Свойства непрерывных функций

Свойства функций, непрерывных в точке:

1. Если функции f₁(х) иf₂(х) непрерывны в точке х₀, то их суммаf₁(х) +f₂(х), произведениеf₁(х)*f₂(х) и частноеf₁(х)/f₂(х) (при условииf₂(х)0) также являются функциями, непрерывными в точке х₀.

Это следует из определения непрерывности и свойств пределов функций.

2. Если функция у = f(х) > 0 непрерывна в точке х₀ иf(х₀) > 0, то существует такая окрестность точки x₀, в которойf(х) > 0.

В самом деле, при малых приращениях аргумента в соответствии со вторым определением непрерывности можно получить сколь угодно малое приращение функции, так что знак функции в окрестности точки не изменится.

3. Если функция y=f(u) непрерывна в точкеu₀, а функцияu=(х)

непрерывна в точке u₀=(х₀), то сложная функцияy=f([((х)] непрерывна в точке х₀:. Иными словами, под знаком сложной функции можно переходить к пределу.

Функция называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Можно доказать, что все элементарные функции непрерывны на любом промежутке из области их определения.

На рисунке 9.12 представлены графики функций, непрерывных на отрезке [a;b].

Свойства функций, непрерывных на отрезке:

1. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке (см. рисунок 2.12 (а)).

2. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нем наименьшего значения и наибольшего значения М (теорема Вейерштрасса) (см. рисунок 2.12 (б),m- наименьшее значение,M- наибольшее значение).

3. Если функция непрерывна на отрезке, и ее значения на концах этого отрезка имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдется точка, в которой значение функции равно нулю (теорема Больцано-Коши) (см. рисунок 2.12 (в), в точкеc[a;b]f(c) = 0).

Рисунок 2.12 – Свойства функций, непрерывных на отрезке

1Чтобы проиллюстрировать случай, когда предел не существует, можно, например, на рис. 2.4 изменить график функции таким образом, чтобы он бесконечно приближался к вертикальной асимптоте х = х₀+или х = х₀-.

2Происхождение названия теоремы: график функции f₁(х) - траектория движения первого милиционера в участок А, график  f₂(х) - траектория движения второго милиционера в тот же участок, а график f(х) - траектория движения пьяного, который, в соответствии с неравенством f₁(х)f(х)f₂(х) в любой момент х находится между двумя милиционерами. Тогда и пьяный неизбежно придёт туда же, в участок А.

3Можно показать, что любую показательную функцию можно свести к экспоненциальной. Действительно, пусть у =a^x= (e^{ln a})^x=e^{x*ln a}= е^bx, гдеb=lna.