxα

при

x → 0 следующих функций: 1)

y = (1+ 2x)3 - (1+ 3x)2 ;

2)

y =

1- 2x - 4x2 + x -1;

3)

y = ln cosπx ;

4)

y = ax - bx ;

5)

y = 1+ sin 5x − cos5x .

360.* Найти главные части вида C(1- x)α при x →1 следующих функций:

1) y = x3 + 5x2 -3x - 3 ; 2) y = 3× 2x - 2×3x .

Вычислить пределы, используя эквивалентные бесконечно малые функции

	361.* lim	tgx − sin x	.	362.* lim	2 - 2cos2x -sin 2 2x	.
		x3			x4
	x→0			x→0

æ

p ö

cos 3px

-

× tg2x .

2

363.* lim

çx

÷

364.* lim

.

4

(

- 7

)

x→

π

è

ø

x→1

x

4

ln 2x

365.* lim

cos2px + cospx

.

x→1

ln(x2 - 2x + 2)

366.* lim

ln(1+ x - x2 )+ arcsin 2x - 3x3

.

sin 3x + tg2x + (ex -1)10

x→0

æ

x ö

ctg πx

tg πx

-

α

367.* lim

ç2

÷

. 368*. lim x

2 .

x→αè

a ø

x→1

369*. lim (3x + x)

1

sin x

.

x→0

4.4.Предел функции в точке. Раскрытие неопределенностей Найти пределы.

370. lim x2 - 25 .

x→5 x - 5

2x2 -11x + 5

372. lim 2 .

x→5 3x -14x - 5

374. lim

3x3

+ 2x

2 - x

.

5x

x→0

376.

æ

1

-

3

ö

limç

÷ .

1

- x

1

- x3

x→1è

ø

371. lim	x2	- 5x - 6	.
x→2 x2 -12x + 20

x2 -1

373. lim 2 .

x→1 2x - x -1

x2 - 2x +1

375. lim 3 . x→1 x - x

377.		æ	1				1	ö
	lim	ç		-				÷ .
			2			2
		ç			x		- 3x + 2	÷
	x→2è x(x - 2)							ø

378.	lim	xm -1							при m, n N .										379.		lim			1+ x		-1				.
		xn -1
	x→1																				x→0				x2
																													-1					.
		3						- 3						.											x2 +1
380.	lim		x + h									x							381.		lim
						x
	h→0																				x→0 x2 +16 - 4
	lim (x + 3											).
382.*					1- x3
	x→∞
	Найти односторонние пределы.
383.									1					384.					1	. 385.						1
	lim		arctg							.					lim 3			x+1						lim		3	x+1					.
	x→0−0								x					x→−1+0									x→−1−0
386.			1								387. lim				1					388. lim arcctg											1
	lim 5			x−3		.									2	x−3	.																.
	x→3−0													x→3+0							x→0+0										x

4.5. Первый и второй замечательные пределы Найти пределы.

389. lim sin ax . x→0 sin bx

391. lim 2arcsin x .

x→0 3x

393. lim sin x2 .

x→0 x

395.lim 1- cos x .

x→0 x2

397. lim sin 3x . x→π sin 2x

390. lim tg2x . x→0 sin 5x

392.lim 2x - arcsin x . x→0 2x + arctgx

394. lim		sin 7x - sin 2x						.
x→0						sin x
396.	lim				1- sin x		.
	x→π æ p					ö2
	2 ç					- x ÷
	è 2					ø
398.				æ p		ö
	lim ç					- x ÷tg x .
	x→		π	è 2		ø
	2

399.

lim

tg x - sin x

x→0

x3

æ

1

ö

x+1

+

x

401.

lim ç1

÷ .

x→∞è

x ø

æ

+

2

ö2x

403.

lim ç1

÷ .

x

x→∞è

ø

æ x +1

öx

405.

lim ç

÷ .

x→∞è x -1

ø

æ 3x - 4 ö

x+1

3

407.*

lim ç

÷

x→∞è 3x

+ 2 ø

æ x2

-1öx

409.*

lim ç

÷ .

2

ç

x

÷

x→∞è

ø

æ	x		öx
. 400. lim ç			÷ .
x→∞è x +1			ø

		æ	+	k ömx
	402.	lim ç1				÷ .
		x→∞è		x ø
		æ			1			öx2
	404.	lim ç1+						÷ .
					x
		x→+∞è						ø

æ x +1 ö2x−1

406.* lim ç ÷ .

x→∞è x - 2 ø

. 408.* lim(1+ sin x)cos ec x .

x→0

1

410.* lim (sin x)ctg x .

x→π2

4.6. Непрерывность функции в точке.

Непрерывность в точке слева и справа.

Точки разрыва и их классификация

Исходя из определения, доказать непрерывность функций.

411.* y = x2		+ x - 2 при x R .
412.* y = x3		- 2x + 4 при x R .
1					1
413.* y =			при x ¹ -1. 414.* y =				при x ÎR .
	x +1			x2 +1
Исследовать на непрерывность функцию					f (x)		и указать тип ее точек
разрыва.