- •Пределы. Непрерывность функций Числовая последовательность и ее свойства
- •Предел числовой последовательности
- •Предел функции Предел функции в бесконечности
- •Бесконечно малые и большие величины
- •Признаки существования и основные свойства пределов
- •Основные свойства пределов
- •Замечательные пределы
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •Непрерывность функции
- •Свойства непрерывных функций
Основные свойства пределов
1. Функция не может иметь более одного предела (при одной и той же базе).
2. Предел постоянной равен самой этой постоянной: , с – постоянная.
3. Предел суммы функций равен сумме пределов этих функций:
4. Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций:
Отсюда следует, что постоянный множитель можно выносить за знак предела:
5. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (если предел делителя не равен нулю):
6. (свойство предела сложной функции) Если , то предел сложной функции.
7. Если при базе В (т.е. в некоторой окрестности точки х0или при достаточно больших х) f1(х) < f2(х), то.
Отметим, что в перечисленных свойствах предполагается существование пределов функций f1(х) и f2(х), из чего следуют заключения о значениях пределов суммы, произведения или частного этих функций. Но при этом из существования предела суммы, произведения или частного функций не обязательно следует, что существуют пределы самих слагаемых, сомножителей или делимого и делителя.
Например, , но при этомне существует.
Замечательные пределы
Для вычисления пределов функций в некоторых случаях удобно использовать так называемые замечательные пределы(здесь рассматриваются без доказательства).
Первый замечательный предел
Второй замечательный предел
Для числовой последовательности (1 + 1/n)n:
Число е (число Эйлера) – это иррациональное число, которое приблизительно равно 2,718281. Это число широко используется в математическом анализе. График функции у = ехназывают экспонентой3. Логарифм по основанию е называют натуральным и обозначаютlnx.
Можно доказать, что для функций f(x) = (1 + 1/x)xиf(x) = (1 +x)1/x:
Непрерывность функции
Функция f(x) называется непрерывнойв точкеx0, если она удовлетворяет трем условиям:
1) определена в точке (т.е. существует f(x0));
2) имеет конечный предел при хх0;
3) этот предел равен значению функции в точке х0,
т.е. .
Поясним определение непрерывности следующим примером (рисунок 2.10). На рисунке представлены графики четырех функций y=f(x), первые три из которых не являются непрерывными в точкеx= 0, а четвертая – является.
В самом деле, функция (а) не является непрерывной в точке x= 0, так как вообще не определена в этой точке (т.е. нарушено первое условие непрерывности).
Д
Рисунок 2.10 –
Иллюстрация к определению непрерывности
функции
Для функции (в) в точке x = 0 выполняются первые два условия непрерывности, но при этом , а f(0) = 1. Так как, нарушается третье условие непрерывности, и эта функция также не является непрерывной.
А вот функция (г) в точке x = 0 является непрерывной, так как в этом случае выполняются все три условия непрерывности:.
По-другому вышеприведенное определение непрерывности функции можно записать в виде: (для непрерывной функции возможна перестановка символов предела и функции).
Слово «непрерывность» применительно к функции используется в связи с тем, что если функция непрерывна в точке, то ее график в этой точке можно провести, не отрываясь от листа, т.е. сам график непрерывен.
Если функция не является непрерывной в точке х0, то эту точку называютточкой разрыва функции.
Точки разрыва могут быть первого и второго рода.
В точке разрыва первого родалибо существуют конечные односторонние пределы функции слева и справа, не равные друг другу (как на рисунке 2.10 (б)), либо предел функции в этой точке существует, но не равен значению функции в этой точке (как на рисунке 2.10 (в)). В последнем случае точку разрыва первого рода называютточкой устранимого разрыва.
В точке разрыва второго родахотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует (как на рисунке 2.10 (а), где односторонние пределы равны бесконечности).
Непрерывность функции в точке можно определить и по-другому.
Функция у = f(х) называется непрерывной в точке х0, если она определена в эnой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:.
Под приращением функции здесь будем понимать разность между значением функции при значении аргумента, увеличенном на приращение x, и ее значением в точкеx0:y=f(x0+x) -f(x0) (рисунок 2.11).
Можно доказать эквивалентность этих двух определений непрерывности.
Рисунок 2.11 –
Приращение аргумента и приращение
функции